Элементы математической логики. Логические исчисления Тема 4

Элементы математической логики. Логические исчисления Тема 4

Аристотелевская логика Аристотелем введено 4 типа утверждений (посылок) Все А суть В n Некоторые А суть В n Все А суть не В n Некоторые А суть не В Структура рассуждения: Посылка 1, посылка 2, …, посылка. N Заключение n Заключение истинно, если истинны все посылки и корректен способ вывода Примеры: Правильно Все тигры полосатые. Вася тигр Вася полосатый. Неправильно Все тигры полосатые. Мурзик полосатый Мурзик тигр.

Определения математической логики

Высказывания и формулы o o Простое высказывание – утверждение, которое либо истинно, либо ложно. Обозначается пропозициональной переменной, область значений которой { «И» , «Л» } Составное высказывание построено из простых с помощью логических связок (перечислены в порядке старшинства): n n отрицание (не, ), конъюнкция (и, &), дизъюнкция (или, ˅) и импликация (если … то, ) o Правильно построенное составное высказывание – пропозициональная формула. o Истинность формулы определяется через истинность составляющих её формул (пример)

Интерпретация. Следование. Эквивалентность. Подстановки. o o o Интерпретацией I формулы A(x 1, x 2, …, xn) называется некоторый набор конкретных пропозициональных переменных I={x 1, x 2, …, xn}. I(A) – истинность формулы в данной интерпретации. Формула может быть: n n n o o тавтологией или общезначимой формулой (истинной в любой интерпретации), противоречием или невыполнимой формулой (ложной в любой интерпретации), выполнимой формулой (истинной в некоторых интерпретациях). Говорят, что В логически следует из А (А В), если В истина при всех интерпретациях, при которых истинна А. Говорят, что А и В логически эквивалентны (А В), если они логически следуют друг из друга. Запись А(…, x, …){C//x} обозначает формулу, полученную из А заменой (подстановкой) всех вхождений переменной x на формулу С. А(…, В, …){C//В} – некоторых вхождений формулы В на С.

Некоторые теоремы математической логики 1. 2. Если А В – тавтологии, то и В – тавтология от противного, через ложность I(B)) Имеют место следующие эквивалентности: (доказательство – путем построения таблиц истинности (пример))

Некоторые теоремы математической логики 3. 4. 5. A 1&…&An B тогда и только тогда, когда (A 1&…&An) B – тавтология (доказательство по определению следования и таблицам истинности) A 1&…&An B тогда и только тогда, когда A 1&…&An& B является противоречием (доказательство – с использованием предыдущей теоремы и теоремы 2). Если А(…, x, …) – тавтология, и С – любая формула, то А(…, x, …){C//x} – тавтология (доказательство по определению тавтологии и интерпретации).

Формальные теории

Формальные теории o A – алфавит или множество символов теории, n n o F – множество формул теории, n o конечный или бесконечный, задается перечислением. задается индуктивно (с помощью формальной грамматики). B – множество аксиом теории, n делится на два типа: o o n и задаётся: o o o логические аксиомы (общие для всех формальных теорий) и нелогические или собственные (специфические, определяющие содержание конкретной теории); перечислением (конечное множество) или с помощью конечного множества схем и правил порождения аксиом R – множество отношений R на множестве формул – правила вывода: R R, R Fn+1 Сигнатура (язык) T T =

Выводимость o o Если имеются формулы F 1, …, Fn, G F и существует такое правило вывода R R, что (F 1, …, Fn, G) R, то говорят, что заключение G выводимо из посылок F 1, …, Fn. Выводом формулы G из гипотез F 1, …, Fn называют такую последовательность формул E 1, …, Ek, что: n n o o Ek=G Ei – либо аксиома, либо исходная формула, либо выводится из исходных формул (i < k). Формулы, выводимые только из аксиом, называются теоремами теории T. При добавлении лишних гипотез в выводимость сохраняется

Интерпретация. o o o o Интерпретацией формальной теории T в область интерпретации M называется функция I: F M, сопоставляющая каждой формуле теории некоторое содержательное высказывание относительно объектов множества M. Формула выполняется в данной интерпретации, если соответствующее ей высказывание истинно. Интерпретация называется моделью множества формул, если все они выполняются в ней. Интерпретация называется моделью формальной теории, если в ней выполняются все теоремы этой теории. Теория, не имеющая интерпретации – чисто формальная. Теория, имеющая интерпретацию – формально содержательная Формально-содержательная теория со специфицированной терминологией естественного языка – содержательная теория (примерами являются все теории естественных и гуманитарных наук) n n гносеологическая (интерпретированная в области систем объективной действительности) или негносеологическая (в области систем абстрактных объектов)

Свойства формальной теории o o o o Общезначимая формула (тавтология) истинна в любой интерпретации, противоречивая – ложна. G является логическим следствием множества формул Г, если выполняется в любой модели Г. Формальная теория семантически непротиворечива, если ни одна её теорема не является противоречием. Формальная теория формально непротиворечива, если в ней не являются выводимыми одновременно F и F. Формальная теория полна (адекватна), если каждому истинному высказыванию на множестве M соответствует теорема теории. Система аксиом теории независима, если никакая из аксиом не выводима из других по правилам вывода теории. Формальная теория разрешима, если существует алгоритм определения, является ли любая произвольная формула теоремой теории. Множество M аксиоматизируемое (формализуемое), если для него существует формальная полная непротиворечивая теория.

Типы формальных теорий o Теории первого порядка n n n o o Исчисление высказываний Исчисление предикатов первого порядка Формальная арифметика Аксиоматическая теория множеств Теория групп Теории высших порядков Лямбда-исчисление n n n Лямбда-исчисление с типами Исчисление конструкций Исчисление индуктивных конструкций

Исчисление высказываний

Исчисление высказываний o Алфавит: n n n o Формулы (обозначаются заглавными буквами): n n o логические связки и служебные символы «( «, » и «)» пропозициональные переменные (строчные буквы латинского алфавита, возможно, с индексами) переменные являются формулами если A, B – формулы, то A и A B – тоже формулы Аксиомы заданы тремя схемами: n n n A 1 : A 2 : A 3 : (A (B A) ((A (B C)) ((A B) (A C))) (( B A) B)) o Правило определения (Modus ponens): o Прочие логические связки вводятся определениями и служат для сокращения записей: A&B: = (A B), A˅B: = A B

Частные случаи и унификаторы o o o Частный случай формулы А(…, xi, …) получается с помощью подстановки B=А(…, xi, …){Bi//xi}, i=1. . n , здесь {Bi//xi}, i=1. . n называется унификатором. Формула С является совместным частным случаем формул A и B, если является частным случаем и A, и B при одном и том же унификаторе. При этом формулы A и B – называются унифицируемыми, а унификатор – общим. Наиболее общий унификатор – общий унификатор минимальной мощности. Введенные определения распространяются и на более, чем две формулы. Правила и теоремы исчисления высказывания позволяют построить обоснованный алгоритм поиска наиболее общего унификатора множества формул любой мощности. Правило подстановки: если B – частный случай A, то B непосредственно выводима из A. Modus ponens: если A, B, C – частный случай a, a b, b, то C непосредственно выводима из A и B.

Производные правила вывода исчисления высказываний o Теорема: ˫T A A o Теорема: A ˫T B A

Дедукция и другие теоремы исчисления высказываний o Теорема дедукции (имеющая место для более широкого класса формальных теорий, нежели исчисление высказываний): Если Г, А ˫T B, то Г ˫T А B и обратно n n Следствие 2 (правило транзитивности): n o Следствие 1: Следствие 3 (правило сечения): Если А ˫T B, то ˫T А B и обратно (для пустого Г) А B, B С ˫T А С А (B С), B ˫T А С Некоторые важные теоремы, выводящиеся из аксиом исчисления высказываний:

Исчисление высказываний. Заключение o o Теоремами исчисления высказывания являются общезначимые формулы, и только они: ˫T А A – тавтология. Исчисление высказываний является формально непротиворечивой теорией и может быть интерпретирована в любой конкретной области M. Рассмотренная аксиоматизация исчисления высказываний не единственна. В разное время другие ученые (Гильберт, Аккерман, Россер, Клини, Никод) предлагали другие наборы аксиом и правил.

Исчисление предикатов первого порядка

Исчисление предикатов K o Алфавит: n n n o o o Основные логические связки и Дополнительные логические связки & и ˅ служебные символы «( «, » и «)» Кванторы всеобщности и существования Предметные константы (a, b, …) и переменные (x, y, …) Предметные предикаты (P, Q, …) и функторы (f, g, …) Формулы (обозначаются заглавными буквами). Аксиомы. Правила вывода.

Формулы исчисления предикатов

Формулы исчисления предикатов o o o Пример формулы: x (P(x) y Q(x, y)) Формулы вида A и A называются атомарными, если A – атом. Вхождение переменной в формулу может быть n свободным: Q(x, y) n и связанным: x P(x). Формула, содержащая только связанные переменные – замкнутая. Областью действия квантора по x называется формула A в x A и x A. Терм свободен для переменной x в некоторой формуле, если никакое свободное вхождение x в эту формулу не лежит в области действия квантора по переменным, входящим в терм. Пример: f(x, y) свободен для x в x P(x, y) Q(x) f(x, y) не свободен для x в z y P(x, y) Q(x)

Аксиомы и правила вывода o Аксиомы: n все аксиомы исчисления высказываний, а также n n o Здесь t свободен для x в формуле A Правила вывода: n n n Здесь A содержит свободные вхождения x, а B не содержит

Классификация исчислений предикатов o Исчисление предикатов называется n n o чистым, если оно не содержит предметных констант, функторов и предикатов; прикладным, если оно содержит предметные константы, функторы или предикаты, связанные собственными аксиомами. Исчисление предикатов бывает n n первого порядка – кванторы могут связывать только предметные переменные. высших порядков – кванторы могут связывать предметные переменные, функторы, предикаты.

Интерпретация прикладного исчисления предикатов o Интерпретация I исчисления K с носителем M – это набор функций, сопоставляющих: n n n o Любой терм t имеет значение на наборе s=(s 1, …) M (интерпретируется на подмножестве), если существует такая функция s*(t): t M, что: n n n o o Каждой константе – элемент носителя: I(a) M. Каждому функтору – операцию соответствующей арности на носителе: I(f(x 1, …, xn)): Mn M. Каждому предикату – отношение на носителе: I(P(x 1, …, xn)) Mn. s*(a)=I(a) s*(xi)=si s*(f(t 1, …, tn)): =I(f)(s*(t 1), …, s*(tn)). Тогда истинность атома P(t 1, …, tn) на наборе s M определяется так : s*(P(t 1, …, tn)): =(s*(t 1), …, s*(tn)) I(P). Если s*(P)=И, то формула P выполнена на s.

Интерпретация прикладного исчисления предикатов o o o o Формула истинна в интерпретации I, если она выполняется на любом наборе s M. Формула ложна в интерпретации I, если не выполняется ни на каком наборе s M. Если все формулы F Г истинны в интерпретации I, то эта интерпретация называется моделью множества формул Г. Всякая замкнутая формула либо истинна, либо ложна в некоторой интерпретации. Открытая формула A(x, y, z, …) истинна в интерпретации, если истинно её замыкание x y z … A(x, y, z, …). Формула общезначима, если она истинна в любой интерпретации. Теорема: Всякая теорема чистого исчисления предикатов первого порядка общезначима. Теорема: Всякая общезначимая формула является теоремой чистого исчисления предикатов первого порядка.

Логическое следование и эквивалентность o o A B, если B выполнена на любом наборе и в любой интерпретации, в которых выполнена A. A B, если A B и B A.

Примеры прикладных исчислений предикатов первого порядка o Теория равенства E. n n Имеет собственный двухместный предикат: = (x, y) или x = y Имеет собственные аксиомы: o o n В теории E выводимы теоремы: o o o E 1: x x = x E 2: (x = y) (A(x){y/x}) ˫E t = t ˫E x = y y = x ˫E x = y (y = z x = z) Формальная арифметика A Теория абелевых групп G

Теоремы Гёделя о неполноте o o Первая теорема Гёделя о неполноте. Во всякой достаточно богатой теории первого порядка существует такая истинная формула F, что ни она, ни её отрицание не являются выводимыми в этой теории. Вторая теорема Гёделя о неполноте. Во всякой достаточно богатой теории первого порядка формула F, утверждающая непротиворечивость этой теории, не является выводимой в ней.

Автоматическое доказательство теорем

Алгоритм автоматического доказательства теорем o o Проверяет, выводима ли формула S из множества формул Г в теории T. В общем случае (для произвольной теории) построить такой алгоритм невозможно. n n Для исчисления высказывания автоматическое доказательство теорем может использовать таблицы истинности. Для обоих изученных исчислений применяется метод резолюций, использующий доказательство от противного: если Г, S ˫ F, и F – противоречие, то Г ˫ S (в качестве F принято использовать пустую формулу, никогда не являющуюся истинной)

Применение метода резолюций o Предполагает предварительную подготовку: сведение всех формул к набору предложений (бескванторных дизъюнкций литералов, называемых дизъюнктами Хорна) с помощью следующих 8 шагов: n n n n o Элиминация импликации Протаскивание отрицаний Разделение связанных переменных Приведение к предваренной форме Элиминация кванторов существования Элиминация кванторов всеобщности Приведение к конъюнктивной нормальной форме Элиминация конъюнкции Если Г – множество предложений, полученных из формулы S, то S – противоречие только если Г – невыполнимо.

Правило резолюций Для исчисления высказываний Для исчисления предикатов контрарные литералы резольвента наиболее общий унификатор контрарных литералов Прочие правила вывода являются частными случаями правила резолюций

Опровержение методом резолюций o Пусть необходимо доказать теорему S ˫ G: n n n o Все формулы набора S, а также G преобразуются в наборы предложений. Отыскиваются резольвируемые предложения, применяется метод резолюций, выводятся резольвенты. Пункт 2 повторяется до тех пор, пока не выведется пустая резольвента – противоречие. Варианты завершения алгоритма: n n n Больше нет резольвируемых предложений – теорема опровергнута. Получена пустая резольвента – теорема доказана. Процесс не заканчивается – теорему нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

Пример доказательства методом резолюций o Докажем теорему ˫L (((A B) A) A) Набор S пустой, поэтому в предложения надо преобразовать только отрицание выводимой формулы: o Будем последовательно выводить резольвенты: o Теорема доказана

Заключение o o Автоматическое доказательство теорем – важнейшее прикладное применение теории алгебраических структур. Алгоритм автоматического доказательства может быть реализован на ЯВУ различными способами – стратегиями метода резолюций. В случае исчисления предикатов «бутылочным горлышком» является поиск наиболее общего унификатора. Значит, необходима эффективная реализация алгоритма унификации.