ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Дифференциальное исчисление 3

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Дифференциальное исчисление

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 3. 1. Понятие дифференциала функции Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ'(х)∙∆х и α(x)∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→ 0.

• Поэтому первое слагаемое ƒ'(х)∙∆х называют главной частью приращения функции ∆у. ►Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)): dy = ƒ'(х)∙∆х.

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у = х. Так как у'= х‘ = 1, то, согласно формуле dy = ƒ'(х)∙∆х, имеем dy = dx = ∆x. Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х. Поэтому формулу dy = ƒ'(х)∙∆х можно записать так: dy = ƒ'(х)dх

Примеры: 1)Найти дифференциал функции ƒ(х)=3 x 2 -sin(l+2 x);

3. 2. Геометрический смысл дифференциала функции Проведем к графику функции y у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим y=f(x) y+∆y M 1 ординату этой касательной для точки х+∆х. T ∆y АМ=∆х, |AM 1|=∆у. B M α A y ∆x α O x x x+∆x

Сравнивая полученный результат с формулой dy = ƒ'(х)∙∆х, получаем dy= АВ, y т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х. y=f(x) y+∆y T ∆y M y O B α ∆x α M 1 x A x x+∆x

3. 3. Свойства дифференциала 1) dc =0; 2) d(cu)=cdu; 3) d(u±v) = du ± dv; 4) d(uv)=v∙du + u∙dv;

3. 4. Применение дифференциала к приближенным вычислениям т. к. dy = ƒ'(х)∙∆х, то Отбрасывая бесконечно малую α(x)∙∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство ∆у ≈ dy причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х. Подставляя в равенство ∆у ≈ dy значения ∆у и dy, получим ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ'(х)∆х или ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ'(х)∙∆х

Примеры: Так как х+∆х=1, 05, то при х=1 и ∆х=0, 05 получаем: