Элементы математического анализа 1 Пусть даны

Элементы математического анализа

Пусть даны две переменные x и y с областями изменения X и Y. Предположим, что переменной x может быть приписано произвольное значение из области X без каких-либо ограничений. Тогда переменная y называется функцией от переменной x в области её изменения X, если по некоторому правилу или закону каждому значению x из X ставится в соответствие одно определенное значение y из Y. Независимая переменная x называется также аргументом функции.

Определение понятия функции Можно в определении понятия функции стать на более общую точку зрения, допуская, чтобы каждому значению x из X отвечало не одно, а несколько значений y (и даже бесконечное множество их). В подобных случаях функцию называют многозначной, в отличие от однозначной функции. y есть функция от x. Здесь буква f есть первая буква французского слова „ fonction «, что значит: „функция». y=f (x), y=g (x), y=F (x) и т. п. Буквы f, g, F, … характеризуют именно то правило, по которому получается значение x, отвечающее заданному y.

Основные ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ линейная функция y=kx+b показательная (0 <a ≠ 1); ); , логарифмическая x (0 < a ≠ 1); , степенная y=xⁿ; тригонометрические sin x, cos x, tg x, ctg x; обратные тригонометрические функции: arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x. 4 a X loga

Пример 1. 1. Найти область определения функции Решение. Известно, что корень четной степени определен только при неотрицательном подкоренном выражении. Таким образом, решая неравенство получаем, что или Поэтому 542 4)(xxf 04 2 x ), 2[]2, ()(f. D 2 x 2 x

Подъем прямой Подъемом какой-нибудь прямой CD по отношению к горизонтальной прямой АВ называется угол α , образуемый этими прямыми. Напр. , говорят: „дорога идет в гору с подъемом в 5°». Но чаще подъем выражается не самим углом α, а его т а н ге н с о м. Для нахождения величины тангенса вообразим, что на прямой CD мы взяли произвольную точку M и из нее провели MN | АВ. Тогда из треугольника MEN находим: Точку М можно брать на прямой CD произвольно, так как если возьмем другие точки M ‘ , M» , . . . , то, проведя перпендикуляры M’N’ , M»N» , мы получим подобные треугольники, из которых видно, что Если, напр. , MN= 1 / 100 EN , то и M’N’= 1 / 100 EN’ , M»N»= 1 / 100 EN» и т. д. ; тогда можно сказать, что подъем прямой CD равен 1/100 (или что все равно — равен 1 метру на протяжении 100 метров по горизонтальному направлению).

На рисунке 2 изображена прямая CD, тоже наклонная к горизонтальной прямой AB, но идущая (слева направо) не в гору, а вниз. Тогда речь может идти не о подъеме прямой CD, а об ее уклоне. Черт 2. Уклон этот тоже измеряется чаще всего тангенсом угла α , образованного CD с AВ , так что Можно условиться рассматривать уклон как отрицательный подъем; тогда, если MN = 1 / 2 EN , то можно сказать, что уклон прямой CD равен 1 / 2 , или — другими словами — что подъем прямой CD равен — 1 / 2. Очевидно, что когда прямая CD не наклонна к AB , а параллельна ей или сливается с нею, тогда подъем равен нулю.

Положим теперь, что горизонтальная прямая будет ось ОХ. Тогда подъем прямой CD будет тангенс угла α, образованного этой прямою (продолженной, если нужно) с положительным направлением оси ОХ. Этот подъем можно найти и не продолжая CD до пересечения с осью ОХ. Для этого возьмем две какие-нибудь точки на прямой CD , напр. . М и M’, проведем их ординаты MN и M’N’ и прямую МР || О x. Тогда мы получим прямоугольный треугольник ММ’Р , у которого угол M равен α. Следовательно, подъем прямой CD равен отношению М’Р к МР. Отрезок МР , равный NN’ , показывает, насколько увеличилась абсцисса ON при переходе от точки M к точке М’ ; отрезок М’Р показывает, насколько при этом переходе увеличилась ордината MN. Значит, отрезок MР , равный NN’ , есть приращение абсциссы Δ x , полученное ею при переходе от точки M к точке M’ , а M’Р —приращение ординаты Δ у , соответствующее приращению абсциссы на NN’. Конечно, если абсциссе ON дадим иное приращение, напр. NN» , то и ордината MN получит иное приращение M»P’ , но тангенс угла α по-прежнему будет отношение М»Р’ к NN». Таким образом: 8 х у

Общее определение касательной к кривой Возьмем на кривой какие-нибудь 2 точки А и В и проведем через них секущую АР. Вообразим, что точка В, двигаясь по кривой, проходит через положения B 1, B 2. . . и приближается к точке А. Тогда секущая АР будет занимать последовательно положения AP 1 AP 2. . . Если допустим, что точка В приближается к А неограниченно близко, то секущая приближается все более и более к некоторому предельному положению AQ так, что угол между прямою AQ и секущей делается и остается меньшим любого данного угла, как бы мал он ни был. Это предельное положение секущей называется касательной к кривой в точке А.

Вспомним, что когда в геометрии говорилось о касательной к окружности, то там она определялась как такая прямая, которая с окружностью имеет только одну общую точку. Это определение, верное относительно окружности, применимо однако не ко всякой кривой. Во-первых, прямая, имеющая с кривой только одну общую точку, может в этой точке пересекаться с кривой (незамкнутой, какова, напр. , парабола); во-вторых, прямая—касающаяся кривой в какой-нибудь точке, может, кроме этой точки, иметь с кривою еще и другие общие точки (как это видно на чертеже). Определение, рассматривающее касательную , как предельное положение секущей , есть общее определение касатель ной, так как оно применимо ко всякой кривой.

11 подъем х у

Определение производной как предела отношения приращений Пусть функция у = f(x) изображена посредством координатных осей в виде кривой на рисунке и пусть на этой кривой взяты 2 точки М(х, у) и М’ ( х + Δх, у + Δу). Тогда на участке кривой от точки М до М’ средний подъем = Δу / Δх Предел этого среднего подъема, когда Δ х —> 0 , есть подъем кривой в точке M (подъем касательной МТ ) и называется производнойфункцией от f(x). Значит, мы можем написать: f’ (x) = пред. Δ у / Δ х , если Δ х —> 0. Так как Δ у = f(х + Δх) — f(x) , то это равенство можно переписать так: Опр. Производная функции у=f (x) в точке х равна пределу отношения приращения этой функции Δf(х) к приращению аргумента Δх при Δх→

Пример вычисления производной по определению f‛ Реше ние). 2(, 2)(. 1)(: 0 2 fестьтохточкевxf. Найдем xxf. Дано )()()(00 xfxxfxf 5141)2()( 2 0 xf 22 4545)(xxxxxf x x xf 4 4)( 2. 4)(, 4 )( , 0 xfестьто x xf тоx. Если. 4)(: xf. Ответ 22 2 0 45144 1)2()2()( xxxx xxfxxf

Односторонние пределы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Под односторонним пределом числовой функции подразумевают «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева ) (рис. 1) и правосторонним пределом ( пределом справа ) (рис. 2). Рис. 1 Рис. 2 предел справа limf x → a+0 предел слева limf x → a-

Односторонние пределы Замечание. Основные свойства односторонних пределов схожи со свойствами обычных пределов. ТЕОРЕМА Для существования (двустороннего) предела функции необходимо и достаточно, чтобы оба односторонних предела существовали и равнялись между собой. Найти левый и правый пределы φ(x)= в точке х=3 Функция 1/(x+2^(1/(x-3))) limf x→ 3 — =1/3 limf x → 3+ =0 limf x → 3 двустороннийпредел несуществует

Функция в точке х=3 ) в точке х=3 16φ(x)=

Производная от функции у = ах 2 Эта функция геометрически выражается параболой. Чтобы найти подъем этой параболы в точке с абсциссой х (рис. ), дадим этой абсциссе приращение Δх= h ; тогда ордината у получит приращение Δу = а ( х + h ) 2 — ах 2 = ах 2 + 2 аhx + аh 2 — ах 2 = 2 аhx + аh 2. Следовательно, средний подъем параболы у = ах 2 на участке от точки с абсциссой х до точки с абсциссой x + h , будет Если Δх= h —> 0 , то и ah —> 0 , a 2 ах остается без изменения; следовательно, подъем будет: ( ах 2 ) ‘ = = ( 2 аx + аh ) = 2 аx. Таким образом, производная от одночлена ах 2 равна показателю при х , умноженному на такой же одночлен, у которою только показатель уменьшен на 1. ( х 2 ) ‘ = 2*х По формуле ( 2* х 2 ) ‘ = 2*2 х = 4* х ; ( 3* х 2 ) ‘ = 3*2* х = 6* х . 17 х у у х у lim 0 х )(‘)( ‘ x. Cf

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке. Операция нахождения производной данной функции называется дифференцированием обозначается с помощью штриха. При нахождении производных применяются правила дифференцирования, например: (2. 3) 180’C)(‘)( ‘ x. Cf

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ Функцииодногопеременного. При нахождении производных применяются правила дифференцирования: (2. 1) (2. 2) (2. 3) (2. 4) 19)(‘)(‘)()( ‘ xgxfxgxf 0’C)(‘)( ‘ x. Cf )( )()(‘ )( )(2’ xg xfxgxgxf xg xf

Сложная функция Опред. Если у зависит от х через посредство промежуточного аргумента u , то у называется сложной функцией от х. Примеры. у=((1+5 х) 3 , u = 1+5 х, y= u 3 у=sin 4 x, u = 4 x, y=sin u Для сложной функции у=f (u) , u =φ(x) ( f ( φ(x) ) ) ′ =f ( φ(x ) ) ′ ∙φ ′ (x) у′= ( (1+5 х) 3 ) ′=3* u 2 *(1+5 х) ′ =3*(1+5 х) 2 *5 =15*(1+х) 3 у ′=(sin 4 x)′ =(sin u )′= cos u * u′= cos 4 х * 4=4*cos 4 х 20′)'( 1 uuu ‘si n)'(cosuuu’cos)'(sinuuu

Найти производную функции по определенпю y=sinx. Используя определение производной, получаем y′(x)= Применим тригонометрическое тождество sinα−sinβ=2*sincos. Тогда y′(x)= = * Первый предел в данном выражении равен =1 (Первый замечательный предел ) Поскольку то для производной синуса получаем окончательное выражение: y′(x)=(sinx)′=cosx.

Таблица основных производных

сайт для заочников http: //www. mathprofi. ru/proizvodnaya_slozhnoi_funkcii. html

Пример 2. 1. Найти производную функции Решение. Применим формулы (2. 4), (2. 1) и (дважды) формулу производной степенной функции: 241 2 x x y. )1(2 31 )1(2 41 )1( 2 1 )1( )’1()1()'( 1 22 222/1 ‘ 2 xx x xxxx x x

Пример 2. 2. Найти производную функции Решение. Сначала воспользуемся формулой (2. 2) и табличной производной косинуса для сложной функции: 25)3 cos(xxy. 3 si n 33 cos )’3()3 si n(3 cos 1)’3(cos 3 cos» xxxxxxxxy

Пример 2. 3. Найти в точке производную функции Решение. Предварительно «подготовим» функцию к дифференцированию Теперь воспользуемся формулами производных степенной функции и функции (из таблицы), а также формулами (2. 1), (2. 3): 260 x 34 53 1 )( x e xf 3/14 34 )53( 53 1 )( x x e e xf u ey. )53( 4 )53(3 )’4(3 )’53()53( 3 1 )’)53(()(‘ 3/44 4 43/443/14 x x xxx e e e xe eeexf

Подставляем значение и получаем: 270 x 41 2 4 )2( 4 )53( 4 )0(‘ 43/433/4 f

Пример 2. 4. Для найти вторую производную ( ). Решение. Сначала найдем первую производную : Далее воспользуемся тем, что 2823)(xxf )(»xf. )23( 2 3 )’23()23( 2 1 )23()(‘2/12/1’ 2/1 xxxxxf ‘ )(‘)(»xfxf. )23(4 33 )’23()23( 2 1 2 3 )23( 2 3 )(» 3 2/3 ‘ 2/1 x xxxxf

Найти производные функций y=x 2 -4*x+3 y=(sinx) 3 y=sin(x 3 ) y= y=x*sinx

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАЦИИ ЭКСТРЕМУМЫ функции одного переменного Пусть D(f) – область определения функции и Если для всех x из некоторой окрестности точки выполняется неравенство (или ), то число M (m) называется локальныммаксимумом (или локальным минимумом ) функции , а сама точка — точкой локального максимума (локального минимума). Оба числа объединяются термином « экстремум функции » (соответственно, говорят и о « точках экстремума » ). 30)(xfy )(0 f. Dx 0 x Mxfxf)()(0 mxfxf)()(

При поиске экстремумов и точек экстремума функции придерживаются следующей схемы рассуждений. 1) Установить область определения функции. 2) Найти ее производную 3) Проверить необходимое условие экстремума, т. е. выяснить, в каких точках из области определения функции производная обращается в нуль (решить уравнение f’(x) = 0 ) Такие точки называются стационарными. Найти значения x , при которых функция определена, а производная – нет (совокупность таких точек и стационарных называется множеством критическихточек ). 4) Определить знак производной на числовых интервалах, на которые стационарные и критические точки разбили область определения. 5) Проверить достаточное условие экстремума: если при переходе через найденную точку производная знак не меняет, то не является точкой экстремума; если слева от а справа то — точка максимума исходной функции и и наоборот. 310 x )(xfy )(‘xf 0)(‘xf )(0 maxxff 0 x

При поиске экстремумов и точек экстремума функции придерживаются следующей схемы рассуждений. 5) Проверить достаточное условие экстремума: если при переходе через найденную точку производная знак не меняет, то не является точкой экстремума; если слева от , а справа то — точка максимума исходной функции и и наоборот. Если функция возрастает, т. е. угол наклона касательной к графику функции — острый , а если функция убывает, то и угол наклона касательной тупой. Найти интервал возрастания и убывания (монотонности) функции f(х)=х 3 -7, 5 х 2 +18 х и точки экстремума Найти точки экстремума функции f(х)=(х-2)*е x 320 x 0)(‘tgxf 0)(‘xf )(0 maxxff 0 x 0 x 0)(‘xf 0)(‘tgxf

Пример 8. 2. Найти экстремумы функции Данная функция определена для всех действительных чисел, ее производная имеет вид При этом производная не определена там, где в нуль обращается знаменатель, т. е. при x=0. Эта точка является критической. Стационарных точек нет, так как в числителе стоит постоянное число, и потому дробь не обращается в нуль. Учитывая, что знак производной совпадает со знаком , а потому и со знаком x , получаем, что слева от x=0 (там, где x<0 ) , а справа . Поэтому x=0 – точка минимума исходной функции, и 330)0(minff 32 )(xxf 33 2 )(' x xf 3 x 0)('xf 0)(' xf

Наибольшее и наименьшее значение функции одного переменного на числовом интервале Теорема 8. 1. Если функция определена и непрерывна на числовом отрезке [a; b], то она достигает своих максимального и минимального значений в точках этого отрезка, т. е. существует и такие, что 34)(xfy ], [1 bax], [2 bax )()(mi n 1 ]; [ xfxf bax )()(max 2 ]; [ xfxf bax

Теорема 8. 1 позволяет построить алгоритм решения задачи на поиск наибольшего и наименьшего значения функции , определенной и непрерывной на заданном отрезке [a; b]. Этот алгоритм заключается в следующем. 1) Найти производную 2) Найти стационарные и критические точки и выбрать те из них, которые попадают в отрезок [ a; b ]. 3) Сравнить значения функции в найденных точках и на границах (т. е. в точках x=a, x=b ), выбрать наибольшее и наименьшее значения. Характерэкстремуманеопределять. 35)(‘xf

Найти наибольшее и наименьшее значения функции у=х 3 -2 х 2 +х-2 на заданном отрезке [0, 5; 2].

Асимптоты Асимптотой для функции у=f(x) называется прямая, к которой неограниченно (не пересекая) приближается кривая графика функции. Функция может иметь вертикальную асимптоту х=а, если =∞ (может, слева или справа), наклонную асимптоту у=kx+b, если существуют конечные числа k и b , горизонтальную у=b , если Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной при k=

Найти асимптоты функции у=1/ (х-2) : Значит х=2 вертикальная асимптота. 2) Значит у=kx+b=0*х+0=0, т. е. у=0 горизонтальная асимптота. 38=-∞, =+∞

Найти асимптоты функции у=(х 2 +1)/х Найти асимптоты функции x 2 -y 2 =a

Найти асимптоты функции у=(х 2 +1)/х Найти асимптоты функции x 2 -y 2 =a

Найти асимптоты функции у=(х 2 +1)/х

Вычисление второй производной функции и с ее помощью выяснение выпуклости вверх (вогнутости вниз), нахождение точек перегиба График функции имеет на интервале выпуклость , направленную вверх , если он расположен не выше любых касательных, проведенных к графику функции. (f′′(х)0 выпукла вниз (вогнута) 43 У=f(х)

Исследование функции производится по схеме: 1) Область определения. 2) Область значений функции. 3) Нули функции. 4) Четность (нечетность). 5) Периодичность. 6) Вычисление первой производной и с ее помощью нахождение промежутков возрастания (убывания) функции, точек экстремума. 7) Вычисление второй производной функции и с ее помощью выяснение выпуклости вверх (вогнутости вниз), нахождение точек перегиба. 8) Нахождении асимптот графика.

Исследовать функцию у= 1) Область определения х ≠ -1. При х→ -1 у →∞, значит х= -1 вертикальная асимптота. 2) Область значений функции. (-∞; +∞) 3) Нули функции. у= =0 при х=0. 4) Четность (нечетность) у(-х)= функция общего вида. 5) у′= ()′==== у′=0 при х=0 и х= -2. у′ не существует при х= -1. у мах (-2)=-4, у мin (0)=0/ + -2 -1 0 x 45 max min

у= 4) Четность (нечетность) у(-х)= функция общего вида. 5) у′= ()′==== у′=0 при х=0 и х= -2. у′ не существует при х= -1. у мах (-2)=-4, у мin (0)=0 + -2 -1 0 x 46 max min 6) у′′=()′=== у′′>0 при х>-1 и х<-1 yy′′ x -1 — +

у= 7) Ищем наклонную асимптоту: k= 476) у′′=()′=== у′′>0 при х>-1 и х<-1 yy′′ x -1 — + = = 1 = = -1 Итак, у=kx+b=х-1 наклонная асимптота

Строим график у=

Дз: Всем: Исследовать функцию у=0, 2 x 3 +0, 5 x 2 — 2*x+1 Посложнее: Исследовать функцию у= Простая: Исследовать функцию у= 5*x-4 x 2 +

Следующее занятие по математическому анализу через неделю во вторник 24. 01 в 9. 00 (одна пара)