Элементы математического анализа 1 Функция Область определения функции

Элементы математического анализа 1. Функция. Область определения функции. Предел функции, непрерывность функции. 2. Определение производной, ее геометрический смысл. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью. Дифференциал функции. 3. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов. Методы интегрирования: метод подстановки, метод интегрирования по частям.

1. Определение функции, основные понятия Понятие, Определение Аналитическое обозначение задание, геометрический образ 1. Функция 2. Область определения функции Отображение числового множества D на числовое множество E. Множество значений x при которых функция y определена. y- функция (зависимая переменная) x- аргумент независимая переменная)

Понятие, обозначение Определение 3. Область значений функции Множество значений функции y для всех 4. График функции Множество точек плоскоcти 5. Частное значение функции Значение функции y при заданном значении аргумента x=a. Аналитическое задание, геометрический образ График – это линия в

Поведение функции в точке Понятие 1. Проколатая окрестность точки a 4. Предел функции y=f(x) в точке a Обозначение Определение Окрестность точки a, из которой удалена сама точка a. Геометрическое изображение

Теоремы о пределах Понятие, теорема Формула, формулировка 1. Единственность предела Если предел существует, то он единственен. 2. Связь функции с её пределом 3. Предел суммы и разности 4. Предел произведения 5. Предел частного 6. Первый замечательный предел 7. Второй замечательный предел

Понятие непрерывности функции. Понятие Определение 1. Непрерыв- Первое определение ность функции y=f(x) в точке Второе определение 2. Точки разрыва Точки в которых функции нарушена непрерывность функции Геометрическоеизображение

Свойства непрерывных функций Условие Свойство 1. Функция y=f(x) непрерывна в точке 2. Функции y=f(x), y=g(x) непрерывны в точке 3. Функция непрерывна на [a, b] - непрерывны в точке Функция на [a, b] 1) ограничена 2)принимает наибольшее M и наименьшее m значения 3)принимает все промежуточные значения между m и M

2. Производная, ее геометрический смысл. Рассмотрим функцию y = f (x). Опр. Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: Обозначения: – ввел Ж. Лагранж – ввел Г. Лейбниц 18 February 2018 11 -20 13 -10 8

Правило дифференцирования по шагам 1. Дать аргументу x приращение Δx и найти приращенное значение функции 2. Найти приращение функции 3. Вычислить отношение 4. Найти производную 18 February 2018 11 -25 13 -15 9

Дифференцирование функции В 1. Производная, ее геометрический и физический смысл. Уравнения касательной и нормали к графику функции 1. 5. Геометрический смысл производной Пусть дана функция y y 0+Δy y 0 N M 0 αβ Опр. Касательной к линии в точке M 0 называется предельное положение секущей M 0 N, когда точка N линии неограниченно приближается к точке M 0. 0 x x 0+Δx – угол наклона секущей M 0 N; Геометрический смысл: 18 February 2018 11 -40 13 -30 – угол наклона касательной. Производная f ’( x 0) – это угловой коэффициент касательной к графику функции y = f (x) в точке M 0(x 0, f (x 0)). 10

Лекция 6 (№ 42) Дифференцирование функции В 1. Производная, ее геометрический и физический смысл. Уравнения касательной и нормали к графику функции 1. 6. Уравнения касательной и нормали к графику функции Пусть дана функция Записать уравнения касательной и нормали к графику этой функции в точке Уравнение прямой с заданным y угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку: M 0 y 0 Касательная 0 x 0 Нормаль 18 February 2018 11 -50 13 -40 x к касательной 11

Дифференцирование функции В 2. Непрерывность функции, имеющей конечную производную Опр. Функция, имеющая конечную производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке. Теорема. Если функция y = f ( x ) дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Замечание. Обратное утверждение неверно. y y 0 18 February 2018 12 -00 13 -50 x 12

Формулы дифференцирования 12 -20

Формулы дифференцирования В 2. Производная сложной функции Определение. Функция y называется сложной функцией переменной x, если Переменная u называется промежуточной переменной. Функции y=f(u) и u=g(x) называются звеньями сложной функции. Примеры. Два звена. Сложная функция может состоять из большего числа звеньев: Пример. Три звена. При дифференцировании сложной функции важно уметь представить ее в виде цепочки звеньев. Пример. 18 February 2018 11 -25 14

Производная сложной функции Теорема. Если функции y=f (u) и u=g(x) дифференцируемы, то производная сложной функции y=f [g(x)] находится по формуле Правило цепочки. Примеры. Замечание. 18 February 2018 11 -35 15

3. Неопределенный интеграл № 1 2 3 4 Дифференциал Неопределенный интеграл

Первообразная функция. Неопределенный интеграл и его свойства Опр. Функция называется первообразной для функции , если выполняется равенство Например, 1) для функции первообразной является функция 2) для функции 3) для функции

• Теорема 1. Если функция является первообразной для функции то функция , где C — произвольная постоянная, также будет первообразной для функции. Неопределенный интеграл Определение. Совокупность всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается.

• Геометрический смысл неопределенного интеграла — это совокупность кривых, получаемых путем сдвига одной из кривых параллельно самой себе вдоль оси 0 y. Например, — совокупность парабол

Свойства неопределенного интеграла или

Интегрирование функций. Таблица основных формул интегрирования

Свойство линейности и методы интегрирования Метод Формула интегрирования 1. Свойство линейности 2. Непосредс твенное интегрирова ние - первообразная - дифференцируемая функция Частный случай

Метод интегрирования 3. Интегрирование по частям 4. Метод замены переменной Формула

Найти интеграл: Решение:

Определенный интеграл 1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции Опр. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью 0 x, вертикальными прямыми и графиком функции Постановка задачи. Найти площадь криволинейной трапеции

площадь всей криволинейной трапеции найдется по приближенной формуле Перейдя к пределу при стремлении максимальной длины участка разбиения отрезка к нулю, получим точную формулу для площади криволинейной трапеции называется интегральной суммой для функции на отрезке. Где Она зависит от способа разбиения отрезка на части и от выбора точек.

Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается Таким образом, по определению Число a называется нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом интегрирования, отрезок – отрезком интегрирования.

Вычисление определенного интеграла В 3. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема. Если F(x) – некоторая первообразная непрерывной функции f(x), то справедлива формула Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница. Введем знак «двойной подстановки» : Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде Вычисление определенного интеграла 1. Найти первообразную F(x) для функции f(x) ; 2. Вычислить разность F(b) – F(a). .

Вычисление определенного интеграла Методы интегрирования. Интегрирование по частям в определенном интеграле Теорема. Если то имеет место формула – непрерывны на отрезке [ a, b ] , , которая называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле. (3)

Вычисление определенного интеграла Методы интегрирования. Замена переменной в определенном интеграле Теорема. Пусть дан где f(x) – непрерывная на [ a, b ] функция. Пусть удовлетворяет условиям: ], – непрерывна на [ , 1). , 2) Тогда имеет место формула , причем (2) Необходимо запомнить: 1) в определенном интеграле обязательна смена пределов интегрирования по формулам , ; 2) после нахождения неопределенного интеграла надо вернуться к старой переменной, а в определенном интеграле этого делать не нужно.

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Пусть функция непрерывна на участке оси Ox. Выберем произвольное значение рассмотрим определенный интеграл конечном отрезке. Опр. Несобственным интегралом от функции на промежутке называется и обозначается и на

Итак, по определению Если указанный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то – расходящимся. Геометрический смысл несобственного интеграла. Если , то – это площадь бесконечной криволинейной трапеции с основанием

Несобственные интегралы