ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

СОДЕРЖАНИЕ ТЕМЫ 1. Векторы 2. Линейная зависимость и независимость

Запись вектора: или Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка

свободный вектор – это множество одинаковых направленных отрезков.

ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ. КОЛЛИНЕАРНОСТЬ ВЕКТОРОВ Правило сложения векторов по правилу треугольников

КОЛЛИНЕАРНОСТЬ ВЕКТОРОВ Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены.

Матрица – это прямоугольная таблица каких- либо элементов Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами Пример: рассмотрим матрицу «два на три» : Данная матрица состоит из шести элементов:

УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО Произведением ненулевого вектора на число является такой вектор , длина которого равна , причём векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА НА ПЛОСКОСТИ Единичные векторы Векторы и ортогональны. Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости. Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости Обозначение:

Любой вектор плоскости единственным образом выражается в виде: * , где – числа, которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение * называется разложением вектора по базису.

или Запись базисных векторов:

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ ортонормированный базис трехмерного пространства Базисные векторы записываются следующим образом: Любой вектор

РАЗЛИЧИЕ МЕЖДУ КООРДИНАТАМИ ТОЧЕК И КООРДИНАТАМИ ВЕКТОРОВ: Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. . Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда -либо нельзя. базис Координаты же вектора – это его разложение по базису. Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости.

ДЛИНА ОТРЕЗКА Отличие состоит в том, что здесь речь идёт о векторе, а не об отрезке. Вектор можно переместить в любую точку плоскости

ДЛИНА ВЕКТОРА

ДЕЙСТВИЯ С ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТАХ Сложение векторов Для того, чтобы сложить векторы, необходимо сложить их соответствующие координаты Умножение вектора на число Для того, чтобы умножить вектор на число необходимо каждую координату данного вектора умножить на число

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Определение: Скалярным произведением двух векторов и называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы ортогональны

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТАХ Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ Координаты вектора в ортонормированном базисе – это его проекции на направления соответствующих координатных векторов (координатные оси). Направляющие косинусы ненулевого вектора , заданного в ортонормированном базисе выражаются формулами: а сами координаты вектора можно выразить через его длину и данные косинусы: Вектор с координатами из соответствующих направляющих косинусов – коллинеарен исходному вектору «вэ» ; – его длина равна единице (так называемый единичный вектор).

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ Коллинеарные векторы линейно зависимы. Слова «линейный» , «линейно» обозначают тот факт, что в математических уравнениях, выражениях нет квадратов, кубов, других степеней, логарифмов, синусов и т. д. Есть только линейные (1 -ой степени) выражения и зависимости Два вектора плоскости линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны Два вектора плоскости линейно независимы в том и только том случае, если они не коллинеарны.

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ Любой вектор плоскости единственным образом раскладывается по базису : где α и β – действительные числа. Эти числа называют координатами вектора в данном базисе. Также говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. То есть, выражение называют разложением вектора по базису или линейной комбинацией базисных векторов. Пример: вектор разложен по ортонормированному базису плоскости или представлен в виде линейной комбинации векторов

БАЗИС ПЛОСКОСТИ Базисом плоскости называется пара линейно независимых (неколлинеарных) векторов , взятых в определённом порядке, при этом любой вектор плоскости является линейной комбинацией базисных векторов.

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ Длядвух векторов плоскости эквиваленты следующие утверждения: 1) векторы линейно независимы; 2) векторы образуют базис; 3) векторы не коллинеарны; 4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга; + 5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ 1)векторы линейно зависимы; 2) векторы не образуют базиса; 3) векторы коллинеарны; 4) векторы можно линейно выразить друг через друга; + 5) определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю.

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ БАЗИС Определение: три вектора называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Компланарные векторы всегда линейно зависимы, то есть линейно выражаются друг через друга. Некомпланарные векторы всегда линейно независимы, то есть не выражаются друг через друга. И, только такие векторы могут образовать базис трёхмерного пространства.

БАЗИС ТРЁХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА Определение: Базисом трёхмерного пространства называется тройка линейно независимых (некомпланарных) векторов , взятых в определённом порядке, при этом любой вектор пространства единственным образом раскладывается по данному базису – координаты вектора в данном базисе вектор представлен в виде линейной комбинации базисных векторов.

БАЗИС ТРЁХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА Для трёх векторов пространства эквиваленты следующие утверждения: 1) векторы линейно независимы; 2) векторы образуют базис; 3) векторы не компланарны; 4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга; 5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ) Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно n неизвестных x 1 , x 2 , . . . , xn: Эта система в "свернутом" виде может быть записана так: S ni=1 aij xj = bi , i=1, 2, . . . , n. В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричной форме Ax=b, где , , .

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ) Матрица A, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении называется матрицей системы. Матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец x, элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы. .

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ) Система линейных алгебраических уравнений, записанная в виде Ax=b, является матричным уравнением. Если матрица системы невырождена, то у нее существует обратная матрица и тогда решение системы Ax=b дается формулой: x=A -1 b

ФОРМУЛЫ КРАМЕРА Если определитель D=det A матрицы системы Ax=b отличен от нуля, то система имеет единственное решение x 1 , x 2 , . . . , xn, определяемое формулами Крамера xi =Di / D, i=1, 2, . . . , n, где Di - определитель матрицы n -го порядка, полученной из матрицы A системы заменой i - го столбца столбцом правых частей b.

МЕТОД ГАУССА Метод Гаусса применим для решения системы линейных алгебраических уравнений c невырожденной матрицей системы. Идея метода Гаусса состоит в том, что систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных x 1 , x 2 , . . . , xn приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей решение которой находят по рекуррентным формулам: xn =dn , xi = di -S nk=i+1 cik xk , i=n-1, n-2, . . . , 1.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МАТРИЧНЫЕ ОПЕРАЦИИ перестановка строк; умножение строки на число, отличное от нуля; сложение строки матрицы с другой строкой, умноженной на отличное от нуля чиcло. Элементарныепреобразования не меняют решение системы уравнений

МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ МЕТОДА ГАУССА Прямой ход метода Гаусса: приведение расширенной матрицы системы к ступенчатому ( треугольному) виду с помощью элементарных операций над строками матрицы

МЕТОД ГАУССА Прямой ход метода Гаусса: приведение расширенной матрицы системы к ступенчатому ( треугольному) виду с помощью элементарных операций над строками матрицы Обратный ход метода Гаусса: преобразование полученной ступенчатой матрицы к матрице, в первых n столбцах которой содержится единичная матрица. Последний, (n+1)-й, столбец этой матрицы содержит решение системы.

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЛАУ Определение: Решением системы называется совокупность n значений неизвестных x 1=x'1 , x 2 =x'2 , . . . , xn=x'n , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

РАСШИРЕННАЯ МАТРИЦА СИСТЕМЫ Расширенная матрица системы

Совместные и несовместные системы Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной. Однородные системы Ax=0 Однородная система всегда совместна. Почему?

ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ Однородная система в с е г д а с о в м е с т н а, поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение: x 1=0 , x 2=0 , . . . , xn=0. Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной. Доказано, что при m=n для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю.

ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ Число r ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы называется рангом матрицы, обозначаем r=rg(A) или r=Rg(A). Справедливо следующее утверждение. Для того, чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг r матрицы системы был меньше числа неизвестных n.

ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ Если однородная система нетривиально совместна, то она имеет бесконечное множество решений, причем линейная комбинация любых решений системы тоже является ее решением. Доказано, что среди бесконечного множества решений однородной системы можно выделить ровно n-r линейно независимых решений. Совокупность n-r линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений.

ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ Любое решение системы линейно выражается через фундаментальную систему. Таким образом, если ранг r матрицы A однородной линейной системы Ax=0 меньше числа неизвестных n и векторы e 1 , e 2 , . . . , en-r образуют ее фундаментальную систему решений (Aei =0, i=1, 2, . . . , n-r), то любое решение x системы Ax=0 можно записать в виде x=c 1 e 1 + c 2 e 2 + . . . + cn-r en-r , где c 1 , c 2 , . . . , cn-r — произвольные постоянные. Записанное выражение называется общим решением однородной системы. Исследовать однородную систему — значит установить, является ли она нетривиально совместной, и если является, то найти фундаментальную систему решений и записать выражение для общего решения системы.

ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ Исследуем однородную систему методом Гаусса. r< n. Привели к ступенчатому виду Получили эквивалентную систему

x 1 , x 2 , . . . , xr базисные переменные, xr+1 , xr+2 , . . . , xn свободные переменные. Выразили базисные переменные Задали последовательно значения через свободные переменные свободных переменных 1 2 Вычислили значения базисных переменных 3 фундаментальная система решений исследуемой однородной системы

ПРИМЕРЫ Проверьте условие нетривиальной совместности однородной системы с квадратной матрицей Докажите нетривиальную совместность однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными Исследуйте однородную систему

ПРИМЕР 3

ПРИМЕР 3 1. Определим матрицу системы A: 2. Найдем ранг матрицы системы A: rank(A)=3 Ранг матрицы системы A меньше числа неизвестных, система нетривиально совместна 3. Приведем матрицу системы к ступенчатому виду с помощью функции rref (A) (Функция rref(A) выполняет элементарные операции над строками матрицы A - приводит ее к ступенчатому виду. ) Свободные переменные x 3, x 4, базисные переменные x 1, x 2, x 5,

ПРИМЕР 3 Получили эквивалентную систему Выразили базисные переменные через свободные Нашли фундаментальную систему решений: x 3=1, x 4=0 x 3=0, x 4=1

НЕОДНОРОДНЫЕ СЛАУ теорема Кронекера-Капелли. Для того, чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы. Исследовать неоднородную систему — это значит установить, является ли она совместной, и если является — найти выражение для общего решения системы. Исследуем неоднородную систему методом Гаусса.

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ МЕТОДОМ ГАУССА расширенная матрица исследуемой системы, ранг которой r равен рангу матрицы системы и r< n. Привели к ступенчатому виду Получили эквивалентную систему

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ МЕТОДОМ ГАУССА Получим выражения базисных переменных x 1 , x 2 , . . . , xr через свободные переменные xr+1 , xr+2 , . . . , xn общее решение системы При xr+1 =0, xr+2 =0, . . . , xn=0 получим частное решение исследуемой системы x 1 =d 1 , x 2 =d 2 , . . . , xr=dr , xr+1 =0, xr+2 =0, . . . , xn=0.