ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
ОСОБЕННОСТИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Квантовая механика (волновая механика) – теория, устанавливающая способ описания и законы движения физических систем, для которых величины, характеризующие систему и имеющие размерность действия, оказываются сравнимыми с постоянной Планка h. Этому условию удовлетворяет, как правило, движение микрочастиц (электронов в атоме, атомов в молекулах, нуклонов в ядрах и т. д. ). Квантовомеханическая теория объясняет устойчивость атома, необъяснимую в рамках классической физики, а также позволяет достаточно рассчитать для простейших атомов уровни энергии, вероятности переходов и т. д. На основе квантовых представлений с единой точки зрения можно объяснить оптические, магнитные, электрические и химические свойства атома, а также периодическую систему элементов. 2
ОСОБЕННОСТИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Для классической механики характерно описание частиц путём задания их координат и скоростей в зависимости от времени. Такому описанию соответствует движение частиц по вполне определённым траекториям. Опыт показал, что это описание не всегда справедливо в случае частиц с очень малой массой (микрочастиц). В этом состоит одно из ограничений применимости механики Ньютона. Более общее описание движения даёт квантовая механика, которая включает в себя как частный случай классическую механику. Квантовая механика делится на • нерелятивистскую, справедливую при малых скоростях, и • релятивистскую, удовлетворяющую требованиям специальной теории относительности. 3
ОСОБЕННОСТИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Соотношение между классической и квантовой механикой определяется универсальной мировой постоянной – постоянной Планка h=6, 62⋅10⋅10 -27 эрг⋅с (или ħ=h/2π=1, 05⋅10 -27 эрг⋅с), называется также квантом действия. Если физические величины размерности действия значительно больше ħ (так что ħ можно считать очень малой величиной), то применима классическая механика. Именно это условие и является критерием её применимости. 4
КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ Французский ученый Луи де Бройль осознавая существующую в природе симметрию и развивая представления о двойственной корпускулярно-волновой природе света, выдвинул в 1923 гипотезу об универсальности корпускулярно-волнового дуализма. Он утверждал, что не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы материи наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойствами. Согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики - энергия E и импульс p, а с другой стороны - волновые характеристики - частота и длина волны. Корпускулярно-волновой дуализм заключается в том, что любые микрочастицы материи (фотоны, электроны, протоны, атомы и др. ) обладают свойствами и частиц (корпускул) и волн. 5
КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ Физической основой квантовой механики является корпускулярноволновой дуализм – всеобщее и универсальное свойство материи, согласно которому не только любой волне с частотой отвечает частица с энергией равными: ν и волновым вектором k Е и импульсом р, соответственно Е=ħν, р=ħk, (1) С учётом известного уравнения Эйнштейна имеем: mc 2=ħν (2) В то же время, с любой частицей, обладающей энергией Е и импульсом р, связана волна, частота ν и волновой вектор которой k определяется соотношением (1). Наличие у частиц волновых свойств доказано в огромном числе экспериментов. Интерференция и дифракция наблюдались для электронов, нейтронов, атомных ядер, атомов, молекул. Волновые свойства нейтронов лежат в основе нейтронной оптики. 6
КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ Замечание. Иногда говорят, что формулу де Бройля можно «вывести» . При этом записывают постулаты Планка E=hν и Эйнштейна E=mc 2=pc. Комбинируя оба равенства, можно «вывести» формулу де Бройля: mc 2 = hν. Но необходимо помнить, что как формула Планка, так и Эйнштейна, являются гипотезами. 7
КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ Каждой материальной частице соответствует волновое описание, прочём длина волны (длина волны Де Бройля) задаётся как где р – импульс частицы и h – постоянная Планка. (Заметим, что постоянная Планка очень мала h=6, 6· 10 -34 Дж·с. Потому длина волны частицы важна только когда импульс экстремально мал, как это имеет место у электрона, масса которого 9· 10 -31 кг). Выражение для длины волны Де Бройля можно записать в рациональных единицах: 8
КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ В релятивистском приближении (при скоростях, близких к скорости света): Аналогично можно описать фотон. Но часто приходится говорить о фотоне, как о частице, например, когда он поглощается ядром, или выделяется из него. Тогда Eγ=hν=pc. 9
Дифракция частиц Гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально опытами по дифракции и интерференции индивидуальных микрообъектов: электронов, протонов и других частиц. Дифракция частиц – рассеяние потока микрочастиц (электронов, нейтронов, атомов и молекул и др. ) кристаллами или молекулами жидкостей и газов с образованием чередующихся максимумов и минимумов в интенсивности рассеянного пучка. Дифракция частиц аналогична дифракции света и является проявлением корпускулярно-волнового дуализма частиц; наблюдается для частиц, волна де Бройля для которых порядка расстояния между рассеивающими центрами. Дифракционная картина зависит от внутреннего строения рассеивающего объекта. На дифракции частиц основаны электронография и нейтронография. 10
Дифракция частиц Дифракционные явления проявляются наиболее отчетливо, когда размеры препятствия, на котором происходит дифракция вон, соизмеримы с длиной волны. Это относится к волнам любой физической природы и, в частности, к электронным волнам. Для волн де Бройля естественной дифракционной решеткой является упорядоченная структура кристалла с пространственным периодом порядка размеров атома (приблизительно 0, 1 нм). 11
Дифракция электронов на щели Более 85 % всех электронов, прошедших через щель, попадут в центральный дифракционный максимум. Угловая полуширина θ 1 этого максимума находится из условия D sinθ 1 = λ Это формула волновой теории. С корпускулярной точки зрения можно считать, что при пролёте через щель электрон приобретает дополнительный импульс в перпендикулярном направлении. 12
Пренебрегая 15 % электронов, которые попадают на фотопластинку за пределами центрального максимума, можно считать, что максимальное значение py поперечного импульса равно где p – модуль полного импульса электрона, равный, согласно де Бройлю, h / λ. Величина p при прохождении электрона через щель не меняется, так как остается неизменной длина волны λ. Принимая во внимание, что D sinθ 1 = λ Из этих соотношений следует, что Квантовая механика вкладывает в это простое на вид соотношение, являющееся следствием волновых свойств микрочастицы, очень глубокий смысл. 13
Прохождение электронов через щель является экспериментом, в котором y – координата электрона – определяется с точностью. Величину называют неопределенностью измерения координаты. В то же время точность определения y – составляющей импульса электрона в момент прохождения через щель – равна py или даже больше, если учесть побочные максимумы дифракционной картины. Эту величину называют неопределенностью проекции импульса и обозначают. Таким образом, величины и связаны соотношением ≥h которое называется соотношением неопределенностей Гейзенберга. Это соотношение нужно понимать в том смысле, что микрочастицы в принципе не имеют одновременно точного значения координаты и соответствующей проекции импульса. 14
В общем случае для координат x, y, z и проекций импульсов на координатные оси можно записать Соотношение неопределенностей не связано с несовершенством применяемых приборов для одновременного измерения координаты и импульса микрочастицы. Оно является проявлением двойственной корпускулярно-волновой природы материальных микрообъектов. Соотношение неопределенностей позволяет оценить, в какой мере можно применять к микрочастицам понятия классической механики. Оно показывает, в частности, что к микрообъектам неприменимо классическое понятие траектории, так как движение по траектории характеризуется в любой момент времени определенными значениями координат и скорости. Принципиально невозможно указать траекторию, по которой двигался какой-то конкретный электрон после прохождения щели и до фотопластинки в рассмотренном мысленном эксперименте. 15
В квантовой теории рассматривается также соотношение неопределенностей для энергии Е и времени t, то есть неопределенности этих величин удовлетворяют условию Необходимо отметить, что ΔE– неопределенность энергии некоторого состояния системы, Δt – промежуток времени, в течение которого оно существует. Следовательно, система, имеющая среднее время жизни Δt, не может быть охарактеризована определенным значением энергии. Другими словами, система, имеющая среднее время жизни Δt , не может быть охарактеризована определенным значением энергии. Разброс энергии ΔE = h/Δt возрастает с уменьшением среднего времени жизни. 16
Дифракция частиц Распределение дифрагировавших электронов по фотопластинке 17
КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ Итак, волны де Бройля – проявление универсального корпускулярно-волнового дуализма материи: любой частице с энергией Е и импульсом р соответствует волна, названная волной де Бройля, с длиной λ=h/p и частотой ν=Е/h, где h – постоянная Планка (1924). Волны де Бройля интерпретируются как волны вероятности: их существование подтверждается, например, дифракцией частиц. 18
ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ ГЕЙЗЕНБЕРГА Из квантовой механики вытекает, что не все физические величины могут одновременно иметь точные значения. Неопределённости принцип – фундаментальное положение квантовой теории, утверждающее, что характеризующие систему дополнительные физические величины (например, координата и импульс) не могут одновременно принимать точные значения. Отражает двойственную корпускулярноволновую природу частиц материи (электронов, протонов и т. д. ). 19
ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ ГЕЙЗЕНБЕРГА Принцип неопределённости Гейзенберга — закон, устанавливающий ограничение на точность (почти) одновременного измерения переменных состояния, например положения и импульса частицы. Точно определяет меру неопределённости, давая нижний (ненулевой) предел для произведения дисперсий измерений. Неопределённостей соотношения – фундаментальные соотношения квантовой механики, устанавливающие предел точности одновременного определения канонически-сопряжённых динамических переменных, характеризующих квантовую систему: координата – импульс, действие-угол и т. д. 20
ПРИНЦИП НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ ГЕЙЗЕНБЕРГА Принцип неопределённости Гайзенберга устанавливает предел одновременного знания того, где что-то находится и как быстро оно движется. Формально это записывается Δрх·Δх≥h Δpy·Δy≥h Δpz·Δz≥h ΔE·Δt≥h где Δрх, Δх – неточности в х-компоненте импульса и хкоординате, соответственно, в то время как Δt – время жизни частицы и ΔE – неточность в её общей энергии. Эти пределы знаний не связаны с ограничениями со стороны измерительных инструментов. Фундаментальные пределы существуют даже для идеальных и абсолютно точных 21 инструментов.
Дополнительности принцип Для некоммутирующих величин соотношение неопределённостей является частным случаем принципа дополнительности Бора. Дополнительности принцип – сформулированный Н. Бором принцип, согласно которому при экспериментальном исследовании микрообъекта могут быть получены точные данные либо об энергиях и импульсах, либо о поведении в пространстве и времени. Эти две взаимоисключающие картины – энергетически-импульсная и пространственно-временная, получаемые при взаимодействии микрообъекта с соответствующими измерительными приборами, «дополняют» друга. Всем микрообъектам присущи и волновые, и корпускулярные свойства, однако, они не являются ни волной, ни частицей в классическом понимании. Разные свойства микрообъектов не проявляются одновременно, они дополняют друга, только их совокупность характеризует микрообъект полностью. В этом заключается сформулированный Н. Бором принцип дополнительности (обобщение неравенства Гейзенберга). Можно условно сказать, что микрообъекты распространяются как волны, а обмениваются энергией как частицы. 22
Уравнение Шрёдингера Статистическое толкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей Гейзенберга привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции Ψ(х, у, z, t), так как именно она, или, точнее, величина |Ψ|2, определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме d. V, то есть в области с координатами х и x+dx, у и y+dy, z и z+dz. Taк как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны. 23
Уравнение Шрёдингера Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. 24
Уравнение Шрёдингера Уравнение Шредингера имеет вид где ћ = h/(2π), m- масса частицы, Δ– оператор Лапласа, i – мнимая единица, U (х, у, z, t) – потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ (х, у, z, t) – искомая волновая функция частицы. 25
Уравнение Шрёдингера Уравнение справедливо для любой частицы (со спином, равным 0), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, то есть со скоростью v<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной; 2) Производные должны быть непрерывны; 3) функция должна быть интегрируема; 26
Уравнение Шрёдингера Состояние квантовой системы описывается волновой функцией, квадрат модуля которой определяет величину данного состояния и, следовательно, вероятности для значений физических величин, его характеризующих. Волновая функция (амплитуда вероятности, вектор состояния) – в квантовой механике основная величина, описывающая состояние системы и позволяющая находить вероятности и средние значения характеризующих её физических величин. Квадрат амплитуды вероятностной функции равен вероятности данного состояния, поэтому волновая функция называется также амплитудой вероятности. 27
Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение можно упростить, исключив зависимость Ψ от времени, иными словами, найти уравнение Шредингера для стационарных состояний – состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, то есть функция U = U(x, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. 28
Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая – только времени, причем зависимость от времени выражается множителем e−i(E / ℏ )t , так что где Ψ (x, y, z) – координатная (амплитудная) часть волновой функции Ψ(x, y, z, t) ; Е – полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя это выражение в уравнение Шрёдингера, получим откуда после деления на общий множитель e−i(E / ℏ)t и соответствующих преобразований получим уравнение Шрёдингера для стационарных состояний В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. 29
Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: • волновые функции должны быть конечными, • однозначными и • непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями. Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собственными. Решения же, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором – о дискретном спектре. 30
31
Дифракция частиц Схема экспериментальной установки для наблюдения дифракции нейтронов (источник нейтронов – атомный реактор R (S –замедлитель нейтронов, монокристалл Cs. HSe. O 4) 32
Дифракция частиц Дифракционный максимум интенсивности нейтронов, отраженных от монокристалла Cs. HSe. O 4 33
Уравнение Шрёдингера В квантовой механике для характеристики состояний объектов в микромире вводится понятие волновой функции Ψ (псифункции). Квадрат модуля волновой функции |Ψ|2 пропорционален вероятности нахождения микрочастицы в единичном объеме пространства. Конкретный вид волновой функции определяется внешними условиями, в которых находится микрочастица. Математический аппарат квантовой механики позволяет находить волновую функцию частицы, находящейся в заданных силовых полях. Безграничная монохроматическая волна де Бройля есть волновая функция свободной частицы, на которую не действуют никакие силовые поля. 34
Уравнение Шрёдингера Волновая функция подчиняется принципу суперпозиции, что и объясняет, в частности, дифракцию частиц. Суперпозиции принцип – относится к волновым функциям: если физическая система может находиться в состояниях, описываемых двумя (или несколькими) волновыми функциями, то она может также находиться в состоянии, описываемом любой линейной комбинацией этих функций (принцип суперпозиции состояний). Волновая функция Ψ является решением основного уравнения квантовой механики – уравнения Шредингера. 35
Уравнение Шрёдингера Шредингера уравнение – основное динамическое уравнение нерелятивистской квантовой механики; позволяет определить возможные состояния системы, а также изменение состояния во времени. Уравнение Шрёдингера уравнение, связывающее пространственное распределение амплитуды вероятности с энергией частицы. Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. 36
Уравнение Шрёдингера Отказавшись от описания движения частицы с помощью траекторий, получаемых из законов Ньютона, и определив вместо этого волновую функцию (Ψ), необходимо ввести в рассмотрение уравнение, эквивалентное законам Ньютона и дающее рецепт для нахождения Ψ в частных физических задачах. Искомым уравнением будет уравнение Шрёдингера. Волновая функция, описывающая движение свободной частицы с заданным значением импульса p имеет вид волны де Бройля 37
Уравнение Шрёдингера Линейное дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет волна де Бройля имеет вид В этом легко убедиться, продифференцировав волновую функцию по координатам x, y, z и времени t. Для свободной частицы или - Уравнение Шредингера в отсутствии силового поля 38
Уравнение Шрёдингера В силовом поле уравнение Шредингера имеет вид 39
Физический смысл волновой функции Величина |Ψ(x, y, z, t)|2 d. V пропорциональна вероятности того, что частица будет обнаружена в момент времени t в объеме d. V в окрестности точки (x, y, z). Волновая функция системы невзаимодействующих частиц Ψ(r 1, r 2, . . . rn, t) связана с одночастичными волновыми функциями Ψi(ri, t) соотношением Ψ(r 1, r 2, . . . rn, t) = Ψ 1(r 1, t)⋅Ψ 2(r 2, t)⋅. . . Ψn(rn, t). 40
Свободное движение частицы Волновая функция свободно движущейся частицы с энергией E и импульсом p имеет вид Ψ (r, t) = Aexp[i(kr - ωt)] = Aexp[i(pr - Et)/ħ]. Константа A может быть найдена из условия нормировки волновой функции A = (2πħ)-3/2. Т. е. в тех случаях, когда частица находится в области пространства, где действующие на нее силы равны нулю (свободное движение), энергия частицы может принимать любые значения. Энергетический спектр свободно движущейся частицы непрерывный. 41
Скачать презентацию ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ОСОБЕННОСТИ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Квантовая
ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ.pptx