ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА Лекция 12 ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ

* ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА Лекция 12

*ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ, СТАТИСТИЧЕСКАЯ И КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ЗАВИСИМОСТИ Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y). Определение. Функциональной зависимостью между двумя случайными величинами называется зависимость, при которой каждому значению одной переменной соответствует вполне определенное значение другой переменной. Примеры: 1) ; 2) 3) скорость падения от времени; проданных изделий от их числа. ; 4) стоимость

Определение. Статистической зависимостью между двумя величинами называется зависимость, при которой каждому значению одной переменной соответствует определенное (условное) распределение другой переменной. Пример. 1) зависимость урожайности от количества внесенных удобрений; 2) производительность труда на предприятии от энерговооруженности. В силу неоднозначности статистической зависимости между величинами представляет интерес усредненная зависимость одной величины от другой.

Определение. Условным математическим ожиданием называется математическое ожидание случайной величины , переменная вычисленное в предположении, что приняла значение x. Иначе, . Определение. Условным математическим ожиданием называется величины переменная Иначе математическое ожидание случайной , вычисленное в предположении, приняла значение y. . что

Определение. Корреляционной зависимостью между двумя величинами называется статистическая зависимость, при которой каждому значению одной переменной соответствует определенной условное математическое ожидание другой. Иначе, корреляционной зависимостью между двумя случайными величинами называется функциональная зависимость между одной из них и условными математическими ожиданиями другой. Определение. Условное математическое ожидание называется функцией регрессии Y по X. Определение. Условное математическое ожидание называется функцией регрессии X по Y.

Корреляционный момент (ковариация). Коэффициент корреляции.

Для дискретной Дв. СВ Свойства ковариации. в) Расчетная формула ковариации:

Ковариация – величина размерная. рассмотрим безразмерную характеристику связи двух величин. Определение. Коэффициентом корреляции двух случайных величин X и Y называется отношение их ковариации к произведению среднеквадратических отклонений: В силу симметрии

О наличии корреляционной зависимости судят по коэффициенту корреляции Если , то случайные величины X и Y будут некоррелированными. В общем случае из некоррелированности двух величин не следует их независимость, но есть исключения.

Теорема. Если между двумя нормально распределенными случайными величинами нет корреляционной зависимости, то они независимы. Статистические таблицы Пусть требуется обработать результаты наблюдений двух величин X и Y.

Таблицы наблюдений Если число наблюдений n небольшое, то результаты наблюдений представляются в виде таблицы наблюдений. . . Для вычисления числовых характеристик в этом случае таблицу наблюдений удобно дополнить по следующей таблицей:

№ 1 2 n xi x 1 x 2 … xn yi y 1 y 2 … yn xi 2 x 12 x 22 … xn 2 y i 2 y 12 y 22 … yn 2 xi yi x 1 y 1 x 2 y 2 … суммы xnyn Используя последний столбец таблицы, находим числовые характеристики:

Оценим дисперсию Оценкой корреляционного момента является выборочный корреляционный момент

или по расчетной формуле Коэффициент корреляции рассчитаем по формуле Замечание. Выборочный корреляционный момент и выборочные дисперсии являются смещенными оценками корреляционного момента и дисперсий. Если использовать несмещенные оценки, то

или по расчетной формуле Несмещенной оценкой корреляционного момента является эмпирический корреляционный момент, который вычисляется по формуле или по одной из расчетных формул

Коэффициент корреляции оценивается по формуле Пример 1. Дана таблица наблюдений номер наблюдения x y 1 1 2, 8 2 1, 4 4, 5 3 1, 8 5, 8 4 2, 2 4, 1 5 2, 6 7 6 3 7, 8 Решение: Для вычисления оценок числовых характеристик заполним следующую таблицу

номер наблюде ния 1 2 3 4 5 6 суммы xi 1, 0 1, 4 1, 8 2, 2 2, 6 3, 0 12, 0 yi 3, 3 2, 0 5, 8 4, 1 5, 2 7, 3 27, 7 xi 2 1, 00 1, 96 3, 24 4, 84 6, 76 9, 00 26, 8 yi 2 10, 89 4, 00 33, 64 16, 81 27, 04 53, 29 145, 67 x i yi 3, 30 2, 80 10, 44 60, 98 9, 02 13, 52 21, 90 Рассчитаем числовые характеристик и по несмещенным формулам

Корреляционные таблицы При большом числе наблюдений n значения каждой переменной представляются интервальными рядами. Значения X группируются в интервалы На каждом интервале находим среднее значение Значения Y группируются в интервалы На каждом интервале находим среднее значение

xiyj y 1 y 2 … ym x 1 m 12 . . m 1 m x 2 m 21 m 22 … m 2 m … … … xk mk 1 mk 2 … mkm xiyj y 1 x 1 m 11 x 2 y 2 … ym mx m 12 . . m 1 m mx 1 m 22 … m 2 m mx 2 … … … xk mk 1 mk 2 … mkm mxk my my 1 my 2 … mym n

Тогда оценки числовых характеристик можно рассчитать по формулам, аналогичным прежним: Дисперсии оценим с помощью формул выборочных дисперсий: а корреляционный момент проще оценить с помощью выборочного корреляционного момента Коэффициент корреляции можно оценить по формуле

Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции Лекция 13