Элементы комбинаторики Правило умножения Пусть требуется выполнить

Элементы комбинаторики

Правило умножения Пусть требуется выполнить одно за другим k действий, причём первое действие можно выполнить n 1 способами, второе – n 2 способами, …, k-ое действие – nk способами. Тогда указанную последовательность действий можно выполнить n 1 n 2 … nk способами

Пример: Допустим, что в продаже имеются 5 видов тортов и 6 видов пирогов. Тогда общее число вариантов покупки двух кулинарных изделий – одного торта и одного пирога – равно 5 6=30

Правило суммы Пусть требуется выполнить одно из k действий, причём первое действие можно выполнить n 1 способами, второе – n 2 способами, …, k-ое действие – nk способами. Тогда общее число вариантов выполнения одного действия равно n 1+n 2+…+nk

Пример: Допустим, что в продаже имеются 5 видов тортов и 6 видов пирогов. Тогда общее число вариантов покупки одного кулинарного изделия (торта или пирога) равно 5+6=11

Понятие выборки М – конечное множество М={х1, х2, …, хn} Допустим, что нам надо выбрать из этого множества k элементов. Сколькими способами это можно сделать? Возможно несколько вариантов выборок.

Типы выборок: 1. Выборка с возвращениями и учётом порядка (не является подмножеством М). 2. Выборка без возвращений с учётом порядка (не является подмножеством М). 3. Выборка без возвращений и без учёта порядка (является подмножеством М). 4. Выборка с возвращениями и без учёта порядка (не является подмножеством М).

1. Выборка с возвращениями и учётом порядка 1 2 3 х1 n х2 n х3 n k … … хk n М – множество, из которого выбирают элементы, М =n, k – шаг выбора, хk – выбранный на этом шаге элемент, 0 k n Повторения разрешены, значит, в каждой позиции можно выбрать любой из n элементов множества М k Общее число вариантов выборки: Sn=nk

Пример. В 1888 г. появились первые фотоаппараты фирмы «Kodak» . Основатель компании Джордж Истман так объяснял происхождение этого слова: "Я сам придумал это слово. Буква "К" - моя любимая буква алфавита. Она мне кажется сильной и запоминающейся. Мне пришлось перепробовать множество комбинаций букв, прежде чем получилось слово, начинающееся и заканчивающееся на букву "К". И слово "КОДАК" - результат моих попыток".

Сколько комбинаций букв пришлось бы перепробовать Истману при выборе названия своей фирмы, если бы он составлял это название из букв русского алфавита и хотел придумать слово А) из 5 букв? Б) из 6 букв? В) из 7 букв? (Количество букв в русском алфавите 33)

Определение. Факториал числа n (обозначается n!, произносится «эн факториа л» ) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно, то есть n!=1 2 3 … n По определению считается, что 1!=1; 0!=1

2. Выборка без возвращений с учётом порядка (размещение) х1 х2 х3 … хk n n-1 n-2 … n-k+1 Повторения не разрешены, значит, на i-м шаге можно выбрать любой элемент из оставшейся части множества М. Общее число вариантов выборки: n! Аn=n (n-1) (n-2) (n-3) . . . (n-k+1) = (n-k)!

Что будет в случае k=n? Количество всевозможных перестановок (в разном порядке) из n разных элементов по n равно n!

Пример. На приём к директору пришли 10 человек, а он может принять только 8 человек. Сколькими способами пришедшие на приём могут образовать очередь? 10! 2! = 10 9 8 7 6 5 4 3=1814400

3. Выборка без возвращений и без учёта порядка Такие выборки называются сочетаниями. В этом случае общее число вариантов выборки ( «число сочетаний из n элементов по k элементов» ): k k Сn= An k! = n! k!(n-k)! k! – количество всевозможных перестановок набора из k разных элементов

ПРИМЕР. Пусть множество А ={a 1, . . . , ат} состоит из т элементов, а множество В = {b 1, . . . , bn} - из n элементов. Рассмотрим декартово произведение множеств А и В: A В = { ai, bh | ai A, bh B, 1 i т, 1 h n}. Какова мощность множества A В?

Согласно правилу умножения: |А В| = т n Если мощность множества М равна n, то есть М = n, то мощность множества всех подмножества М равна 2 n

х1 х2 х3 … хk В нижней строчке таблицы напишем 0, если соответствующий элемент множества М не входит в выборку, в противном случае напишем 1 Таким образом, задача сведена к подсчёту числа последовательностей длины n, составленных из элементов множества {0, 1}

Пример. Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 книг? n! k!(n-k)! 20! = = 125970 12!(20 -12)!

Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова «математика» ? Какой тип выборок здесь будет использован?

Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник Пушкина так, чтобы том 2 стоял рядом с томом 1 и справа от него?

Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?

Для проведения письменного экзамена надо составить 4 варианта по 7 задач в каждом. Сколькими способами можно разбить 28 задач на 4 варианта? Будем считать, что порядок следования задач в каждом варианте безразличен, порядок следования вариантов также безразличен.

По правилу произведения получаем: Варианты равноправны, поэтому полученное число надо разделить на 4! =

Риэлтерская фирма предлагает на продажу 5 больших квартир и 4 малогабаритных. Банк намерен купить 4 квартиры, причём среди них не должно быть более двух малогабаритных. Сколько вариантов выбора имеет банк?

Банк может купить 4 большие квартиры. У него есть возможность выбрать 4 из 5 -ти предлагаемых квартир, и число вариантов здесь равно . Если банк решит купить три большие квартиры и одну малогабаритную, то число вариантов выбора у него будет равно . Если будет принято решение купить две малогабаритных квартиры и две больших квартиры, то число вариантов будет равным Таким образом, у банка есть 105 вариантов выбора

10 молодых людей решили отпраздновать окончание университета обедом в ресторане. Когда все собрались, и обед был подан, заспорили о том, как усесться вокруг стола. Одни предлагали разместиться в алфавитном порядке, другие по возрасту, третьи - по росту и т. д. Спор затянулся, суп успел остыть, а за стол никто не садился. Примирил всех официант, обратившийся к ним с такой речью: Друзья мои, сядьте за стол как кому придется и выслушайте меня. Все сели как попало. Официант продолжал: Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать, и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете опять по-новому и т. д. , пока не перепробуете всех возможных размещений. Когда же придет черед вновь сесть так, как сидите вы здесь сегодня, тогда, обещаю торжественно, я начну ежедневно угощать вас бесплатно самыми изысканными обедами. Рисковал ли официант, давая такое обещание? Сколько раз пришлось бы молодым людям посетить ресторан, чтобы дождаться бесплатных обедов?

Число всех возможных размещений за столом равняется 3628800 (почти 10 тысяч лет).

Количество вариантов выборки n – общее число элементов, k – количество элементов в выборке C учётом порядка С k возвращениями S = nk n Без возвращений n! Аn= (n-k)! k Без учёта порядка ~ k k С = C n+k-1 n k Сn= n! k!(n-k)!