ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕРЫ ЛОГИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ Ключевые

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕРЫ ЛОГИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ

Ключевые слова • • • алгебра логики высказывание логическая операция конъюнкция дизъюнкция отрицание логическое выражение таблица истинности законы логики

Логика Аристотель (384 -322 до н. э. ). Основоположник формальной логики (понятие, суждение, умозаключение). Джордж Буль (1815 -1864). Создал новую область науки - Математическую логику (Булеву алгебру или Алгебру высказываний). Клод Шеннон (1916 -2001). Его исследования позволили применить алгебру логики в вычислительной технике

Алгебра - наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над разнообразными математическими объектами – числами, многочленами, векторами и др.

Высказывание - это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное. В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями: Земля вращается вокруг Солнца. Москва - столица. Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием: Это высказывание ложное. Побудительные и вопросительные предложения высказываниями не являются. Без стука не входить! Откройте учебники. Ты выучил стихотворение?

Высказывание или нет? Зимой идет дождь. Снегири живут в Крыму. Кто к нам пришел? У треугольника 5 сторон. Как пройти в библиотеку? Переведите число в десятичную систему. Запишите домашнее задание

Алгебра логики определяет вычисления значений, упрощения высказываний. правила записи, и преобразования В алгебре логики высказывания обозначают буквами и называют логическими переменными. Если высказывание истинно, то значение соответствующей ему логической переменной обозначают единицей (А = 1), а если ложно - нулём (В = 0). 0 и 1 называются логическими значениями.

Простые и сложные высказывания Высказывания бывают простые и сложные. Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не является высказыванием. Сложные (составные) высказывания строятся из простых с помощью логических операций. Название логической операции Логическая связка Конъюнкция «и» ; «а» ; «но» ; «хотя» Дизъюнкция «или» Инверсия «не» ; «неверно, что»

Логические операции Конъюнкция - логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны. Другое название: логическое умножение. Обозначения: , , &, И. Таблица истинности: А В А&В 0 0 1 1 1 Графическое представление A А&В B

Логические операции Дизъюнкция - логическая операция, которая каждым двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны. Другое название: логическое сложение. Обозначения: V, |, ИЛИ, +. Таблица истинности: А В АVВ 0 0 1 1 1 Графическое представление 1 A B АVВ

Логические операции Инверсия - логическая операция, которая каждому высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, значение которого противоположно исходному. Другое название: логическое отрицание. Обозначения: НЕ, ¬, ¯ Таблица истинности: А 1 1 0 Графическое представление Ā 0 . Ā A Логические операции имеют следующий приоритет: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.

Решаем задачу Пусть А = «На Web-странице встречается слово "крейсер"» , В = «На Web-странице встречается слово "линкор"» . В некотором сегменте сети Интернет 5 000 Webстраниц. В нём высказывание А истинно для 4800 страниц, высказывание В - для 4500 страниц, а высказывание АVВ для 7000 страниц. Для какого количества Web-страниц в этом случае будут истинны следующие выражения и высказывание? а) НЕ (А ИЛИ В); б) А & B; в) На Web-странице встречается слово "крейсер" И НЕ встречается слово "линкор".

Представим условие задачи графически: 5 000 A И B A A&B B 7 000 НЕ (А ИЛИ В) А ИЛИ В 4800 – 2300 = 2500 Web-страниц A = 4800, B = 4500. Сегмент Web-страниц 4800 + Web-страниц На 2500 Web-страницах встречается слово "крейсер" 5000000 – 7000 = 4 993 0004500 = 9300 НЕ (А ИЛИ В) И НЕ встречается слово "линкор". 9300 – 7000 = 2300 Web-страниц A&B

Построение таблиц истинности для логических выражений подсчитать n - число переменных в выражении подсчитать общее число логических операций в выражении установить последовательность выполнения логических операций определить число столбцов в таблице заполнить шапку таблицы, включив в неё переменные и операции определить число строк в таблице без шапки: m =2 n выписать наборы входных переменных провести заполнение таблицы по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью

Пример построения таблицы истинности АVA&B n = 2, m = 22 = 4. Приоритет операций: &, V A B A&B AVA&B 0 0 0 1 1 1

Свойства логических операций Законы алгебры логики Закон исключения Переместительный третьего A&B=B&A A&Ā=0 AVB=BVA AVĀ=1 (A & B) & C = A & ( B & C) A&A=A Закон повторения Сочетательный (A V B) A C A =V ( B V C) V V =A A Законы операций Распределительный с0 и 1 A&(B&C)= (A&B) V = A A V 0=0; A &1 (A&C) Закон двойного Законы общей отрицания инверсии A&B=ĀVB Ā=A AVB =Ā&B A V 0 = A; V V 1 = 1 AV(B&C) = (AAB)&(AVC)

Доказательство закона Распределительный закон для логического сложения: A v (B & C) = (A v B) & (A v C). A B C 0 B&C 0 A v (B & C) 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 Av. B 0 1 0 1 1 1 1 0 1 A v C (A v B) & (A v C) 0 0 Умножаем (Аv. B) (В&С) и выводим результат. Складываем А и С выделенных Умножаем В на В и (Av. C )и выводим результат. Равенство C и выводим результат. на выводим результат. столбцов распределительный закон. 1 1 доказывает

Решение логических задач Задача. Коля, Вася и Серёжа гостили летом у бабушки. Однажды один из мальчиков нечаянно разбил любимую бабушкину вазу. На вопрос, кто разбил вазу, они дали такие ответы: Серёжа: 1) Я не разбивал. 2) Вася не разбивал. Вася: 3) Серёжа не разбивал. 4) Вазу разбил Коля: 5) Я не разбивал. 6) Вазу разбил Серёжа. Бабушка знала, что один из её внуков (правдивый), оба раза сказал правду; второй (шутник) оба раза сказал неправду; третий (хитрец) один раз сказал правду, а другой раз неправду. Назовите имена правдивого, шутника и хитреца. Кто из внуков разбил вазу?

Решение. Пусть К = «Коля разбил вазу» , В = «Вася разбил вазу» , С = «Серёжа разбил вазу» . Представим в таблице истинности высказывания каждого мальчика. Так как ваза разбита одним внуком, составим не всю таблицу, а только её фрагмент, содержащий наборы входных переменных: 001, 010, 100. K B C Утверждение Серёжи Утверждение Васи Утверждение Коли С В С K К C 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 Исходя из того, что знает о внуках бабушка, следует искать в таблице строки, содержащие в каком-либо порядке три комбинации значений: 00, 11, 01 (или 10). Это первая строка. Вазу разбил Серёжа, он - хитрец. Шутником оказался Вася. Имя правдивого внука - Коля.

Переключательные схемы F a b Последовательное соединение Параллельное соединение

Логические элементы Логический элемент – устройство, которое после обработки двоичных сигналов выдаёт значение одной из логических операций. А & В А 1 В И (конъюнктор) ИЛИ (дизъюнктор) А НЕ (инвертор)

Анализ электронной схемы Решение. Все возможные комбинации сигналов на входах А и В внесём в таблицу истинности. Проследим Какой сигнал должен быть на выходе при каждом возможном преобразование каждой пары сигналов при прохождении их наборе сигналов на входах? через логические элементы и запишем полученный результат в таблицу. Заполненная таблица истинности полностью описывает рассматриваемую электронную схему. 1010 0010 F B F 0 0 1 0 В 0101 & A 1 А 0010 1 0 В инвертор поступает сигнал от входа В. В конъюнктор поступают сигналы от входа А и от инвертора. Таким образом, F = A & B.

Самое главное Высказывание — это предложение на любом языке, Таблицы истинности для основных логических операций: содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное. Основные логические операции, B определённые над А Ā A A&B AVB высказываниями: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. 0 1 Название логической 1 0 операции 0 0 Логическая связка 0 1 0 0 Обозначение 0 1 1 0 0 1 1 1 Инверсия «не, «неверно, что» Конъюнкция «и» , «а» , «но» , «хотя» логических выражений ¬, ─ & 1 1 При вычислении сначала Дизъюнкция выполняются действия «или» в скобках. Приоритет выполнения V логических операций: ¬, &, V.

Вопросы и задания В Рассмотрите представленные на рисунке электрические следующих высказываниях выделите простые Объясните, обозначивсхемы: на высказываний. Выясните, какой сигнал долженкаждое выходе электроннойне быть Постройте почему следующих предложения высказывания, отрицания следующие из них буквой. являются высказываниями. наборе схемы при каждом A букв и знаков сигналов операций Запишите с = «Ане возможном уроки логическихна входах. помощью и B Пусть А таблицу нравятся схемы. математики» , или В = A A а B Составьте работы Каким логическим 1) Сегодня в по уроки примеру Выразите ложных театре идёт опера каждое составное высказывание. «Евгений Онегин» . Приведитеописывается схема? B «Ане нравятся одному химии» . истинных и следующие выражением цвета этот дом? A 1) Какого из биологии, знать, где сидит фазан. 2) Каждый обычном и трёхзначное. B высказыванийчётное языке: 1) Число 376 формулы наохотник желает географии, информатики, 2) Число Х не превосходит единицы. В 3) Число 1 естькатаются число. литературы. 220 2) Зимой истории, математики, дети простое на коньках или на лыжах. 4) Натуральные. Ачисла, оканчивающиеся цифрой 0, не 220 3) 4 Х +3. В 3) Проведите аналогию между элементами электрических Новый год мы встретим на 1 даче. F или на Красной являются простымиокно. числами. 4) Посмотрите в площади. схем и объектами и операциями алгебры логики: 5) Неверно, что число 3 не является делителем числа 4) 5) Пейте. Электрическая движется вокруг Земли. логика Неверно, томатный сок! что Солнце схема Алгебра 198. 6) Коля решил все задания шара, который из космоса 5) 6) Эта тема Земля имеет форму контрольной работы. Переключатель скучна. В 7) всякой включен 7) Во Рикки Мартин некоторые ученики интересуются кажется голубым. Переключательшколе - самый популярный певец. спортом. были в театре? 6) 8) Вы На уроке выключен Переключательматематики старшеклассники отвечали на 8) Некоторые млекопитающие не живут на суше. вопросы учителя, а также писали самостоятельную Последовательное соединение переключателей работу. Параллельное соединение переключателей

Вопросы и задания Алёша, Боря и Гриша нашли в земле старинный Разбирается дело удивительную Смита. Известно, сосуд. Рассматривая. Джона, Брауна и находку, каждый что один из них нашёл и утаил высказал по два предположения: клад. На следствии каждый из подозреваемых сделал два заявления: 1) Алеша: «Это сосуд греческий исделал это» . в V Смит: «Я не делал этого. Браун изготовлен веке» . Джон: «Браун не виновен. Смит сделал это» . 2) Боря: «Я не делал этого. Джон не изготовлен в III Браун: «Это сосуд финикийский и делал этого» . веке» . Суд установил, что не греческий дважды солгал, 3) Гриша: «Это сосуд один из них и изготовлен в другой дважды сказал правду, третий один раз солгал, IV веке» . один раз сказал правду. Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них Кто из подозреваемых должен быть оправдан? прав только в одном из двух предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?

Опорный конспект Высказывание – это предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное. Основные логические операции Инверсия Конъюнкция Дизъюнкция А Ā A B A&B A B AVB 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 Приоритет выполнения логических операций: ¬, &, V.