Элементарные преобразования матриц и их приложения

Элементарными преобразованиями называют следующие: n Отбрасывание нулевой строки (столбца); n Изменение порядка строк (столбцов); n Транспонирование матрицы; n Умножение всех элементов строки (столбца) на число, отличное от 0; n Прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой, умноженных на любое число.

Приложения элементарных преобразований для вычисления ранга матрицы

Ранг матрицы n Определение: Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. n Обозначение: rang A или r(A). n Отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу, называется базисным минором.

Основные свойства ранга n Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров: для Аm×n r(A) ≤ min {m, n}; n Ранг матрицы равен нулю только для нулевой матрицы: r(A)=0 ↔ A=O; n Ранг квадратной матрицы равен ее порядку только для невырожденной матрицы: для Аn r(A)=n ↔ А – невырожденная; n Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Способы вычисление ранга матрицы n Перебор всех миноров; n Приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований

Вычисление ранга перебором миноров (пример): n Найти ранг матрицы n Размерность матрицы 4× 6 → r(A)≤ 4. n Все миноры четвертого порядка равны нулю, т. к. содержат нулевую строку. n Миноры третьего порядка должны содержать элементы хотя бы двух строк со второй по четвертую. Они содержат либо пропорциональные строки, либо нулевую строку. Такие определители равны нулю. n Максимальный порядок ненулевых миноров этой матрицы, равен двум, например n Итак, r(A)=2.

Вычисление ранга приведением матрицы к ступенчатому виду n Матрица А называется ступенчатой, если для всех ее строк, начиная со второй, первый ненулевой элемент с роки стоит правее первого ненулевого элемента предыдущей строки. n Например: или

Вычисление ранга приведением матрицы к ступенчатому виду n Транспонированием матрицы всегда можно добиться, чтобы число строк было не больше числа столбцов. n Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк. n Привести к ступенчатому виду можно любую матрицу с помощью элементарных преобразований.

Вычисление ранга приведением матрицы к ступенчатому виду (пример) n Вычислить ранг матрицы n Приведем матрицу к ступенчатому виду: n Последняя матрица имеет ступенчатый вид и содержит две ненулевые строки, значит, ранг матрицы равен двум.

Матрица как система векторов n Каждую строку (каждый столбец) матрицы можно рассматривать как арифметический вектор. n Тогда саму матрицу следует рассматривать как систему таких векторов.

Линейная комбинация векторов n Арифметическими операциями над векторами называют умножение вектора на число и сложение векторов. Они выполняются поэлементно. n Линейной комбинацией векторов называется вектор вида где λ 1, λ 2, … λк – любые действительные числа – коэффициенты разложения

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов n Система ненулевых векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа λ 1, λ 2, . . . , λk, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация равна нулевому вектору: n Если же равенство для данной системы векторов возможно лишь при нулевых коэффициентах, то эта система векторов называется линейно независимой.

Линейная зависимость строк матрицы n Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных. n При приведении такой матрицы к ступенчатому виду неизбежно получим хотя бы одну нулевую строку. n Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк.

Алгоритм определения линейной зависимости системы векторов n Составить из векторов системы матрицу; n Найти ранг матрицы любым способом; n Если ранг равен числу векторов системы, то система линейно независима; n Если ранг матрицы меньше числа векторов, система линейно зависима.

Приложения элементарных преобразований для нахождения обратной матрицы

Обратная матрица n Матрицей А-1, обратной к данной квадратной матрице А, называется такая, что выполняется равенство: А-1∙А = А∙ А-1 = Е. n Матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырожденна, т. е. ∆А≠ 0. n Обратную матрицу можно найти по формуле

Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований n Проверить, имеет ли матрица обратную; n Построить расширенную матрицу А|Е; n Элементарными преобразованиями над строками расширенной матрицы привести ее левую часть последовательно: - к ступенчатой матрице; - к диагональной матрице; - к единичной матрице; n Справа от черты получим обратную к А матрицу; n Провести проверку А∙ А-1 = Е.

существует. n Составим расширенную матрицу А|Е: Нахождение обратной матрицы (пример) n Выполним элементарные преобразования над ее строками: n Проверим умножением: n Ответ: