ЭЛЕКТРОТЕХНИКА БУРЬКОВА ЕЛЕНА ВЛАДИМИРОВНА К. П. Н. , ДОЦЕНТ
Список литературы 1. 2. 3. 4. 5. Прянишников В. Я. Теоретические основы электротехники, – СПб: КОРОНА принт, 2007. – 368 с. Прянишников В. Я. Электротехника и ТОЭ в примерах и задачах, – СПб: КОРОНА принт, 2008. – 336 с. Панфилов Д. И. , Чепурин И. Н. Электротехника и электроника в экспериментах и упражнениях: Практикум на Electronics Workbench: в 2 т. /Под общей ред. Д. И. Панфилова – т. 1: Электротехника. – М. : ДОДЭКА, 2001. – 301 с. Бессонов, Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: учебник / Л. А. Бессонов. - Москва : Гардарики, 2007. - 701 с. Бравичев С. Н. Линейные электрические цепи постоянного и переменного тока. Методические указания к РГЗ, 2001. - 41 с.
Электротехника является областью науки, которая занимается изучением электрических и магнитных явлений и их техническим использованием в практических целях. Интенсивное использование электрической энергии связано со следующими ее особенностями: 1. простое и экономичное преобразование в другие виды энергии (механическую, тепловую, лучистую и т. д. ); 2. возможность централизованного и экономичного получения на различных электростанциях; 3. передача с помощью линий электропередачи с малыми потерями на большие расстояния к потребителям.
Предмет и задачи курса «Электротехника» 1. 2. 3. 4. 5. 6. Основные принципы и законы электротехники. Цепи постоянного тока. Цепи переменного тока. Резонансные явления. Переходные процессы. Магнитные цепи. Задачи: 1. Анализ явлений, происходящих в электрических и магнитных цепях; 2. Изучение установившихся и переходных процессов; 3. Проведение расчетов цепей постоянного переменного тока; 4. Изучение принципов работы электромагнитных устройств.
Основные понятия теории электрических цепей Электрическая цепь представляет собой совокупность связанных определенным образом источников, приемников и преобразователей электрической энергии. Отдельные части электрической цепи, выполняющие определенные функции называются элементами цепи. Основными элементами цепи являются источники и приемники электрической энергии.
Электрическая схема простейшей электрической цепи Расчетная электрическая схема
Объединение источников, потребителей и соединительных проводов образует электрическую цепь, на каждом участке которой может действовать электрическое напряжение и протекать электрический ток. Напряжение U на элементе электрической цепи обозначается на схеме знаками «+» и «–» , имеющими смысл только при совместном рассмотрении Ток I в элементе электрической цепи обозначается стрелкой на схеме и указывает направление упорядоченного перемещения положительных электрических зарядов, если ток I выражается положительным числом.
Зависимость между током и напряжением на элементе цепи называется вольт-амперной характеристикой (ВАХ) элемента Прямолинейные ВАХ (1) и (3) соответствуют линейным элементам, а криволинейная ВАХ (2) – нелинейным элементам.
Пассивные элементы электрической цепи
Нелинейный резистивный элемент, ВАХ которого нелинейна (пунктир на рис. 5) характеризуется несколькими параметрами. В частности безынерционному резистору ставятся в соответствие статическое и дифференциальное сопротивления:
Емкостный элемент (конденсатор)
Источники энергии Идеальный источник напряжения – это элемент цепи, напряжение которого не зависит от тока и является заданной постоянной величиной, ему соответствует на рис. 9 сплошная ВАХ. В действительности мы имеем дело с реальными источниками напряжения, которые отличаются от идеальных источников тем, что их напряжение с ростом потребляемого тока уменьшается. ВАХ реального источника напряжения представлена на рис. 9 пунктирной линией, тангенс угла наклона которой равен внутреннему сопротивлению источника напряжения R 0.
Идеальный источник тока – это элемент цепи, ток которого не зависит от напряжения и является заданной постоянной величиной, ему соответствует сплошная ВАХ на рис. 10. У реального источника тока с ростом напряжения вырабатываемый ток уменьшается. ВАХ реального источника напряжения представлена на рис. 10 пунктирной линией, тангенс угла наклона которой равен внутренней проводимости источника тока G 0. Таким образом, свойства источника задающего тока определяются двумя параметрами: задающим током J и внутренней проводимостью G 0.
Основные законы электрических цепей Число независимых контуров может быть определено по формуле Эйлера: В цепи четыре узла: a, b, c, d; шесть ветвей: ab, bd, bc, ad, dc, ac. Таким образом, количество независимых контуров по формуле Эйлера определится следующим образом: p = 6 4 + 1 = 3. Это могут быть следующие контуры: abd, dbc, adc или abсd, dbc, adc и другие.
Закон Ома для участка и для всей цепи
Законы Кирхгофа 1 закон: В любом узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю. где m – число ветвей подключенных к узлу. При записи уравнений по первому закону Кирхгофа токи, направленные к узлу, записывают со знаком «плюс» , а токи, направленные от узла – со знаком «минус» . Например, для узла а схемы
Второй закон Кирхгофа В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех его участках где n – число источников ЭДС в контуре; m – число элементов с сопротивлением Если в электрической цепи включены источники напряжений, то второй закон Кирхгофа формулируется в следующем виде: Алгебраическая сумма напряжений на всех элементах контура, включая источники ЭДС равна нулю
При записи уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо: 1) задать условные положительные направления ЭДС, токов и напряжений; 2) выбрать направление обхода контура, для которого записывается уравнение; 3) записать уравнение, пользуясь одной из формулировок второго закона Кирхгофа, причем слагаемые, входящие в уравнение, берут со знаком «плюс» , если их условные положительные направления совпадают с обходом контура, и со знаком «минус» , если они противоположны. Запишем уравнения по II закону Кирхгофа для контуров схемы:
Баланс мощности Согласно закону Джоуля Ленца, вся электрическая энергия, сообщаемая проводнику в результате работы сил электрического поля, превращается в тепловую энергию. На участке цепи с сопротивлением R в течение времени t при токе I расходуется электрическая энергия Скорость преобразования электрической энергии в другие виды представляет электрическую мощность Из закона сохранения энергии следует, что мощность источников питания в любой момент времени равна сумме мощностей, расходуемой на всех участках цепи.
Для данной цепи уравнение баланса мощностей запишется в виде: Существует еще одна форма записи баланса мощности: Балансом электрических мощностей называют установление равенства мощностей, отдаваемых источником во внешнюю цепь, и мощностей, потребляемых нагрузками.
Эквивалентные преобразования электрических цепей Электрическая цепь с последовательным соединением элементов Расчет цепи сводится к определению тока I всей цепи по закону Ома
Для последовательного соединения индуктивностей и емкостей используются следующие соотношения: При объединении последовательно включенных источников напряжения эквивалентное напряжение определяется их алгебраической суммой Последовательное соединение идеальных источников тока не допускается, т. к. значение тока эквивалентного источника в этом случае оказывается неопределенным. Однако последовательное соединение реальных источников тока позволяет определить проводимость и ток эквивалентного источника по формулам, в которых учитывается полярность составляющих токов.
Электрическая цепь с параллельным соединением элементов Для двух сопротивлений Эквивалентная проводимость цепи равна арифметической сумме проводимостей отдельных ветвей: Напряжения в электрической цепи с параллельно соединенными сопротивлениями Отсюда следует Т. е. ток в цепи распределяется между параллельными ветвями обратно пропорционально их сопротивлениям.
При параллельном соединении индуктивностей, емкостей и источников тока их эквивалентные значения определяют по формулам: Параллельное соединение идеальных источников э. д. с. не допускается, т. к. при этом напряжение эквивалентного источника оказывается неопределенным. Однако параллельное соединение реальных источников э. д. с. , в которых учтены внутренние сопротивления, позволяет определить напряжение Е и сопротивление эквивалентного источника по формулам, в которых учитывается полярность составляющих источников:
Электрическая цепь со смешанным соединением элементов Определение эквивалентного сопротивления при смешанном соединении потребителей выполняется путем постепенного упрощения (свертки) исходной цепи. Для данной цепи расчет эквивалентного сопротивления начинается с конца схемы. Для упрощения расчетов примем, что все сопротивления в этой схеме являются одинаковыми:
В этом случае исходную схему можно представить в следующем виде сопротивление участка цепи cd равно: На схеме сопротивления соединены последовательно, и тогда сопротивление участка цепи ad равно: Тогда схему можно представить в сокращенном варианте, где соединены параллельно
Исходная схема После преобразований исходная схема будет иметь вид: Тогда эквивалентное сопротивление исходной схемы будет равно
Соединение элементов электрической цепи по схемам «звезда» и «треугольник» В мостовой схеме сопротивления R 13, R 12, R 23 и R 24, R 34, R 23 соединены по схеме «треугольник» . Эквивалентное сопротивление этой схемы можно определить только после замены одного из треугольников, например треугольника R 24 R 34 R 23 звездой R 2 R 3 R 4. Такая замена будет эквивалентной, если она не вызовет изменения токов всех остальных элементов цепи.
Переход от треугольника к звезде: Переход от звезды к треугольнику: После проведенных преобразований можно определить величину эквивалентного сопротивления мостовой схемы
Аналогичные преобразования можно выполнить для соединения звездой или треугольником индуктивностей и емкостей:
Исключение реактивных элементов Покажем, что реактивные элементы в установившемся режиме на постоянном токе могут быть исключены из схемы. Напряжение на всех элементах схемы (в том числе и на емкости) постоянно. Для производной напряжения на конденсаторе из компонентных уравнений следует: Поскольку ток через конденсатор не идет, процессы в схеме не изменятся, если мы заменим емкость разрывом, исключив ее из схемы. Токи через все элементы схемы (в том числе и через индуктивность) постоянны. Для тока через индуктивность из компонентных уравнений следует: поскольку напряжение на индуктивности равно нулю, процессы в схеме не изменятся, если мы заменим индуктивность проводом, исключив ее из схемы.
Режимы работы электрической цепи Реальная электрическая цепь может быть представлена в виде активного А и пассивного П двухполюсников Схема замещения пассивного двухполюсника представляется в виде его входного сопротивления П Схема замещения активного двухполюсника А представляется эквивалентным источником с ЭДС Eэ и внутренним сопротивлением нагрузкой для которого является входное сопротивление пассивного двухполюсника
1. Режим холостого хода В этом режиме с помощью ключа SA нагрузка отключается от источника питания. Ток в нагрузке становится равным нулю, и как следует из соотношения (1) напряжение на зажимах ab становится равным ЭДС и называется напряжением холостого хода
2. Режим короткого замыкания В этом режиме ключ SA в схеме электрической цепи замкнут, а сопротивление В этом случае напряжение U на зажимах аb становится равным нулю, т. к. а уравнение вольт-амперной характеристики можно записать в виде Значение тока короткого замыкания соответствует т. 2 на вольт-амперной характеристике
3. Номинальный режим Для разных электротехнических устройств указывают свои номинальные параметры. Однако три основных параметра указываются практически всегда: номинальное напряжение , номинальная мощность и номинальный ток . Работа активного двухполюсника под нагрузкой в номинальном режиме определяется уравнением (1), записанным для номинальных параметров На вольт-амперной характеристике это уравнение определяется точкой 3 с параметрами и
4. Согласованный режим электрической цепи обеспечивает максимальную передачу активной мощности от источника питания к потребителю. Определим параметры электрической цепи, обеспечивающие получение согласованного режима. При подключении нагрузки к активному двухполюснику в ней возникает ток При этом на нагрузке выделится активная мощность
Расчет разветвленных цепей с несколькими источниками Число неизвестных токов совпадает с числом ветвей m. Если в некоторых ветвях содержатся источники тока, то неизвестными для этих ветвей являются соответствующие UJ . Для расчета цепи в общем случае следует составить систему из m независимых уравнений. 1. Метод уравнений Кирхгофа Для того, чтобы записать уравнения, необходимо предварительно пронумеровать узлы и ветви, присвоив значение тока (I 1, I 2, , Im). Методика расчета разветвленной цепи, не содержащей источников тока: 1. Обозначить токи ветвей и произвольно выбрать их положительное направление. 2. Произвольно выбрать опорный узел и совокупность p = m – n + 1 независимых контуров. 3. Для всех узлов, кроме опорного, составить уравнения по I закону Кирхгофа. Таких уравнений должно быть (n – 1). (где n число узлов) 4. Для каждого выбранного контура составить уравнения по II закону Кирхгофа. Таких уравнений должно быть p. 5. Система m уравнений Кирхгофа с m неизвестными токами решается совместно и определяются численные значения токов. 6. Если необходимо, рассчитать с помощью обобщенного закона Ома напряжения ветвей или разность потенциалов узлов. 7. Проверить правильность расчета с помощью баланса мощности.
Если в цепи есть q источников тока, то при правильном выборе совокупности независимых контуров количество совместно решаемых уравнений в системе можно сократить на q. Если контуры выбирать таким образом, чтобы каждый источник тока вошел только в один контур, соответствующее UJ войдет только в одно уравнение по II закону Кирхгофа. Поскольку неизвестными являются только токи в (m – q) ветвях, количество уравнений по II закону Кирхгофа можно уменьшить до m – n + 1 – q. В результате, вместе с (n – 1) уравнением I закону Кирхгофа, получится система из m – q уравнений относительно неизвестных токов, после совместного решения которых оставшиеся q уравнений используются для определения UJ
Пример
Вычисление тока через одно из плеч делителя тока
Исходная схема
Определить ток I 1 методом свертки, а затем ток I 3 , используя выражение для делителя тока
Вычисление напряжения на плече делителя напряжения
2 Метод контурных токов Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по II закону Кирхгофа, т. е.
Введем обозначения:
В окончательном виде система уравнений для контурных токов приобретает следующий вид: в матричной форме Решение полученной системы удобно выполнить методом Крамера
По найденным контурным токам при помощи первого закона Кирхгофа определяются токи ветвей. Методика расчета цепи методом контурных токов следующая: 1. Обозначить все токи ветвей и их положительные направления. 2. Произвольно выбрать совокупность p независимых контуров, нанести на схему положительное направление контурных токов в выбранных контурах. 3. Определить собственные, общие сопротивления и контурные ЭДС и подставить их в систему уравнений вида (2. 3). 4. Решить полученную систему уравнений относительно контурных токов, используя метод Крамера. 5. Определить токи ветвей через контурные токи по первому закону Кирхгофа. 6. В случае необходимости, с помощью обобщенного закона Ома определить потенциалы узлов. 7. Проверить правильность расчетов при помощи баланса мощности.
3 Метод узловых потенциалов В том случае, когда п-1 < p (n – количество узлов, p – количество независимых контуров), данный метод более экономичен, чем метод контурных токов.
3. Полученные в п. 2 выражения подставляем в уравнения, составленные по I закону Кирхгофа Приведем подобные слагаемые при различных потенциалах и получим каноническую систему уравнений:
Введем обозначения:
В окончательном виде система уравнений для контурных токов приобретает следующий вид: в матричной форме Собственная проводимость узла (Gii) представляет собой арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, соединенных в i ом узле. Общая проводимость i-ого и j-ого узлов (Gij = Gji) представляет собой взятую со знаком «–» сумму проводимостей ветвей, присоединенных одновременно к i-ому и j-ому узлам.
Проводимости ветвей с источниками тока полагаются равными нулю и в собственные и общие проводимости не входят! Узловой ток (Jii) состоит из двух алгебраических сумм: первая содержит токи источников тока, содержащиеся в ветвях, соединенных в i -ом узле; вторая представляет собой произведение ЭДС источников напряжения на проводимости соответствующих ветвей, соединенных в i -ом узле. Со знаком «+» в эту сумму входят E и J источников, действие которых направлено к узлу, со знаком «–» остальные. Решение системы уравнений по методу узловых потенциалов в общем случае выполняется методом Крамера при помощи определителей:
Тогда неизвестные потенциалы могут вычислены следующим образом: Таким образом, методика расчета цепи постоянного тока методом узловых потенциалов следующая: 1. Обозначить все токи ветвей и их положительное направление. 2. Произвольно выбрать опорный узел ( n)и пронумеровать все остальные (n 1) e узлы. 3. Определить собственные и общие проводимости узлов, а также узловые токи, т. е. рассчитать коэффициенты в системе уравнений. 4. Записать систему уравнений в виде
В этой системе каждому узлу соответствует отдельное уравнение. 5. Полученную систему уравнений решить относительно неизвестных (n – 1) потенциалов при помощи метода Крамера. 6. С помощью обобщенного закона Ома рассчитать неизвестные токи. 7. Проверить правильность расчетов при помощи баланса мощности.
Метод наложения Линейная электрическая цепь описывается системой линейных уравнений Кирхгофа, т. е. подчиняется принципу наложения (суперпозиции), согласно которому совместное действие всех источников в электрической цепи совпадает с суммой действий каждого из них в отдельности. Пример. Определить ток I 2 в цепи, изображенной на рис. а. Для данной цепи должны быть изображены две расчетные подсхемы (б и в).
С помощью подсхемы б) найдем составляющую по формуле о токах в двух параллельных ветвях Направление тока в подсхеме б совпадает с направлением искомого тока. С помощью подсхемы в) найдем составляющую Направление тока в подсхеме в) противоположно направлению искомого тока. Ток в исходной цепи определится следующим образом:
Метод эквивалентного источника напряжения (генератора) При расчете тока в одной из ветвей разветвленной цепи, содержащей произвольное число источников и потребителей, удобно рассматривать цепь, состоящую из двух частей: искомой ветви и остальной части. Согласно II закону Кирхгофа ток не изменится, если в цепь, активного двухполюсником и потребителя, включить последовательно два идеальных встречно направленных источника с одинаковыми ЭДС
Ток I в цепи с двумя источниками определим методом наложения. С этой целью источники разбиваем на две группы Поскольку I = 0, полный ток I =I. Если эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника, образованного коротким замыканием источников ЭДС и обрывом ветвей, содержащих источники тока, обозначить через Rвх, получим простую одноконтурную схему (рис. 2. 13), которую можно рассчитать по закону Ома:
Эта формула отражает теорему об активном двухполюснике или об эквивалентном источнике напряжения: относительно любой ветви разветвленной электрической цепи вся остальная часть схемы может быть представлена как источник напряжения, ЭДС которого равна UXX, а внутренне сопротивление равно Rэкв. При коротком замыкании ветви с нагрузкой R=0 ток превращается в ток короткого замыкания: Параметры активного двухполюсника можно определить опытным путем. Для этого необходимо разомкнуть i ую ветвь и измерить UXX , затем замкнуть накоротко Ri и измерить IКЗ :
Энергетические расчеты в цепях постоянного тока
Пример расчета баланса мощности
Цепи переменного тока. Анализ установившегося режима в цепях синусоидального тока Для периодического тока Величина, обратная периоду, есть частота, измеряемая в герцах (Гц): Диапазон частот, применяемых в технике: от сверхнизких частот (0. 01¸ 10 Гц – в системах автоматического регулирования, в аналоговой вычислительной технике) – до сверхвысоких (3000¸ 300000 МГц – миллиметровые волны: радиолокация, радиоастрономия). В РФ промышленная частота Электрические цепи, в которых действуют синусоидальные ЭДС и токи, называют электрическими цепями синусоидального тока. Величины е, и, i называют мгновенными ЭДС, напряжением и током.
Их наибольшие значения Еm, Um и Im называют амплитудами. Величину = 2 /Т= 2 f называют угловой частотой. Единица измерения угловой частоты –рад/с. Величина f = 1/T является частотой ЭДС, напряжения или тока. Она численно равна числу периодов в единицу времени и измеряется в герцах (Гц). Величины е, и , i, — начальная фаза, соответственно, ЭДС, напряжения и тока. Периодом ЭДС (тока, напряжения) называется интервал времени, в течение которого фаза ЭДС (тока, напряжения) изменяется на 2 радиан. Так как фазовый угол синусоиды за время одного периода Т изменяется на 2 радиан.
Положительные начальные фазы и > 0 и i > 0 откладываются от начала координат влево (следовательно, отрицательные – вправо, указывая на запаздывание фазы по времени). По оси абсцисс можно откладывать время t, или пропорциональную ему угловую величину t. Соответственно, периодом будет являться T, или 2. Разность фаз напряжения и тока = и - i называют также углом сдвига тока по отношению к напряжению. При = 0 ток и напряжение совпадают по фазе, при = ± — противоположны по фазе, при = ± /2 — находятся в квадратуре.
Действующие и средние значения синусоидальных ЭДС, напряжений и токов Действующим значением синусоидального тока называют такое значение постоянного тока, при котором в одном и том же резисторе сопротивлением R за время одного периода Т выделяется столько же теплоты, сколько и при синусоидальном токе. При синусоидальном токе за время Т (за один период) в резисторе с сопротивлением R выделяется тепловая энергия По определению действующего значения синусоидального тока такое же количество тепловой энергии в таком же резисторе должно выделяться при постоянном токе за тот же интервал времени Т: Следовательно, откуда действующее значение синусоидального тока равно то есть является среднеквадратичным значением тока за время, равное одному периоду.
Если в (2) подставить мгновенное значение синусоидального тока i(t) и вычислить интеграл, то можно найти соотношение между максимальным и действующим значениями синусоидального тока: Аналогично для синусоидальной ЭДС и напряжения: В большинстве электроизмерительных приборов, измеряющих ток и напряжение, используется принцип теплового или электродинамического эффекта. Поэтому они всегда показывают действующее значение, зная которое можно вычислить амплитуду. Так, например, если вольтметр показывает 220 В синусоидального напряжения, то амплитуда этого напряжения равна 0, 707 • 220 = 311 В.
За среднее значение синусоидального тока принимают такое значение постоянного тока, при котором за полпериода переносится такой же электрический заряд, что и при синусоидальном токе. Средним значением синусоидальной величины считают ее среднее значение за положительный полупериод. Например, для тока вычислим среднее значение, выбрав начальную фазу равной нулю: Аналогично, для ЭДС и напряжения Среднее значение тока (напряжения) измеряется приборами магнитоэлектрической системы, измерительная цепь которых содержит выпрямитель тока.
Понятие мощности переменного тока Мгновенная мощность вычисляется как произведение мгновенных значений напряжения и тока
Различные способы представления синусоидальных величин Способы представления синусоидально изменяющихся величин: в виде тригонометрических функций, в виде графиков изменений во времени, в виде вращающихся векторов, в виде комплексных чисел. Представление вращающимися векторами Для представления синусоидально изменяющейся величины с начальной фазой вращающимся вектором построим радиус вектор Аm этой величины длиной, равной амплитуде Ат, и под углом к горизонтальной оси. Это будет его исходное положение в момент начала отсчета времени t = 0.
Пусть имеем ЭДС е, равную сумме ЭДС е 1 и е 2 одной и той же частоты: е = е 1 + е 2 = E 1 m sin( t + 1) + Е 2 т sin( t + 2) = Em sin(( t + ). Изобразим ЭДС е 1 и е 2 вращающимися векторами. Так как проекция на любую ось геометрической суммы двух векторов равна алгебраической сумме их проекций на эту ось, то ЭДС е изображается вращающимся вектором, который равен геометрической сумме векторов, изображающих ЭДС е 1 и е 2.
Представление синусоидальных ЭДС, напряжений и токов комплексными числами Пусть некоторая электрическая величина (ток, напряжение, ЭДС и т. д. ) изменяется по синусоидальному закону В прямоугольной системе координат расположим под углом вектор, длина которого в выбранном масштабе равна амплитуде В момент времени t 0 вектор составляет с осью абсцисс угол . А его проекция на ось ординат будет равна мгновенному значению Если считать ось абсцисс осью вещественных величин, а ось ординат – осью мнимых величин на комплексной плоскости, то вектор соответствует комплексному числу с модулем и аргументом . величины v. Таким образом, между мгновенным значением v(t) и вектором можно установить однозначное соответствие.
Понятие о комплексных числах
Операции над комплексными числами
Связь между комплексом амплитуды и комплексом действующего значения устанавливается по формуле: Совокупность векторов комплексных значений синусоидальных величин одной частоты, изображенных на комплексной плоскости, называют векторной диаграммой. Пользуясь векторной диаграммой, сложение и вычитание комплексных значений можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов. Векторные диаграммы, как правило, используются для качественной оценки расчетов и их наглядности. Они являются графическим отображением математических соотношений и расчетов электрической цепи.
Пример изображения синусоидальных величин в виде графика и в виде векторной диаграммы Пример символического представления функции времени
Гармонический ток в сопротивлении Сдвиг фаз между напряжением и током т. е. ток и напряжение на сопротивлении совпадают по фазе, что отображено на векторной диаграмме. для действующих значений справедливо
Представим синусоидальный ток и напряжение резистивного элемента соответствующими комплексными значениями Мгновенная мощность Активная мощность, равная средней мощности за период,
Гармонический ток в индуктивности Индуктивность – элемент цепи, который учитывает энергию магнитного поля При изменении тока в индуктивности возникает ЭДС самоиндукции e. L, которая по закону Ленца препятствует изменению тока. Поэтому при выборе одинаковых положительных направлений для тока i. L и ЭДС e. L, как показано на рис. , знаки и противоположны и Чтобы через индуктивность проходил переменный ток, к ее выводам надо приложить напряжение u. L, равное по величине и противоположное по направлению ЭДС e. L:
Если тогда Закон Ома для цепи с индуктивным элементом - индуктивное сопротивление, имеет размерность сопротивления Начальная фаза напряжения
Мгновенная мощность Из выражения следует, что средняя мощность за период, а следовательно, и активная мощность равны нулю. Индуктивность – реактивный элемент. Мгновенная мощность может быть положительной, отрицательной и равной нулю. Если p(t) 0, индуктивность заряжается энергией в виде энергии магнитного поля; если p(t) 0, индуктивность возвращает энергию источнику. Средняя мощность за период Pср = 0 (мгновенная мощность колеблется относительно нуля). Индуктивная проводимость
Гармонический ток в емкости Емкостный элемент цепи с емкостью С учитывает энергию электрического поля Ток в ветви с емкостью равен скорости изменения заряда на электродах, и при указанном положительном направлении тока знак тока совпадает со знаком производной по времени от заряда q.
Таким образом, можно сделать следующие выводы: • 1. Амплитуда и действующее значение напряжения и тока на емкости связаны законом Ома. 2. Напряжение uс отстает по фазе от тока iс на Мгновенная мощность
Векторная диаграмма для емкостного элемента
НЕРАЗВЕТВЛЕННАЯ ЦЕПЬ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА Для расчета режима работы неразветвленной цепи комплексным методом представим все действующие значения синусоидальных величин соответствующими комплексными:
Выберем направление обхода контура и запишем уравнение по второму закону Кирхгофа: Найдем комплексный ток в цепи: где напряжение между выводами источника и пассивного участка. Величина, стоящая в знаменателе выражения для комплексного тока называется комплексным сопротивлением (неразветвленного участка цепи):
Сопротивление R называют активным сопротивлением цепи. Этим сопротивлением определяются необратимые процессы в цепи, в частности, для приведенной схемы – преобразование электромагнитной энергии в тепловую. Величину L – 1/ C, учитывающую реакцию самоиндукции и емкости и имеющую размерность сопротивления, называют реактивным сопротивлением цепи. При этом L называют индуктивным сопротивлением, а 1/ C – емкостным сопротивлением цепи. Величина, обратная комплексному сопротивлению, называется комплексной проводимостью: Каждому значению комплексного сопротивления Z, т. е. комплексному числу, соответствует точка на комплексной плоскости. Ее положение однозначно определяется вектором на комплексной плоскости Этот вектор является геометрической интерпретацией комплексного сопротивления и имеет такое же обозначение Z.
б а Слагаемые комплексного сопротивления изображены на рисунке также в виде векторов для двух случаев: XL > Хс (рисунок , а) и XL < Хс (рисунок , б). Геометрическая интерпретация комплексного сопротивления позволяет легко перейти от алгебраической формы записи комплексного сопротивления к тригонометрической и показательной формам: модуль комплексного сопротивления
аргумент комплексного сопротивления. В зависимости от знака величины (XL Хс) аргумент комплексного сопротивления может быть либо положительным ( > 0 — индуктивный характер комплексного сопротивления, как на рисунке 2, а), либо отрицательным ( < 0 — ем костный характер комплексного сопротивления, как на рисунке 2, б), но всегда С учетом полученного значения комплексного сопротивления в показательной форме, выражение для комплексного тока в цепи можно записать в виде:
Из полученного выражения для тока можно сделать следующие выводы: а) если комплексное сопротивление цепи имеет индуктивный характер, то ток отстает по фазе от напряжения, так как > 0; б) если комплексное сопротивление цепи имеет емкостный характер, то ток в цепи опережает по фазе напряжение, так как < 0; в) если реактивная составляющая комплексного сопротивления равна нулю (то есть при L = 1/ C), то ток в цепи совпадает по фазе с напряжением, а его действующее значение определяется только действующим значением напряжения и активным сопротивлением R (сопротивлением потерь). В этом случае в электрической цепи наблюдается явление резонанса При нескольких последовательно соединенных резистивных, индуктивных и емкостных элементах комплексное сопротивление определяется выражением
Дана цепь со следующими параметрами: e(t) = 20 Sin 100 t; R=4 Ом; L=70 м. Гн; C=2500 мк. Ф Для цепи требуется определить мгновенные значения тока i(t), напряжений ur(t), uc(t), u. L(t), urc(t) 1. Определим реактивные сопротивления элементов цепи
2. Вычислим полное сопротивление цепи 3. Определим угол сдвига фаз между напряжением источника и током цепи 4. Найдём амплитуду тока в цепи Если к входу последовательной канонической схемы подключен источник напряжения е(t), то ток в цепи определяется по уравнению:
5. Используя полученные значения запишем мгновенное значение тока: 6. Напряжение на сопротивлении ur(t) определим по закону Ома: 7. Напряжение на индуктивности вычислим по формуле: 8. Напряжение на ёмкости вычислим по формуле: 9. Напряжение на последовательном соединении сопротивления и индуктивности ur. L(t) определяется током Im и сопротивлением Z r. L. Амплитуда этого напряжения равна:
Угол сдвига фаз: Надо помнить о том, что напряжение на индуктивности опережает ток на 90 гр. Мгновенное значение этого напряжения имеет значение: 10. Аналогично определяется напряжение на последовательном соединении сопротивления и ёмкости:
Векторная диаграмма для этой схемы
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ВЕТВЕЙ В этой цепи параллельно соединены источник ЭДС, резистивный, индуктивный и емкостной элементы. Комплексные проводимости пассивных элементов цепи равны
По первому закону Кирхгофа определим комплексное значение общего тока, равного току источника ЭДС: – комплексная проводимость цепи. В тригонометрической форме комплексная проводимость равна а в показательной форме модуль комплексной проводимости цепи аргумент комплексной проводимости цепи
Подставив значение комплексной проводимости цепи в показательной форме в выражение для тока, получим комплексное значение тока в виде
На комплексной плоскости слагаемые комплексной проводимости цепи изображены в виде векторов для двух случаев: 1. BL > ВС (рисунок а) 2. ВL < ВC (рисунок б). В первом случае комплексная проводимость цепи имеет индуктивный характер, во втором — емкостной.
Мощность и энергия в цепях синусоидального тока Предположим, что сложная электрическая цепь с гармоническими воздействиями и реакциями частоты ω состоит из двух частей ЭЦ 1 и ЭЦ 2 мгновенная мощность на общих зажимах 1 1’ Если учесть, что действующие значения гармонических напряжения u тока i имеют значения а разность начальных фаз напряжения и тока
Таким образом, мгновенная мощность изменяется во времени с частотой вдвое большей частоты тока или напряжения, и состоит из средней (активной) составляющей и переменной составляющей: Амплитуду переменной составляющей мгновенной мощности называют полной или кажущейся мощностью
Энергия, передаваемая из первой части цепи ЭЦ 1 во вторую ЭЦ 2, равна Она состоит из линейно возрастающей во времени энергии W 1=Pt и переменной составляющей W 2. Если W(t)>0, то энергия передаётся из ЭЦ 1 в ЭЦ 2, если же W(t)<0, то поток энергии изменяет свое направление и поступает из ЭЦ 2 в ЭЦ 1. Очевидно, что направление потока энергии зависит от знака средней мощности, которая при
При расчете мощности в цепях переменного тока пользуются понятием коэффициента мощности Реактивная мощность реактивная мощность индуктивности L определяется при условии максимальная энергия, накапливаемая в магнитном поле индуктивности при i=Im. Аналогично, реактивная мощность емкости С определяется при условии, что максимальная энергия, накапливаемая в электрическом поле емкости при напряжении u=Um.
Реактивная мощность в LC цепи имеет значение Полную мощность можно выразить через активную и реактивную мощности Где Z и Y – модули эквивалентных входных комплексных сопротивлений и проводимостей, соответственно. Из этого уравнения следует, что реактивную мощность определить по формуле, где знак плюс используется при индуктивной цепи, а знак минус – для емкостной цепи: Треугольник мощностей, соответствующий этому уравнению
При расчете цепей по комплексным значениям напряжения и тока можно использовать значение комплексной полной мощности Комплексное значение полной мощности состоит из двух частей: вещественной, равной средней мощности Р и мнимой, равной реактивной мощности Q Комплексные значения входных сопротивлений и проводимостей цепи
Таким образом, если измерить полную и среднюю мощности, действующий ток или действующее напряжение, то можно рассчитать комплексное входное сопротивление или комплексную входную проводимость, При этом вещественная часть комплексного сопротивления или проводимости пропорциональна активной мощности Р, а мнимая часть – пропорциональна реактивной мощности Q. 1. Мгновенная или средняя мощности измеряются в ваттах (Вт). 2. Реактивная мощность измеряется в вольт амперах реактивных (вар). 3. Полная мощность измеряется в вольт амперах (ВА)
Резонансный режим работы электрической цепи Резонанс (от французского – дающий отклик) – явление сильного возрастания амплитуды колебания под влиянием внешнего воздействия, когда частота внешних колебаний совпадает с частотой системы. Критерием резонанса является равенство угла сдвига фаз нулю Учитывая, что в последовательной цепи, в параллельной цепи, условиям возникновения резонансов соответствуют соотношения: В электрических цепях имеют место два вида резонансов: резонанс напряжений и резонанс токов. Условие возникновения первого: реактивное сопротивление X = 0, второго: реактивная проводимость B = 0.
Резонанс напряжений наблюдается в последовательных цепях. Изменим частоту генератора или параметры катушки индуктивности или емкости так, чтобы для этой схемы было напряжение на входе В цепи – режим резонанса: т. е. ток и напряжение на входе совпадают по фазе.
Частота, при которой наблюдается резонанс, может быть определена из соотношения Ток в цепи в режиме резонанса т. е. максимально возможный при данных параметрах контура. Полная мощность цепи равна мощности, выделяемой на активном сопротивлении. Векторная диаграмма, которая Временная диаграмма тока соответствует режиму резонанса и напряжений
В каждый момент времени Учитывая, что Получаем где – характеристическое, или волновое сопротивление резонансного контура, измеряемое в омах. Отношение напряжения на реактивных элементах к напряжению на входе в режиме резонанса называют добротностью контура: Чем больше и чем меньше активное сопротивление в цепи, тем выше напряжение на реактивных элементах по сравнению с напряжением на входе контура.
Энергетические процессы Пусть в последовательной цепи, состоящей из R, L, C элементов, протекает ток тогда напряжение на емкости Магнитная энергия индуктивности Энергия, накопленная на емкости Поскольку то В каждый момент времени суммарная энергия контура в режиме резонанса
Частотные и резонансные характеристики последовательного RLC-контура Зависимости параметров контуров RLC контура от частоты называют частотными характеристиками. индуктивное сопротивление емкостное сопротивление реактивное сопротивление полное сопротивление угол сдвига фаз
Качественный вид характеристик В момент резонанса
Зависимости тока I( ), напряжения на индуктивности UL( ), напряжения на емкости UC( ) называют резонансными характеристиками. Графики этих характеристик при добротности Q = 2 При добротности контура Q < 5 максимумы напряжений UL и UC смещаются друг от друга на одно и то же значение частоты от резонансной 0. При добротности контура Q >5 максимумы этих напряжений при резонансной частоте = 0 сливаются.
Если частота = 0, то XC = , XL=0 при этом условии Если частота равна резонансной
Из приведенных характеристик следует, что RLC - контур обладает избирательными свойствами. Самое большое значение тока имеет место в режиме резонанса ( = 0). Для оценки избирательных свойств контура вводят понятие полосы пропускания контура. Она равна разности частот, которым соответствует отношение до и после резонанса, равное Параметры цепи оказывают большое влияние на избирательность. Чем больше добротность контура, тем выше его избирательность. В этом можно убедиться при рассмотрении кривых отношение тока текущей частоты к току резонансной частоты отношение текущей частоты к резонансной. Чем больше добротность контура, тем лучше его избирательные свойства и тем меньше полоса пропускания.
Зависимости I, UL, UC от L и С Представим электрические схемы последовательного RLC-контура при L = 0, L = L 0 (индуктивность достижения резонанса), L Значения I(L), UL(L), UC(L) для каждой схемы даны в таблице
Электрические схемы RLC контура при С = 0, С = С 0 (значение емкости при резонансе), С представлены на рисунке Значения I(C), UL(C), UC(C) для каждой схемы даны в таблице
Резонанс токов наблюдается в параллельных ветвях. При резонансе токов по фазе совпадают ток общей ветви и напряжение на параллельном участке. Рассмотрим резонанс токов в схеме с параллельными ветвями RL и RC Заменим данную схему эквивалентной В этой схеме приняты следующие обозначения:
Для данной схемы справедливо В режиме резонанса Это возможно, если будет выполнено условие и соответственно При резонансе полная мощность, которая потребляется контуром, минимальна и носит активный характер
В режиме резонанса ток на входе параллельного контура т. е. минимальный ток для этой схемы при неизменном напряжении на входе При G 0; I 0. Сопротивление такой цепи Z . Для резонансной частоты 0 такой контур принято называть фильтром - пробкой. Величина резонансной частоты для приведенной схемы определяется из условия Приведя к общему знаменателю и умножив обе части на 0, получим Резонанс в такой схеме может иметь место, если только выполняются следующие условия:
При схема находится в резонансе при любых частотах. Это так называемый всеволновой резонанс. Векторная диаграмма Под добротностью контура при резонансе токов понимают отношение тока на реактивных элементах IL или IС к току на входе контура I
Частотные и резонансные характеристики в параллельном LC- контуре В качестве частотных характеристик в контуре выступают зависимости Учитывая, что характер резонансных кривых полностью совпадает с соответствующими частотными зависимостями.
Резонансы в сложных цепях Входное сопротивление В этой схеме резонанс напряжений возможен при условии при этом резонансная частота Входная проводимость этой схемы При резонансе токов В = 0. При этом резонансная частота
Численные значения частот в режиме резонанса токов и напряжений различны для одной и той же схемы. Таким образом, цепь с несколькими RLC - контурами, которые могут быть соединены произвольно, может давать несколько резонансов токов и напряжений. Анализ осуществляется путем расчета цепи. Рассматривается которая представляет собой дробь. Известно, что условие резонанса напряжений X=0, т. е. Следовательно, равенство нулю числителя дает резонансную частоту для резонанса напряжений. Условие резонанса токов B = 0 или Следовательно, равенство нулю знаменателя дает резонансную частоту для резонанса токов. Таким образом, задача сводится к определению нулей и полюсов
Символический метод расчета цепей с гармоническими воздействиями Пусть некоторая электрическая величина (ток, напряжение, ЭДС и т. д. ) изменяется по синусоидальному закону В прямоугольной системе координат расположим под углом вектор, длина которого в выбранном масштабе равна амплитуде В момент времени t 0 вектор составляет с осью абсцисс угол . А его проекция на ось ординат будет равна мгновенному значению величины v. Между мгновенным значением v(t) и вектором можно установить однозначное соответствие. изображения функции времени называют символическими. Если считать ось абсцисс осью вещественных величин, а ось ординат – осью мнимых величин на комплексной плоскости, то вектор соответствует комплексному числу с модулем и аргументом .
Операции над комплексными числами
При анализе цепей синусоидального тока применяют главным образом комплексные действующие значения, сокращенно их называют комплексными значениями, а соответствующие им векторы на комплексной плоскости – векторами комплексных значений. Связь между комплексом амплитуды и комплексом действующего значения устанавливается по формуле: Совокупность векторов комплексных значений синусоидальных величин одной частоты, изображенных на комплексной плоскости, называют векторной диаграммой. Пользуясь векторной диаграммой, сложение и вычитание комплексных значений можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов. Векторные диаграммы, как правило, используются для качественной оценки расчетов и их наглядности. Они являются графическим отображением математических соотношений и расчетов электрической цепи.
Пример символического представления функции времени
Теоремы символического метода
Законы Ома и Кирхгофа
Рассмотрим закон Ома в символической форме записи для элементов цепи гармонического тока
Методы расчета цепей синусоидального тока и напряжения Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме для цепей синусоидального тока, имеют совершенно такой же вид, как соответствующие уравнения для цепей постоянного тока: Эквивалентное преобразование пассивных цепей При последовательном соединении n приемников с комплексными сопротивлениями эквивалентное или общее комплексное сопротивление цепи При параллельном соединении n приемников с комплексными проводимостями эквивалентная или общая комплексная проводимость цепи
Пример смешанного соединения приемников Известно, что R 1 = 10 Ом, R 2 = 2 Ом, R 3 = 1 Ом, XL = 1 Ом, XC = 2 Ом. Для данной схемы общее или эквивалентное комплексное сопротивление определяется следующим образом:
Определим эквивалентную проводимость: Таким образом, переход от известного сопротивления к проводимости осуществляется по формуле а переход от известной проводимости к сопротивлению
При преобразовании соединения потребителей треугольником в эквивалентную звезду и обратно применяются формулы, аналогичные формулам для постоянного тока, в которых используются комплексные сопротивления и проводимости:
Обобщенный закон Ома в символической форме Обобщенный закон Ома для участка цепи с источником гармонической ЭДС Уравнения мощности в символической форме мгновенная мощность определяется следующим образом Если принять тогда из следует, что Тогда Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, изменяющуюся с двойной частотой. Активная мощность – это постоянная составляющая мгновенной мощности или среднее за период:
Единица измерения мощности – ватт (Вт). Активная мощность всегда положительна. Электрические машины и аппараты конструируют для работы при определенных значениях напряжения и тока, поэтому их характеризуют не активной мощностью, зависящей от сдвига фаз, а полной мощностью где U, I – действующие значения соответственно напряжения и тока. Полная мощность равна наибольшему значению активной мощности при заданных напряжениях и токах. Также амплитуда гармонической составляющей мгновенной мощности численно равна полной мощности. Отношение активной мощности к полной, равное косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током, называется коэффициентом мощности: Для эффективного использования электрических машин и аппаратов желательно иметь более высокий коэффициент мощности или меньший сдвиг по фазе тока относительно напряжения, т. е.
Высокий коэффициент мощности также желателен для уменьшения потерь при передаче энергии по линиям электропередачи. При данном значении Р приемника ток в линии тем меньше, чем больше Реактивная мощность Q: (Вар) Активная, реактивная и полная мощности связаны соотношениями Комплексная мощность
Рассмотрим комплексные мощности для различных потребителей:
Баланс мощности Равенство нулю в отдельности суммы определяемых активных и суммы определяемых реактивных мощностей. Поскольку отрицательные получаемые мощности представляют собой мощности отдаваемые, то можно утверждать, что суммы всех отдаваемых и всех получаемых реактивных мощностей равны другу: При равенстве сумм комплексных величин суммы их модулей в общем случае не равны другу. Отсюда следует, что для полных мощностей S баланс не соблюдается.
Метод контурных токов Алгоритм расчета цепей гармонического тока методом контурных токов аналогичен рассмотренному при изучении цепей постоянного тока с поправкой на символический метод. При решении задачи данным методом составляется система уравнений вида
Пример. В цепи гармонические источники ЭДС Составим систему уравнений для контурных токов:
Метод узловых потенциалов При решении задачи данным методом составляется система уравнений вида – квадратная матрица комплексных проводимостей, в которой – собственная комплексная проводимость, – общая комплексная проводимость ветвей, соединяющих i и j узлы – матрица-столбец потенциалов – матрица-столбец узловых токов Для представленной цепи система уравнений вырождается в одно уравнение, поскольку в цепи два узла.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С ВЗАИМОИНДУКЦИЕЙ Напряжение на индуктивно связанных элементах цепи Явление наведения ЭДС в одном элементе цепи при изменении тока в другом называют взаимоиндукцией. Про такие элементы говорят, что они индуктивно (или магнитно) связаны. Пусть имеются две катушки, по которым протекают токи и В первой катушке витков, во второй – При этом эти катушки будут магнитно связаны так, как это показано на рис. Первую катушку пронизывает магнитный поток вторую катушку – Потокосцепления первой и второй катушек соответственно (5. 1)
Соотношения (5. 1) справедливы только в том случае, когда потокосцепления самоиндукции и взаимной индукции совпадают по знаку. При изменении направления тока, например во второй катушке, знаки перед потокосцеплениями взаимоиндукции должны измениться на противоположный. Поэтому формулы (5. 1) можно переписать при этом верхний знак в этих выражениях соответствует «согласному» включению катушек, а нижний – «встречному» . Опытным путем установлена связь между токами и потокосцеплениями для катушек без ферромагнитных сердечников В цепях, которые мы изучаем, Степень магнитной (индуктивной) связи двух элементов цепи характеризуется коэффициентом связи K
В соответствии с законом Фарадея – Ленца Тогда напряжения на первой и второй катушках при изменении тока
Одноименные зажимы катушек Встречное и согласное включение индуктивно связанных элементов (катушек) зависит от направления тока в элементах и взаимного расположения катушек в пространстве. Два зажима двух индуктивно (магнитно-) связанных элементов цепи называют одноименными, если при одном и том же направлении тока относительно этих зажимов потоки самоиндукции и взаимоиндукции на каждом элементе складываются. В электрических схемах такие зажимы обозначаются точками ( ) или звездочками ( ). Магнитная связь между элементами обозначается дугой со стрелками
Последовательное соединение индуктивно связанных цепей Комплексные сопротивления первой и второй реальной катушки индуктивности Уравнение по II закону Кирхгофа для мгновенных значений с учетом индуктивных связей имеет вид напряжение взаимоиндукции первой и второй катушек
В комплексной форме это уравнение имеет вид реактивное сопротивление при согласном включении,
Из приведенных соотношений следует, что при согласном включении индуктивно связанных катушек их суммарное сопротивление больше, чем сумма сопротивлений этих катушек, не включенных по такой схеме.
На рис. дана схема встречного включения индуктивно связанных катушек. Для этой схемы справедливо
При этом эквивалентная индуктивность и эквивалентное сопротивление при встречном включении При встречном включении индуктивно связанных катушек их суммарное сопротивление меньше, чем сумма сопротивлений этих катушек, не включенных по такой схеме. Векторная диаграмма при встречном включении индуктивно связанных катушек дана на рис.
Расчет параллельных цепей с взаимной индукцией Определим токи из уравнений Из двух последних уравнений по II закону Кирхгофа следует, что Отсюда
Скачать презентацию ЭЛЕКТРОТЕХНИКА БУРЬКОВА ЕЛЕНА ВЛАДИМИРОВНА К П Н
ЭЛЕКТРОТЕХНИКА.pptx