Электронный конспект к курсу лекций по дисциплине Математическая

Электронный конспект к курсу лекций по дисциплине «Математическая логика» Часть 3. Логика предикатов. Часть 4. Логические исчисления Отрыванкина Т. М. , доцент кафедры алгебры ОГУ, Габдушева А. Д. , ассистент кафедры алгебры ОГУ, Миронова Е. И. , ассистент кафедры алгебры ОГУ

План Часть 3. Логика предикатов Часть 4. Логические исчисления

Часть 3. Логика предикатов 3. 1 Основные понятия 3. 2 Операции над предикатами 3. 3 Формулы ЛП. Значение формулы. Классификация формул 3. 4 Равносильные формулы ЛП. Основные равносильности ЛП 3. 5 Проблема разрешимости в ЛП. Решение проблемы для формул на конечных множествах 3. 6 Применение ЛП к логико-математической практике Контрольные вопросы для самопроверки

3. Логика предикатов (ЛП) Аппарат алгебры высказываний недостаточен для описания всех закономерностей логического следования. Пример. Все люди смертны. Сократ – человек. Следовательно, Сократ смертен. A, B ╞ C Высказывание Объект Свойство (предикат) Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 1 Основные понятия Одноместный предикат, определенный на множестве M, - это повествовательное предложение, содержащее переменную x, которое превращается в высказывание при подстановке вместо x любого конкретного значения из M. Пример. Определите, какие из следующих предложений являются предикатами: 1. Натуральное число x делится на 34. 2. Город x стоит на реке Урал. 3. x 2 +x+4. 4. Для всякого действительного числа x выполняется равенство x 2+x+4=0. 5. x 2 +x+4=0. Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 1 Основные понятия n-местный предикат, определенный на множестве M 1×M 2×M 3×…×Mn, - это повествовательное предложение, содержащее переменные x 1, x 2, x 3, . . . , xn, которое превращается в высказывание при подстановке вместо x 1, x 2, x 3, . . . , xn любого набора конкретных значений из M 1×M 2× M 3×…×Mn. Обозначение n-местного предиката P(x 1, x 2, x 3, . . . , xn). Также будут использоваться буквы Q, R, S, T, … Переменные x 1, x 2, x 3, . . . , xn называются предметными. Множество M 1×M 2×M 3×…×Mn называется предметной областью. Значения из M 1, M 2, M 3, …, Mn называются конкретными предметами. Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 1 Основные понятия Пример. Укажите количество переменных, от которых зависит предикат и его предметную область. 1. Для действительных x, y (x+y)2=x 2+2 xy+y 2. 2. x+y+z=0. 3. Человек x живет в городе y на улице z. 4. sin x=sin y, x, y R. На предикат можно смотреть как на функцию n аргументов, определенную на множестве M 1×M 2×M 3×…×Mn и принимающую значения в {0, 1}. Иногда ее и называют предикатом. Будем считать высказывания 0 -местными предикатами. Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 1 Основные понятия Множеством истинности предиката P(x 1, x 2, x 3, . . . , xn), заданного на M 1×M 2×M 3×…×Mn, называется множество I(P)={(a 1, a 2, a 3, …, an)| λ(P(a 1, a 2, a 3, …, an)=1)}. Классификация предикатов Тождественно истинный предикат I(P) = M 1× M 2× M 3×…× Mn Выполнимый предикат I(P) Тождественно ложный предикат I(P) = Опровержимый предикат I(P) M 1× M 2× M 3×…× Mn Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 1 Основные понятия Пример. Найдите множества истинности предикатов и классифицируйте их: 1. Натуральное число x делится на 34. 2. Город x стоит на реке Урал. 3. x 2+x+4=0, x Z 4. x+y+z=0, x, y, z R 5. Человек x живет в городе y на улице z. 6. sin x=sin y, x, y R Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 2 Операции над предикатами Над предикатами можно проделывать те же логические операции, что и над высказываниями. Отрицанием предиката P(x 1, x 2, x 3, . . . , xn), заданного на M 1×M 2×M 3×…×Mn, называется предикат 7 P(x 1, x 2, x 3, . . . , xn), также определенный на M 1×M 2×M 3×…×Mn и превращающийся в истинное высказывание на тех и только тех наборах значений переменных, на которых предикат P(x 1, x 2, x 3, . . . , xn) превращается в ложное высказывание. Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 2 Операции над предикатами Дизъюнкцией n-местного предиката P(x 1, x 2, x 3, . . . , xn), определенного на множествах M 1, M 2, M 3, …, Mn, и m-местного предиката Q(y 1, y 2, y 3, . . . , ym), определенного на множествах N 1, N 2, N 3, …, Nm, называется новый (n+m)-местный предикат P(x 1, x 2, x 3, . . . , xn) Q(y 1, y 2, y 3, . . . , ym), определенный на множествах M 1, M 2, M 3, …, Mn, N 1, N 2, N 3, …, Nm, который превращается в истинное высказывание при всех тех и только тех значениях предметных переменных, при которых в истинное высказывание превращается по меньшей мере один из исходных предикатов. Остальные определения сформулируйте самостоятельно. Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 2 Операции над предикатами Пусть I(P) и I(Q) – множества истинности предикатов P(x 1, x 2, x 3, . . . , xn) и Q(x 1, x 2, x 3, . . . , xn), определенных на множестве M 1× M 2×M 3×…×Mn. Опишите I(7 P), I(P Q), I(P → Q), I(P ↔ Q). Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 2 Операции над предикатами Кванторные операции над предикатами Эти операции не имеют аналогов в АВ. Операцией связывания квантором общности называется правило, по которому каждому одноместному предикату P(x), определенному на множестве M, сопоставляется высказывание x P(x) (читается «для любого (значения) x P(x) (истинное высказывание)» ), такое, что ( x P(x)) = Символ образован от начальной буквы английского All. В высказывании x P(x) переменная x называется связанной. Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 2 Операции над предикатами Рассмотрим предикат P(x 1, x 2, x 3, . . . , xn), заданный на M 1×M 2×M 3×…×Mn. Операцией связывания квантором общности переменной x 1 в n-местном предикате P(x 1, x 2, x 3, . . . , xn) называется правило, по которому получается (n-1)местный предикат, обозначаемый x 1 P(x 1, x 2, x 3, . . . , xn), такой, что ( x 1 P(x 1, x 2, x 3, . . . , xn))= = Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 2 Операции над предикатами Операцией связывания квантором существования переменной x в одноместном предикате P(x) называется высказывание x P(x) (читается «найдется (значение) x такое, что P(x) (истинное высказывание)» ), такое, что ( x P(x)) = Символ образован от начальной буквы английского слова Exist. В высказывании x P(x) переменная x также называется связанной. Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 2 Операции над предикатами Рассмотрим предикат P(x 1, x 2, x 3, . . . , xn), заданный на M 1×M 2×M 3×…×Mn. Операцией связывания квантором существования переменной x 1 в n-местном предикате P(x 1, x 2, x 3, . . . , xn) называется правило, по которому получается (n-1)местный предикат, обозначаемый x 1 P(x 1, x 2, x 3, . . . , xn), такой, что ( x 1 P(x 1, x 2, x 3, . . . , xn))= = Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 2 Операции над предикатами Пример. P(x, y): «x делится на y» , M=N 2 Сформулируйте и классифицируйте предикаты: x P(x, y) y P(x, y) Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 2 Операции над предикатами Пример. P(x, y): «x делится на y» , M=N 2 Сформулируйте высказывания и найдите их логические значения: y x P(x, y) Остальные высказывания составьте и проанализируйте самостоятельно. Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 3 Формулы ЛП. Значение формулы. Классификация формул Алфавит ЛП: – предметные переменные x, y, z, xi, yi (i N); – нульместные предикатные переменные P, Q, R, …; – n-местные (n≥ 1) предикатные переменные; P 1(n)( , , …, ), P 2(n)( , , …, ), …, Q(n)( , , …, ) R(n)( , , …, ) с указанием числа свободных мест в них; – символы логических операций; – кванторы; – вспомогательные символы. Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 3 Формулы ЛП. Значение формулы. Классификация формулы Определение формулы ЛП носит индуктивный характер. 1. Каждая нульместная предикатная переменная есть формула. 2. Если P( , , …, ) - n-местная (n≥ 1) предикатная переменная, то P(x 1, x 2, …, xn) – формула, в которой все предметные переменные x 1, x 2, …, xn – свободные. 3. Если F – формула, то 7 F – тоже формула, в которой свободными являются те и только те переменные, которые свободны в F. 4. Если F 1, F 2 – формулы и если предметные переменные, входящие одновременно в обе эти формулы, свободны в каждой из них, то выражения , , также являются формулами. При этом предметные переменные, свободные (связанные) хотя бы в одной из формул F 1, F 2, называются свободными (связанными) и в новых формулах. 5. Если F – формула и x – предметная переменная, входящая в F свободно, то выражения x F и x F также являются формулами, в которых переменная x связанная, а все остальные предметные переменные, входящие в формулу F свободно или связанно, остаются и в новых формулах соответственно такими же. 6. Никаких других формул логики предикатов, кроме получающихся согласно пп. 1 -5 нет. Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 3 Формулы ЛП. Значение формулы. Классификация формулы Пример. Какие их следующих выражений являются формулами согласно определению: 1. ( x P(x)). 2. ( x P(x)) P(y). 3. x (Q(x) 7 R(x)). 4. ( y P(y) Q(x, y)). Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 3 Формулы ЛП. Значение формулы. Классификация формулы Формулы, определенные в п. п. 1, 2, называются элементарными. Формулы, не являющиеся элементарными, называются составными. В формулах x F и x F формула F называется областью действия квантора. Формула, не содержащая свободных переменных, называется замкнутой. Если G получена из F связыванием всех ее свободных переменных кванторами общности, то говорят, что G – замыкание общности F, если G получена из F связыванием всех ее свободных переменных кванторами существования, то говорят, что G – замыкание существования F. Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 3 Формулы ЛП. Значение формулы. Классификация формулы Пример. Дана формула x P(x). Можете ли Вы определить ее логическое значение? 1. P(x): «Натуральное число x делится на 2» . 2. P(x): «Человек x имеет родителей» . Запишите, как звучат соответствующие высказывания и укажите их логические значения. Что необходимо, знать чтобы определить значение данной формулы? Достаточно ли этого в общем случае? Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 3 Формулы ЛП. Значение формулы. Классификация формулы Пример. Рассмотрим формулу x y. P(x, y). Что можно сказать о ее логическом значении? Необходима интерпретация: – указание предметной области; – задание конкретных значений содержащихся в формуле предикатных переменных; – при наличии свободных предметных переменных – указание их значений. Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 3 Формулы ЛП. Значение формулы. Классификация формулы Пример. Что Вы можете сказать о логическом значении формулы 7 P(x) y. P(y)? Нужна ли интерпретация в данном случае? Почему? Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 3 Формулы ЛП. Значение формулы. Классификация формулы Формула ЛП F называется выполнимой (опровержимой) на множестве M, если существует ее истинная (ложная) интерпретация на указанном множестве. Формула ЛП F называется тождественно истинной (тождественно ложной) на множестве M, если любая ее интерпретация на указанном множестве истинна (ложна). Формула ЛП F называется общезначимой (противоречием), если ее интерпретация истинна (ложна) на любом множестве. Нахождение общезначимых формул является одной из важнейших задач ЛП. Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 3 Формулы ЛП. Значение формулы. Классификация формулы Т. (Черч, 1936) Не существует алгоритма, позволяющего установить, общезначима или нет произвольная формула ЛП. Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 4 Равносильные формулы ЛП. Основные равносильности ЛП Формулы ЛП называются равносильными на множестве M, если их интерпретации на указанном множестве имеют одинаковые логические значения при соответствующих подстановках предикатных и предметных переменных Формулы ЛП называются равносильными, если логические значения их интерпретаций совпадают на любом множестве Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 4 Равносильные формулы ЛП. Основные равносильности ЛП I группа: получаются из равносильностей пропозициональных переменных на формулы ЛП АВ заменой II группа: 7 ( x P(x)) x(7 P(x)) x (P(x) Q(x)) x P(x) x Q(x) x (P(x) Q(x)) x P(x) x Q(x) x (P(x) Q) x P(x) Q x (P(x) Q) x P(x) Q x (P(x) Q) x P(x) Q x (Q P(x)) Q x P(x) ( x P(x)) P(y) 1 P(y) ( x P(x)) 1 x P(x) y P(y) x y P(x, y) y x P(x, y) x y P(x, y) 1 Докажите! Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 4 Равносильные формулы ЛП. Основные равносильности ЛП. Предваренной нормальной формой (ПНФ) для формулы ЛП называется такая равносильная ей формула, в которой из логических операций имеются лишь , и «тесные» отрицания, а кванторы стоят в ее начале, т. е. область действия каждого из них распространяется до конца формулы, т. е. это формула вида K 1 х1 K 2 х2…Kmxm F(x 1, x 2, …, xn), m n, где Ki есть один из кванторов или (i=1, …, m), причем формула F не содержит кванторов. Т. Для каждой формулы ЛП существует равносильная запись в виде ПНФ. (Почему? ) Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 5 Проблема разрешимости в ЛП Решение проблемы для формул на конечных множествах y x( P(x, y) P(y, y)) M={a, b} y( P(a, y) P(y, y)) ( P(b, y) P(y, y)) ( P(a, a)) ( P(b, a) P(a, a)) ( P(a, b) P(b, b)) Что вы скажете о логическом значении этой формулы? Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 5 Проблема разрешимости в ЛП. Решение проблемы для формул на конечных множествах Если некоторая формула выполнима или тождественно истинна на некотором множестве, то аналогичное будет иметь место и на любом другом множестве с тем же самым числом переменных. Фактически необходимо ответить на вопрос, для каких множеств данная формула выполнима (общезначима), а для каких – нет. Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 5 Проблема разрешимости в ЛП. Решение проблемы для формул на конечных множествах Т. Если некоторая формула ЛП выполнима в какомнибудь множестве, то она выполнима также и в каждом множестве с большим числом элементов. Т. Если формула ЛП, содержащая только одноместные предикатные переменные, выполнима, то она выполнима на конечном множестве, содержащем не более 2 n элементов, где n – число различных предикатных переменных, входящих в рассматриваемую формулу. Сл. Если замкнутая формула, в которую входят n только одноместных предикатных переменных, тождественно истинна на множестве из 2 n элементов, то она общезначима. Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 5 Проблема разрешимости в ЛП. Решение проблемы для формул на конечных множествах Т. Формула, являющаяся замыканием общности, общезначима тогда и только тогда, когда она тождественно истинна на n-элементном множестве. Т. Формула, являющаяся замыканием существования, общезначима тогда и только тогда, когда она тождественно истинна на одноэлементном множестве. Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 6 Применение ЛП к логико-математической практике Важнейшей сферой применения ЛП к логикоматематической практике является сфера построения доказательств различных теорем, основывающаяся на теории логического следования. Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 6 Применение ЛП к логико-математической практике Запись на языке ЛП различных предложений А Численные кванторы «по меньшей мере n» ( «хотя бы n» ) «не более, чем n» «n и только n» ( «ровно n» ) n – натуральное число Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 6 Применение ЛП к логико-математической практике «по меньшей мере n» ( «хотя бы n» ) «не более, чем n» «n и только n» ( «ровно n» ) Пусть n=1. Озвучьте соответствующие выражения. Как их записать на логическом языке? Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 6 Применение ЛП к логико-математической практике x. P(x) (1) x y( (P(x) P(y)) (x=y)) (2) (1) (2): ( x. P(x)) ( x y( (P(x) P(y)) (x=y))) !x. P(x) !x – квантор существования и единственности по переменной x Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 6 Применение ЛП к логико-математической практике Пусть n=2. Как звучат кванторы? соответствующие численные Как их записать? Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 6 Применение ЛП к логико-математической практике Б Ограниченные кванторы «Всякий объект, обладающий свойством P, обладает также и свойством Q» «Среди объектов, обладающих свойством P, существует объект, обладающий также и свойством Q» x (P(x) Q(x)) Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 6 Применение ЛП к логико-математической практике x (P(x) Q(x)) ( P(x)) Q(x) ограниченный квантор общности x (P(x) Q(x)) ( P(x)) Q(x) ограниченный квантор существования Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 6 Применение ЛП к логико-математической практике Рассмотрим действие отрицания на ограниченные кванторы: (( P(x)) Q(x)) ≡ ( x (P(x) Q(x))) ≡ x (P(x) Q(x)) ≡ ≡ x (P(x) Q(x)) ≡ ( P(x)) Q(x) Какой вывод можно сделать? Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 6 Применение ЛП к логико-математической практике В Определения Напомним определение предела последовательности: В записи использованы ограниченные кванторы. Укажите и назовите их. Без применения таких кванторов определение имело бы вид: Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 6 Применение ЛП к логико-математической практике Построим отрицание данного определения, используя тождественные преобразования формулы логики предикатов: Итак, утверждение «Неверно, что математически означает, что. . . ? » Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 6 Применение ЛП к логико-математической практике Самостоятельно запишите на языке ЛП определение ограниченной (возрастающей) на некотором множестве функции и проведите подобный анализ его отрицания. Вернуться к плану

3. Логика предикатов 3. 6 Применение ЛП к логико-математической практике Г Теоремы x (P(x) Q(x)) x (Q(x) P(x)) x ( P(x) Q(x)) x ( Q(x) P(x)) – – Метод от противного ( x (P(x) Q(x))) 0 ≡ x (P(x) Q(x)) x ( Q(x) P(x) ) ≡ x (P(x) Q(x)) Вернуться к плану

Контрольные вопросы для самопроверки по разделу «Логика предикатов» 1. Что называется одноместным предикатом? 2. Что называется предметной переменной? предметной областью? 3. Что называется n-местным предикатом? 4. Что такое множество истинности предиката? 5. Приведите примеры утверждений, которые можно назвать предикатами. 6. Приведите примеры утверждений, не являющихся предикатами. 7. Какой предикат называется выполнимым? опровержимым? тождественно ложным? тождественно истинным? 8. Какие операции можно выполнять над предикатами? Дайте определения этих операций. Вернуться к плану

Контрольные вопросы для самопроверки по разделу «Логика предикатов» 9. Какие кванторные операции определены на предикатах? Сформулируйте определения этих операций. 10. Что называется формулой логики предикатов? 11. Поясните, как осуществить анализ логического значения формулы ЛП? Что для этого необходимо знать? 12. Что называется интерпретацией формулы ЛП? 13. Какие формулы называются равносильными на множестве? равносильными? 14. Перечислите известные Вам равносильности ЛП. Докажите их. 15. Что называется предваренной нормальной формулы ЛП? Какие преобразования необходимо выполнить для ее получения? 16. Что называется замыканием общности формулы ЛП? Вернуться к плану

Контрольные вопросы для самопроверки по разделу «Логика предикатов» 17. Что называется замыканием существования формулы ЛП? 18. Что такое общезначимая формула ЛП? 19. Существует ли алгоритм, позволяющий устанавливать общезначимость произвольной формулы ЛП? 20. Сформулируйте утверждения, с помощью которых в частных случаях можно установить, общезначима ли формула. 21. Что такое численные кванторы? Как их записать? 22. Дайте определение квантора существования и единственности. 23. Сформулируйте утверждения с ограниченными кванторами. 24. Запишите в общем виде ограниченный квантор общности, ограниченный квантор существования. 25. Сформулируйте с помощью символики логики предикатов любое определение и постройте его отрицание. Вернуться к плану

Часть 4. Логические исчисления 4. 1 Понятие формального исчисления 4. 2 Исчисление высказываний (ИВ) 4. 3 Другие аксиоматики ИВ 4. 4 Производные правила вывода 4. 5 Исчисление предикатов (ИП) (чистое, узкое, 1 -го порядка) 4. 6 Автоматическое доказательство теорем (АДТ) 4. 7 Метод резолюций в ИВ 4. 8 Метод резолюций в ИП Контрольные вопросы для самопроверки

4. Логические исчисления 4. 1 Понятие формального исчисления – алфавит А – некоторое (конечное или счетное) множество символов w=x 1 x 2…xk, xj А, j J – слово в алфавите А А+ – множество всех слов над А операция конкатенации (слияния) w=x 1 x 2…xk, v=y 1 y 2…ym, wv=x 1 x 2…xky 1 y 2…ym операция ассоциативна А+ – полугруппа слов над А пустое слово e: we = ew = w А+ {e}= А* – моноид слов над А Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 1 Понятие формального исчисления – множество формул F А+ ; – множество аксиом Ax F; – правила вывода – конечное множество R отношений на множестве F. Если (F 1, F 2, …, Fn, F) Ri, то говорят, что F – непосредственное следствие формул F 1, F 2, …, Fn по правилу Ri Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 1 Понятие формального исчисления I=(А, F, Ax, R) формальное исчисление Выводом в исчислении называется последовательность формул F 1, F 2, …, Fn, F , в которой каждая формула есть аксиома исчисления или непосредственное следствие каких-либо предыдущих формул последовательности. Пусть F 1, F 2, …, Fn, F – вывод в исчислении I, тогда F называется теоремой I (выводимой в I, доказуемой в I), а последовательность F 1, F 2, …, Fn , F – ее доказательством (выводом). Обозначается ├ F. Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 1 Понятие формального исчисления Исчисление называется разрешимым, если существует алгоритм, который за конечное число шагов позволяет установить, выводима в исчислении произвольная формула F или нет. Исчисление называется непротиворечивым, если не все его формулы доказуемы. Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 2 Исчисление высказываний (ИВ) ИВ: алфавит, формулы, схемы аксиом, правила вывода Алфавит ИВ состоит из …? Формулой ИВ называется …? Вернуться к плану

Аксиомы ИВ: 4. Логические исчисления 4. 2 Исчисление высказываний F 1 (F 2 F 1) (F 1 F 2) ((F 1 (F 2 F 3)) (F 1 F 2) F 1 (F 1 F 2) F 2 (F 1 F 2) ((F 1 F 3) (F 1 (F 2 F 3))) F 1 (F 1 F 2) F 1 (F 2 F 1) (F 1 F 3) ((F 2 F 3) ((F 1 F 2) F 3)) (F 1 F 2) ((F 1 7 F 2) 7 F 1) 77 F 1 Схемы аксиом Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 2 Исчисление высказываний Правило вывода Modus ponens (F , F G, G) R «Если F G выводимы, то и G выводима» Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 2 Исчисление высказываний Пример. Доказать, что ├ F F 1 шаг. Заменим в схеме F 1 (F 2 F 1) формулы F 1 и F 2 на F: F (F F) – конкретная аксиома. 2 шаг. Заменим в схеме (F 1 F 2) ((F 1 (F 2 F 3)) (F 1 F 3)) F 1 на F, F 2 на F F, F 3 на F: (F (F F)) ((F F) F)) (F F)) – конкретная аксиома. 3 шаг. По правилу MP из 1 и 2 получим, что формула (F ((F F) F)) (F F) выводима. 4 шаг. Заменим в схеме F 1 (F 2 F 1) формулу F 1 на F и F 2 – на F F: F ((F F) – конкретная аксиома. 5 шаг. По правилу MP из 4 и 3 получим, что формула F F выводима в ИВ, т. е. ├ F F. Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 2 Исчисление высказываний Пусть дано некоторое множество формул Γ={H 1, H 2, …, Hm}. Назовем его множеством гипотез. Если в последовательности F 1, F 2, …, Fk, F каждая формула является аксиомой исчисления, гипотезой из Γ или получается из каких-либо предыдущих формул последовательности по правилу вывода, то говорят, что F выводима из гипотез, а последовательность F 1, F 2, …, Fk, F является ее выводом. Обозначается Γ ├ F (кстати, ├ F ). Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 2 Исчисление высказываний Лемма 1 Γ├ F и H –некоторая формула ИВ Γ, H ├ F (правило добавления гипотез). Лемма 2 F 1, F 2, …, Fk ├ F F 1 F 2 … Fk ├ F (правило сведения гипотез к одной). Теорема (о дедукции). Γ, H├ F Γ├ H F. Следствие. F 1, F 2, …, Fk ├ F F 1 (F 2 (F 3 (. . . (Fk-1 (Fk F))…))). Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 2 Исчисление высказываний Таблица истинности Тавтология Проверьте, что схемы аксиом суть тавтологии! Теорема (о полноте). ├ F ╞ F. Теорема. ИВ разрешимо. Теорема. ИВ непротиворечиво. Множество формул Γ называется противоречивым, если Γ ├ 0 (X 7 X). Обозначается Γ ├. Теорема. Γ ├ F Γ {7 F}├. Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 2 Исчисление высказываний Схема аксиом в исчислении называется независимой, если хотя бы один ее частный случай не доказуем в исчислении без этой схемы. Теорема. Схемы аксиом ИВ независимы. Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 3 Другие аксиоматики ИВ – Рассмотрена аксиоматика Клини (1952) – Классическая Алфавит: символы логических операций только 7 и Схемы аксиом: F 1 (F 2 F 1) (F 1 (F 2 F 3)) ((F 1 F 2) (F 1 F 3)) (7 F 2 7 F 1) ((7 F 2 F 1) F 2) Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 3 Другие аксиоматики ИВ – Россер (1953) Алфавит: символы логических операций только 7 и Схемы аксиом: (F H: = 7(F 7 H)) F 1 (F 1 F 1) (F 1 F 2) F 1 (F 1 F 2) (7(F 2 F 3) 7(F 3 F 1)) Другие примеры аксиоматизаций – см. Новиков Ф. А. Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 4 Производные правила вывода Правило транзитивности F G, G H ├ F H Правило сечения F (G H), G ├ F H Доказательство и другие примеры – см. Новиков Ф. А. Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 5 Исчисление предикатов (ИП) (чистое, узкое, 1 -го порядка) Алфавит: см. ЛП Формула: см. ЛП Аксиомы (схемы): F 1 (F 2 F 1) (F 1 F 2) ((F 1 (F 2 F 3)) (F 1 F 2) F 1 (F 1 F 2) F 2 (F 1 F 2) ((F 1 F 3) (F 1 (F 2 F 3))) F 1 (F 1 F 2) F 1 (F 2 F 1) (F 1 F 3) ((F 2 F 3) ((F 1 F 2) F 3)) (F 1 F 2) ((F 1 7 F 2) 7 F 1) 77 F 1 x. F(x) F(y) x. F(x) (аксиомы Бернайса) Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 5 Исчисление предикатов Правила вывода – Правило MP. – Правило обобщения: если F G(x) выводима, то F x G(x) выводима. – Правило конкретизации: если G(x) F выводима, то x G(x) F выводима, где формула F не содержит переменной x. – (Правило переименования связанной переменной). Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 5 Исчисление предикатов Теорема. (ослабленная теорема о дедукции) Γ, H ├ F и существует вывод, построенный с применением только правила MP Γ ├ H F. Общезначимая формула Проверьте, что схемы аксиом ИП суть общезначимые формулы! Теорема (о полноте). ├ F ╞ F. Теорема. ИП неразрешимо. Теорема. ИП непротиворечиво. Теорема. Схемы аксиом ИП независимы. Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 6 Автоматическое доказательство теорем (АДТ) АДТ – краеугольный камень логического программирования, искусственного интеллекта и других современных направлений в программировании Изученные ранее исчисления представляют собой естественные формализации правил логики. Но для более глубокого изучения самого понятия доказательства более удобными являются другие формы исчислений. Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 6 Автоматическое доказательство теорем Алгоритм, который проверяет отношение H 1, H 2, …, Hk ├Т F, где H 1, H 2, …, Hk – гипотезы, F – некоторая формула теории Т, называется алгоритмом автоматического доказательства теорем. ? F 1, F 2, …, Fk ├ F Для простых формальных теорий, например, ИВ, такие алгоритмы известны. Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 6 Автоматическое доказательство теорем Первые попытки применить в программировании развитые логические исчисления и методы формализации были предприняты в начале 50 -х годов 20 -го века. Первые теоремы, доказанные компьютером, – теоремы формализованного исчисления высказываний (1957 г. ). Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 6 Автоматическое доказательство теорем Ньюэлл, Саймон, Шоу «Логик-теоретик» IBM-704 Аксиоматизация Рассела-Уайтхеда Повышение эффективности процесса вывода – центральная проблема всех автоматизированных систем дедуктивного вывода Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 6 Автоматическое доказательство теорем Исследования по проблеме машинного поиска велись и в Советском Союзе Шанин первая половина 60 -х годов «Урал-4» Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 7 Метод резолюций в ИВ Метод резолюций был разработан американским ученым Робинсоном (1965 г. ). Метод способствовал значительному прогрессу в АДТ. Корни метода лежат в исследованиях французского логика Эрбрана (20 -30 -е г. г. 20 в. ). Теорема Эрбрана является теоретической основой современных машинных методов поиска доказательства в ИП. Один из таких методов основан на исчислении резольвент. Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 7 Метод резолюций в ИВ Результат Эрбрана сводит вопрос о доказуемости произвольной формулы к вопросу о доказуемости формулы из некоторой эффективно порождаемой последовательности бескванторных формул. В 1960 г. эрбрановский алгоритм был реализован на ЭВМ, но полученные программы были малоэффективны. Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 7 Метод резолюций в ИВ Исчисления резольвент Используются для поиска вывода в ИВ и ИП Рассмотрим дизъюнкты D=D 1 X и B=B 1 7 X. Резольвентой D и B по литере X называется выражение D 1 B 1. Обозначается res(D, B). По определению res(X, 7 X)=? Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 7 Метод резолюций в ИВ Можно доказать, что если res(D, B) существует, то D, B╞ res(D, B). Правило МР является частным случаем правила резолюций. Последнее представляет собой очень мощное правило вывода. Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 7 Метод резолюций в ИВ Последовательность формул F 1, F 2, . . . , Fm называется резолютивным выводом из множества дизъюнктов ={H 1, H 2, …, Hk}, если каждая Fi или принадлежит или является резольвентой предыдущих формул. Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 7 Метод резолюций в ИВ Теорема (о полноте метода резолюций). Множество дизъюнктов ={H 1, H 2, …, Hk} противоречиво существует резолютивный вывод из , оканчивающийся 0 (тождественно ложной формулой). Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 7 Метод резолюций в ИВ Для установления логической выводимости F 1, F 2, . . . , Fm ╞ H используется цепочка эквивалентных утверждений: F 1, F 2, . . . , Fm ├ H F 1, F 2, . . . , Fm ╞ H F 1, F 2, . . . , Fm, 7 H ╞ F 1 F 2 . . . Fm 7 H ╞ Каждая из формул F 1, F 2, . . . , Fm, 7 H записывается в виде КНФ, после чего выражение F 1 F 2 . . . Fm 7 H превращается в D 1 D 2 . . . Dk. Тогда F 1 F 2 . . . Fm 7 H ╞ D 1 D 2 . . . Dk╞ D 1, D 2, . . . , Dk╞ Полученный набор дизъюнктов {D 1, D 2, . . . , Dk} анализируется на противоречивость построением резольвент. Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 7 Метод резолюций в ИВ Пример. Проверить методом резолюций соотношение X (Y Z), (Z T) E, 7 C (T 7 E) ├ X (Y C) X (Y Z), (Z T) E, 7 C (T 7 E), 7(X (Y C))├ F 1 7 X 7 Y Z F 2 7 Z 7 T E F 3 C (T 7 E) (C T) (C 7 E) 7 F 4 X Y 7 C 7 X 7 Y Z, 7 Z 7 T E, (C T) (C 7 E), X Y 7 C ├ 7 X 7 Y Z, 7 Z 7 T E, C T, C 7 E, X, Y, 7 C ├ Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 7 Метод резолюций в ИВ В общем случае метод резолюций неэффективен, т. к. количество переборов, которые необходимо сделать для получения ответа, экспоненциально зависит от количества информации, содержащейся в множестве дизъюнктов. Однако для некоторых классов дизъюнктов, к которым относится класс хорновских дизъюнктов, метод резолюций эффективен. Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 7 Метод резолюций в ИВ Дизъюнкт D называется хорновским, если он содержит не более одной позитивной литеры, т. е. имеет вид 7 X 1 7 X 2. . . 7 Xn или 7 X 1 7 X 2. . . 7 Xn Y. Дизъюнкт D=X называется унитарным позитивным дизъюнктом. Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 7 Метод резолюций в ИВ Алгоритм проверки невыполнимости множества хорновских дизъюнктов S 1. Выбираем в S унитарный позитивный дизъюнкт X и содержащий его отрицание 7 X дизъюнкт D. 2. Вычисляем res(D, X) и заменяем S на (S{D}) {res(D, X)}. 3. Проверяем, есть ли в S 0. Если да, завершаем работы с выводом «S (исходное) противоречиво» , если нет – возвращаемся к 1, пока это возможно. 4. Если 0 так и не встретился и подходящих дизъюнктов D и X уже не осталось, делаем вывод, что исходный набор S был непротиворечив. Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 7 Метод резолюций в ИВ Вычисления удобно оформлять в виде таблицы, подчеркивая дизъюнкты, используемые на данном шаге. Пример. Установите, противоречиво ли множество { P 7 R 7 T, Q, R, T 7 R 7 P, T 7 Q, 7 P 7 Q 7 R }. Все дизъюнкты – хорновские. Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 7 Метод резолюций в ИВ P 7 R 7 T Q R T 7 R 7 P T 7 Q P 7 R 7 T Q R T 7 R 7 P T 7 P 7 Q 7 R 7 P 7 R P 7 T Q R T 7 P P Q R T T 0 Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 8 Метод резолюций в ИП Метод резолюций работает с особой стандартной формул, которые называются предложениями. Предложение – бескванторный дизъюнкт. Работать с формулами, содержащими кванторы гораздо труднее, чем с бескванторными. Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 8 Метод резолюций в ИП Преобразование формулы ИП в множество предложений осуществляется по схеме: элиминация импликации протаскивание отрицаний разделение связанных переменных приведение к предваренной форме элиминация кванторов существования (сколемизация) элиминация кванторов общности приведение к КНФ элиминация конъюнкции Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 8 Метод резолюций в ИП Сколемизация (Скулем) x 1 K 2 x 2…Knxn. F(x 1, x 2, …, xn) K 2 x 2…Knxn. F(a 1, x 2, …, xn) x 1 x 2… xi-1 xi. Ki+1 xi+1…Knxn. F(x 1, x 2, …, xi-1, xi , …, xn) x 1 x 2… xi-1 Ki+1 xi+1…Knxn. F(x 1, x 2, …, f(x 1, x 2, …, xi-1), xi+1, …, xn) Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 8 Метод резолюций в ИП Требуется понятие унификатора. В ИП метод резолюций является частичным алгоритмом автоматического доказательства теорем. Львиная доля вычислений приходится на поиск унифицируемых предложений. Вернуться к плану

4. Логические исчисления 4. 8 Метод резолюций в ИП Метод резолюций служит основой языков логического программирования. Для машинной реализации поиска доказуемости тождественной лжи в ИР используются различные детерминированные способы последовательного преобразования списка формул так, чтобы все доказуемые списки были получены при таких преобразованиях. Такие способы носят название стратегий поиска. Вернуться к плану

Контрольные вопросы для самопроверки по разделу «Логические исчисления» 1. Что понимают под формальным исчислением? 2. Что значит «формула выводима в исчислении» ? 3. Укажите, каков алфавит исчисления высказываний, как определяется понятие формулы ИВ. 4. Перечислите схемы аксиом ИВ. 5. Каким основным правилом вывода пользуются в ИВ? Что такое производные правила вывода? Какие из них Вам известны? 6. Сформулируйте определение формулы, выводимой из множества гипотез. 7. Сформулируйте теорему дедукции и ее следствие. 8. Является ли ИВ разрешимой теорией? 9. Сформулируйте теорему о полноте ИВ. 10. Является ли ИВ непротиворечивой теорией? Вернуться к плану

Контрольные вопросы для самопроверки по разделу «Логические исчисления» 11. Какая аксиома называется независимой? 12. Независим ли перечень схем аксиом ИВ? 13. Укажите, каков алфавит исчисления предикатов. 14. Что называется формулой ИП? 15. Перечислите схемы аксиом ИП. 16. Перечислите правила вывода, используемые в ИП. 17. Является ли ИП разрешимой теорией? 18. Что Вы можете сказать о полноте и непротиворечивости ИП? 19. Сформулируйте теорему Геделя. 20. В чем суть аксиоматического подхода к построению математической теории? Вернуться к плану