Электромагнитные колебания и волны RLC-контур Свободные колебания

Электромагнитные колебания и волны

RLC-контур. Свободные колебания n В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания. Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC-контур

RLC-контур

n Закон Ома для замкнутой RLC-цепи, не содержащей внешнего источника тока, записывается в виде: где – напряжение на конденсаторе, q – заряд конденсатора, – ток в цепи, - ЭДС самоиндукции

Уравнение, описывающее свободные колебания в RLC-контуре. Если в качестве переменной величины выбрать заряд конденсатора q (t), то Если R = 0 где собственная частота свободных колебаний Решение: В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими.

Иллюстрация аналогии процессов свободных электрических и механических колебаний.

Закон сохранения энергии n При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии Wэ, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию Wм катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается неизменной:

Затухающие колебания n Все реальные контуры содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в джоулево тепло, и колебания становятся затухающими.

Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания Физическая величина δ = R / 2 L называется коэффициентом затухания. Решением этого дифференциального уравнения является функция: Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура. Интервал времени = 1/ в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2, 7 раза, называется временем затухания.

Добротность n Добротности Q любой колебательной системы, способной совершать свободные колебания, может быть дано энергетическое определение: Для RLC-контура добротность Q выражается формулой

Вынужденные колебания n n Процессы, возникающие в электрических цепях под действием внешнего периодического источника тока, называются вынужденными колебаниями. Если частота ω0 свободных колебаний определяется параметрами электрической цепи, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешнего источника.

RLC-цепь с внешним периодическим источником тока E e (t) = 0 cos ωt, где 0 – амплитуда, ω – круговая частота. E Закон Ома для мгновенных значений токов и напряжений: - ЭДС самоиндукции катушки (напряжение на катушке индуктивности)

Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде E u. R + u. C + u. L = e (t) = 0 cos ωt, где u. R (t), u. C (t) и u. L (t) – мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Амплитуды этих напряжений обозначают буквами UR, UC и UL Рассмотрим по отдельности случаи подключения внешнего источника переменного тока к резистору с сопротивлением R, конденсатору с емкостью C и катушки с индуктивностью L.

1. Резистор в цепи переменного тока IR - амплитуда тока, протекающего через резистор. Связь между амплитудами тока и напряжения на резисторе выражается соотношением: n n Фазовый сдвиг между током и напряжением на резисторе равен нулю. Физическая величина R называется активным сопротивлением резистора.

2. Конденсатор в цепи переменного тока n n n Соотношение между амплитудами тока IC и напряжения UC: Ток опережает по фазе напряжение на угол /2 Физическая величина называется емкостным сопротивлением конденсатора.

3. Катушка в цепи переменного тока n n n Соотношение между амплитудами тока IL и напряжения UL: Ток отстает по фазе от напряжения на угол /2 Физическая величина XL = ωL называется индуктивным сопротивлением катушки.

Векторная диаграмму для последовательного RLC-контура, в котором происходят вынужденные колебания на частоте ω. Для случая, когда или , напряжение внешнего источника опережает по фазе ток, текущий в цепи, на некоторый угол φ. Амплитуда тока принимает максимальное значение при условии

Электрический резонанс n Явление возрастания амплитуды колебаний тока при совпадении частоты ω колебаний внешнего источника с собственной частотой ω0 электрической цепи называется электрическим резонансом. При резонансе: n Сдвиг фаз φ между приложенным напряжением и током в цепи при резонансе обращается в нуль. Резонанс в последовательной RLC-цепи называется резонансом напряжений (последовательным резонансом).

С помощью векторной диаграммы можно исследовать явление резонанса при параллельном соединении элементов R, L и C (так называемый резонанс токов). При последовательном резонансе (ω = ω0) амплитуды UC и UL напряжений на конденсаторе и катушке резко возрастают: Добротность При резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке в Q раз превышают амплитуду напряжения внешнего источника.

Резонансные кривые для контуров с различными значениями добротности Q

Электромагнитные волны n n Максвелл ввел в физику понятие вихревого электрического поля и предложил новую трактовку закона электромагнитной индукции, открытой Фарадеем в 1831 г. Всякое изменение магнитного поля порождает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, силовые линии которого замкнуты. Максвелл высказал гипотезу о существовании и обратного процесса: Изменяющееся во времени электрическое поле порождает в окружающем пространстве магнитное поле.

Иллюстрация взаимного превращение электрического и магнитного полей.

Дифференциальное уравнение электромагнитной волны n n Одним из важнейших следствий уравнений Максвелла является существование электромагнитных волн. Для однородной и изотропной среды вдали от зарядов и токов векторы напряженностей E и H переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению: Где - оператор Лапласа; - фазовая скорость

Электромагнитные волны n Электромагнитные волны поперечны – векторы и перпендикулярны другу и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны:

n Электромагнитные волны распространяются в веществе с конечной скоростью: Здесь ε и μ – диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества, ε 0 и μ 0 – электрическая и магнитная постоянные: ε 0 = 8, 85419· 10– 12 Ф/м, μ 0 = 1, 25664· 10– 6 Гн/м. n Длина волны λ в синусоидальной волне свявзана со скоростью υ распространения волны соотношением λ = υT = υ / f, где f – частота колебаний электромагнитного поля, T = 1 / f. n Скорость электромагнитных волн в вакууме (ε = μ = 1):

n В электромагнитной волне происходят взаимные превращения электрического и магнитного полей. Эти процессы идут одновременно, и электрическое и магнитное поля выступают как равноправные «партнеры» . Поэтому объемные плотности электрической и магнитной энергии равны другу: wэ = wм. n Отсюда следует, что в электромагнитной волне модули индукции магнитного поля и напряженности электрического поля в каждой точке пространства связаны соотношением

Плотность энергии электромагнитного поля n Электромагнитные волны переносят энергию. При распространении волн возникает поток электромагнитной энергии. Если выделить площадку S , ориентированную перпендикулярно направлению распространения волны, то за малое время Δt через площадку протечет энергия W, равная: W = (wэ + wм)υSΔt. n n Плотностью потока или интенсивностью S называют электромагнитную энергию, переносимую волной за единицу времени через поверхность единичной площади: S=Wυ = EH Поток энергии в электромагнитной волне можно задавать с помощью вектора S направление которого совпадает с направлением распространения волны, а модуль равен EH. Этот вектор называют вектором Пойнтинга.

Давление и импульс электромагнитных волн n n Из теории Максвелла следует, что электромагнитные волны должны оказывать давление на поглощающее или отражающее тело. Существование давления электромагнитных волн позволяет сделать вывод о том, что электромагнитному полю присущ механический импульс. Импульс электромагнитного поля в единичном объеме выражается через энергию соотношением:

Спектр электромагнитного излучения