ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ Лекция Расчет электростатических полей в вакууме

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ Лекция «Расчет электростатических полей в вакууме»

Характеристики заряженных макротел Для характеристики (непрерывного) распределения заряда для макротел удобно пользоваться понятиями объемной [Кл/м 3], поверхностной [Кл/м 2] и линейной [Кл/м] плотности заряда:

Расчет характеристик ЭП макротел в точке А в вакууме: случай 1, 2 Точка А лежит на продолжении оси стержня, на расстоянии а от его ближайшего конца Для конечного стрежня Для полубесконечно длинного стрежня

Расчет характеристик ЭП макротел в точке А в вакууме: случай 3 Точка А лежит на перпендикуляре к середине конечного равномерно заряженного стержня длины l на расстоянии а от него

Расчет характеристик ЭП макротел в точке А в вакууме: случай 4 Точка А лежит на перпендикуляре к середине бесконечного равномерно заряженного стержня на расстоянии а от него

( ). Расчет характеристик ЭП макротел в точках А и В в вакууме: случай 5 Точка А лежит в центре квадрата из согнутого равномерно заряженного стержня в виде, точка В лежит на перпендикуляре, восстановленном из середины одной из сторон на расстоянии а от нее В точке А напряженность ЭП в силу симметрии равна нулю. Потенциал в точке А в силу симметрии по умноженной на восемь формуле предыдущего случая

( ). Расчет характеристик ЭП макротел в точках А и В в вакууме: случай 5 Точка А лежит в центре квадрата из согнутого равномерно заряженного стержня в виде, точка В лежит на перпендикуляре, восстановленном из середины одной из сторон на расстоянии а от нее В точке В напряженность находится по принципу векторного сложения напряженностей ЭП, создаваемых каждым из стержней 1 и 3 отдельно, согласно изложенной выше методике (см. рис. 2, случай 3); для стержней 2 и 4 суммируются только составляющие вдоль направления АВ, составляющие же напряженности, расположенные перпендикулярно направлению АВ, компенсируют друга в силу симметрии расположения стержней 2 и 4. Далее суммируем полученные для всех стержней результаты вдоль направления АВ. Потенциал находится как алгебраическая сумма потенциалов, создаваемых каждым из стержней 1, 2, 3, 4 по формуле как для конечного стрежня (предыдущий случай – случай 3) с учетом соответствующих углов (пределов интегрирования).

Расчет характеристик ЭП макротел в точке А в вакууме: случай 6 Точка А лежит в центре кривизны дуги радиусом R из равномерно заряженной тонкая нить, длина нити 1/n от длины окружности В силу симметрии векторная сумма (интеграл) всех составляющих будет равна нулю

Расчет характеристик ЭП макротел в точке А в вакууме: случай 7 Точка А лежит на перпендикуляре к центру кольца, на расстоянии а от его плоскости Аналогично случаю 3 (4) и в силу симметрии для напряженности находим лишь интеграл В силу симметрии векторная сумма (интеграл) всех составляющих будет равна нулю

Расчет характеристик ЭП макротел в точке А в вакууме: случай 8 Круглая равномерно заряженная пластина радиуса R, точка А лежит на прямой, перпендикулярной к плоскости пластинки и проходящей через ее центр В силу симметрии векторная сумма (интеграл) всех составляющих напряженности по Ох равна нулю, поэтому интегрируем составляющую по Оу

Расчет характеристик ЭП макротел в точке А в вакууме: случай 8 Круглая равномерно заряженная пластина радиуса R, точка А лежит на прямой, перпендикулярной к плоскости пластинки и проходящей через ее центр

Теорема Остроградского-Гаусса Потоком вектора Е называется произведение Вычисление напряженности и потенциала электростатического поля заряженных макротел, проведенное выше с помощью интегралов, в ряде случаев может быть заменено на более простое вычисление тех же характеристик с помощью теоремы Остроградского-Гаусса. Теорема Остроградского–Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме охватываемых поверхностью зарядов, деленной на электрическую постоянную ε 0

Расчет характеристик ЭП макротел с помощью теоремы Остроградского. Гаусса: случай 1 Случай бесконечного равномерно заряженного тонкого стержня (нити, проволоки, цилиндра радиусом R). Замкнутой поверхностью простейшей формы, охватывающей все заряженное тело, является цилиндр радиуса r>R.

Расчет характеристик ЭП макротел с помощью теоремы Остроградского-Гаусса: случай 2 (3) Случай бесконечной равномерно заряженной плоскости или пластины (двух пластин – конденсатора). Замкнутой поверхностью простейшей формы, охватывающей всю плоскость, является параллелепипед с основанием «плоскость» и высотой Для поля между пластин – потенциал самой плоскости.

Расчет характеристик ЭП макротел с помощью теоремы Остроградского-Гаусса: случай 4, 5 4. Случай равномерно заряженного по объему шара радиуса R (суммарный заряд Q). Замкнутой поверхностью простейшей формы, охватывающей весь шар, является сфера радиусом r≥R (1) (2) 5. Случай равномерно заряженной по поверхности сферы радиусом R (суммарный заряд Q). Замкнутой поверхностью простейшей формы, охватывающей всю сферу, является сфера радиусом r≥R. Для поля вне сферы справедлива формула (1). Внутри сферы напряженность ЭП равна нулю, так как нет охватываемых поверхностью электрических зарядов.

Графики зависимости характеристик ЭП для различных геометрий а) б); плоскость пара одинаковых плоскостей в); цилиндр г); сфера д) шар Графики зависимости напряженности ЭП (вверху) и потенциала (внизу) от координат для равномерно заряженных макротел (проводников)

Благодарю за внимание