Электрические цепи постоянного тока Методы анализа линейных электрических

Электрические цепи постоянного тока Методы анализа линейных электрических цепей постоянного тока

Метод контурных токов сводится к составлению и решению системы уравнений, получаемых по второму закону Кирхгофа применительно к понятиям контурных токов, сопротивлений и ЭДС

Пример электрической цепи

Система уравнений для данной цепи по законам Кирхгофа n I 1 - I 2 - Iз = 0; n R 1 I 1 + R 3 I 3 = E 1 – E 3; n R 2 I 2 - R 3 I 3 = E 3 – E 2. n Подставим I других: 3 из первого уравнения в два

Система контурных токов для данной цепи n R 11 II + R 12 III = EI; n R 21 II + R 22 III = EII, где контурные ЭДС: EI = E 1 – E 3; ЕII = Е 3 - Е 2; II , III - контурные токи; n II=I 1; III =I 2 n I 3 = II - III Собственные Сопротивления контуров: R 11=R 1+R 3; R 22=R 2 + R 3. n Взаимное сопротивление контуров: R 12 = R 21 = — R 3

Система контурных уравнений (Общий случай) R 11 II + R 12 III +…. + R 1 к Iк + …+ R 1 n In = EI R 21 II + R 22 III +…. + R 2 к Iк + …+ R 2 n In = EII –————— Rк 1 II + Rк 2 III +…. + Rкк Iк + …+ Rкn In = Eк –————— Rn 1 II + Rn 2 III +…. + Rnк Iк + …+ Rnn In = En, где Rk— собственные сопротивления k-го контура; Rki - взаимные сопротивления k-го и i-го контуров; Ek - контурная ЭДС k-го контура.

Контурный ток

Порядок расчета электрических цепей методом контурных токов n выбрать независимые контуры цепи и указать n n положительные направления контурных токов Ik; вычислить собственные Rkk и взаимные Rik сопротивления контуров, а также контурные ЭДС Ek; составить систему уравнений контурных токов по второму закону Кирхгофа; решить полученную систему уравнений, определив контурные токи Ik; определить токи I 1, I 2. . . в ветвях.

Рекомендации по применению метода контурных токов n Метод контурных токов целесообразно применять для расчетов таких цепей, у которых число независимых контуров не более числа узлов (п = у). n Если схема содержит источник тока, то рекомендуется предварительная их замена эквивалентными источниками ЭДС.

Метод наложения (суперпозиции) n Ток в любой ветви линейной электрической цепи, содержащей несколько источников ЭДС, равен алгебраической сумме токов в этой ветви при действии каждого источника в отдельности.

Метод наложения n При этом остальные источники заменяются резисторами, имеющими сопротивления, равные внутренним сопротивлениям замененных источников ЭДС. n Справедливость этого принципа следует непосредственно из

Метод наложения n Метод наложения позволяет найти токи в ветвях без составления и решения системы уравнений, а непосредственно по закону Ома. n Сначала находят частичные токи от действия каждого источника ЭДС в отдельности, принимая остальные ЭДС равными нулю и оставляя в схеме только их внутренние сопротивления, а затем — действительные токи как алгебраические суммы частичных токов.

Метод наложения (пример)

Метод наложения (пример) Напряжение между точками 1 и 2: n Частичный ток в ветви 2 от ЭДС 1: I 2' = U 12/(R 2+r 2) n Действительный ток u. Частичный ток от ЭДС 2: в ветви 2: n I 2 = I'2 – I″ 2

Рекомендации по применению метода наложения n Метод наложения удобно применять, когда вспомогательные схемы принимают простой вид и их расчет не представляет трудностей. n Применение этого метода нецелесообразно при расчете схем с большим числом источников.

Метод эквивалентного генератора n Метод эквивалентного генератора основан на теореме об эквивалентном генераторе напряжения: ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если остальную часть цепи заменить эквивалентным источником напряжения, ЭДС которого равна напряжению на зажимах разомкнутой ветви, а сопротивление этой части цепи равно сопротивлению между точками разрыва при условии, что источники ЭДС и тока заменены их внутренними сопротивлениями.

Метод эквивалентного генератора n Заменив эквивалентный источник напряжения источником тока, получим эквивалентный источник тока, для которого справедлива теорема об эквивалентном генераторе тока. n Метод эквивалентного генератора особенно удобно применять тогда, когда требуется найти ток в одной из ветвей электрической цепи. Эта ветвь рассматривается как нагрузочное сопротивление, а вся остальная схема — как эквивалентный генератор.

Представление сложной электрической цепи (а) по методу эквивалентного генератора

Пример определения тока методом эквивалентного генератора

Метод узловых потенциалов (напряжений) n Сущность этого метода сводится к решению системы уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа; из этих уравнений определяют напряжения в узлах схемы электрической цепи относительно некоторого базисного узла, потенциал которого принимают равным нулю, а токи в ветвях, соединяющих узлы, находят по закону Ома.

Электрическая цепь для обоснования метода узловых потенциалов

Уравнения по первому закону Кирхгофа для незаземленных узлов где g 1, = l/R 1, g 2 = 1/R 2; g 3 = 1/R 3. Так как φ0 = 0, то

Метод узловых потенциалов n Принимая, g 11 = g 1 + g 3; n g 22= g 2 + g 3 и g 12 = g 2 l = g 3 получим:

Система уравнений для узловых потенциалов электрической цепи с (п + 1) узлами

Обозначения в системе уравнений для узловых потенциалов n gnn - собственная проводимость n-го узла, равная сумме проводимостей всех ветвей, соединенных с этим узлом ( всегда положительная); n gni — взаимная проводимость между n-м и i-м узлами, равная сумме проводимостей всех ветвей, соединяющих эти узлы, если цепь не содержит зависимых источников электрической энергии(всегда отрицательная);

Узловой ток n Jn — узловой ток n-го узла, равный алгебраической сумме токов источников тока, подсоединенных к n -му узлу; эти токи входят в сумму со знаком «плюс» , если они направлены к узлу, и со знаком «минус» , если направлены от узла.

Пояснения к методу узловых потенциалов n Если в схеме электрической цепи часть источников задана источниками ЭДС, то их необходимо заменить эквивалентными источниками тока. n Это можно сделать, не изменяя схему цепи: оставить в ветви с источником ЭДС все сопротивления и учесть, что между узлами этой ветви подсоединен источник тока, у которого ток равен произведению ЭДС на суммарную проводимость ветвей. n Решив систему узловых потенциалов, находят потенциалы узлов, а затем токи в ветвях по закону Ома.

Порядок расчета электрической цепи методом узловых потенциалов n принять потенциал одного из узлов равным нулю n n и пронумеровать по порядку (1, 2, 3, . . . ) остальные узлы; вычислить узловые токи J 1, J 2, . . . ; определить собственные и взаимные проводимости узлов; составить и решить систему уравнений узловых потенциалов; найти токи в ветвях, пользуясь законом Ома.

Пояснения к методу узловых потенциалов n Если какая-нибудь ветвь содержит идеальный источник ЭДС и, следовательно, напряжение между двумя узлами задано, целесообразно в качестве базисного узла выбрать один из узлов данной ветви. n В этом случае число неизвестных узловых напряжений и, стало быть, число узловых уравнений уменьшится на единицу.

Рекомендации по выбору метода метод узловых потенциалов n Если число независимых узлов (у — 1) в схеме цепи меньше числа независимых контуров, то для ее расчета целесообразно использовать метод узловых потенциалов, при этом все источники ЭДС следует преобразовать в эквивалентные источники тока.