ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА 2 Законы электрических цепей

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА 2. Законы электрических цепей 3. Методы расчета 1

Закон Ома для участка цепи без источника ЭДС утверждает, что ток I на участке цепи равен отношению напряжения U на этом участке к активному сопротивлению R этого участка: I = U/R или I = g·U, где g =1/R - проводимость этого участка. 2

Закон Ома для замкнутой цепи Ток в неразветвленной замкнутой цепи равен отношению алгебраической суммы ЭДС к сумме всех сопротивлений цепи: I = ∑ E k / ∑ Rs + ∑ rk 3

Закон Ома для замкнутой цепи I =(E 1 – E 2) / (R 1 + R 2 + r 1 + r 2) 4

Первый закон Кирхгофа Алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю, т. е. ∑I k = 0. 5

Пример для первого закона Кирхгофа I 1 – I 2 – I 3 – I 4 = 0. 6

Первый закон Кирхгофа • Первый закон Кирхгофа — это следствие закона сохранения количества электричества: заряд, приходящий к узлу за некоторый интервал времени, равен заряду, уходящему за этот же интервал времени от узла, т. е. электрический заряд в узле не накапливается и не исчезает; • Этот закон справедлив для любой части, выделенной из электрической цепи. 7

Второй закон Кирхгофа Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в любом контуре разветвленной электрической цепи, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех активных сопротивлениях этого контура: ∑ Eк = ∑ Rk ∙Ik. 8

Пример для второго закона Кирхгофа E 1 + E 2 – E 3 = – R 1∙I 1 – R 2∙ I 2 + R 3∙I 3. 9

Методика составления уравнений по второму закону Кирхгофа 1) задать направление обхода контура стрелкой внутри контура; 2) при алгебраическом суммировании брать со знаком «плюс» те ЭДС и падения напряжения, направления которых совпадают с направлением обхода, со знаком «минус» — те из них, которые направлены против. 10

Баланс мощностей в цепях постоянного тока Алгебраическая сумма мощностей, отдаваемых всеми источниками энергии Ei, в цепи, равна сумме мощностей, потребляемых, в ее элементах Rk ∑ Ei. Ii = ∑ Rk ∙ I²k. 11

Пример составления уравнения баланса мощностей: EI = r. I² + RI² , где E*I - мощность источника ЭДС (полная мощность); RI 2 мощность, потребляемая нагрузкой R; r. I 2 — мощность потерь в источнике ЭДС с внутренним сопротивлением r. 12

Метод контурных токов сводится к составлению и решению системы уравнений, получаемых по второму закону Кирхгофа применительно к понятиям контурных токов, сопротивлений и ЭДС. 13

Пример электрической цепи 14

Система уравнений для данной цепи по законам Кирхгофа • I 1 - I 2 - Iз = 0; • R 1 I 1 + R 3 I 3 = E 1 – E 3; • R 2 I 2 - R 3 I 3 = E 3 – E 2. Подставим I 3 из первого уравнения в два других: 15

Система контурных токов для данной цепи • R 11 II + R 12 III = EI; • R 21 II + R 22 III = EII, где контурные ЭДС: EI = E 1 – E 3; ЕII = Е 3 - Е 2; II , III - контурные токи; • II=I 1; III =I 2 • I 3 = II - III Собственные сопротивления контуров: R 11=R 1+R 3; R 22=R 2 + R 3. • Взаимное сопротивление контуров: R 12 = R 21 = — R 3 16

Система контурных уравнений (Общий случай) R 11 II + R 12 III +…. + R 1 к Iк + …+ R 1 n In = EI R 21 II + R 22 III +…. + R 2 к Iк + …+ R 2 n In = EII –————— Rк 1 II + Rк 2 III +…. + Rкк Iк + …+ Rкn In = Eк –————— Rn 1 II + Rn 2 III +…. + Rnк Iк + …+ Rnn In = En, где Rk— собственные сопротивления k-го контура; Rki - взаимные сопротивления k-го и i-го контуров; Ek - контурная ЭДС k-го контура. 17

Контурный ток 18

Порядок расчета электрических цепей методом контурных токов • выбрать независимые контуры цепи и указать положительные направления контурных токов Ik; • вычислить собственные Rkk и взаимные Rik сопротивления контуров, а также контурные ЭДС Ek; • составить систему уравнений контурных токов по второму закону Кирхгофа; • решить полученную систему уравнений, определив контурные токи Ik; • определить токи I 1, I 2. . . в ветвях. 19

Рекомендации по применению метода контурных токов • Метод контурных токов целесообразно применять для расчетов таких цепей, у которых число независимых контуров не более числа узлов (п = у). • Если схема содержит источник тока, то рекомендуется предварительная их замена эквивалентными источниками ЭДС. 20

Метод наложения (суперпозиции) • Ток в любой ветви линейной электрической цепи, содержащей несколько источников ЭДС, равен алгебраической сумме токов в этой ветви при действии каждого источника в отдельности. 21

Метод наложения • При этом остальные источники заменяются резисторами, имеющими сопротивления, равные внутренним сопротивлениям замененных источников ЭДС. • Справедливость этого принципа следует непосредственно из выражения: 22

Метод наложения • Метод наложения позволяет найти токи в ветвях без составления и решения системы уравнений, а непосредственно по закону Ома. • Сначала находят частичные токи от действия каждого источника ЭДС в отдельности, принимая остальные ЭДС равными нулю и оставляя в схеме только их внутренние сопротивления, а затем — действительные токи как алгебраические суммы частичных токов. 23

Метод наложения (пример) 24

Метод наложения (пример) Напряжение между точками 1 и 2: u. Частичный ток от ЭДС 2: • Частичный ток в ветви 2 от ЭДС 1: I 2' = U 12/(R 2+r 2) • Действительный ток в ветви 2: • I 2 = I'2 – I″ 2 25

Рекомендации по применению метода наложения • Метод наложения удобно применять, когда вспомогательные схемы принимают простой вид и их расчет не представляет трудностей. • Применение этого метода нецелесообразно при расчете схем с большим числом источников. 26

Метод эквивалентного генератора основан на теореме об эквивалентном генераторе напряжения: ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если остальную часть цепи заменить эквивалентным источником напряжения, ЭДС которого равна напряжению на зажимах разомкнутой ветви, а сопротивление этой части цепи равно сопротивлению между точками разрыва при условии, что источники ЭДС и тока заменены их внутренними сопротивлениями. 27

Метод эквивалентного генератора • Заменив эквивалентный источник напряжения источником тока, получим эквивалентный источник тока, для которого справедлива теорема об эквивалентном генераторе тока. • Метод эквивалентного генератора особенно удобно применять тогда, когда требуется найти ток в одной из ветвей электрической цепи. Эта ветвь рассматривается как нагрузочное сопротивление, а вся остальная схема — как эквивалентный генератор. 28

Представление сложной электрической цепи (а) по методу эквивалентного генератора 29

Пример определения тока методом эквивалентного генератора 30

Метод узловых потенциалов (напряжений) Сущность этого метода сводится к решению системы уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа; из этих уравнений определяют напряжения в узлах схемы электрической цепи относительно некоторого базисного узла, потенциал которого принимают равным нулю, а токи в ветвях, соединяющих узлы, находят по закону Ома. 31

Электрическая цепь для обоснования метода узловых потенциалов 32

Уравнения по первому закону Кирхгофа для незаземленных узлов где g 1, = l/R 1, g 2 = 1/R 2; g 3 = 1/R 3. Так как φ0 = 0, то: 33

Метод узловых потенциалов Принимая, g 11 = g 1 + g 3; g 22= g 2 + g 3 и g 12 = g 2 l = g 3 получим: 34

Система уравнений для узловых потенциалов электрической цепи с (п + 1) узлами 35

Обозначения в системе уравнений для узловых потенциалов • gnn - собственная проводимость n-го узла, равная сумме проводимостей всех ветвей, соединенных с этим узлом ( всегда положительная); • gni — взаимная проводимость между n-м и i-м узлами, равная сумме проводимостей всех ветвей, соединяющих эти узлы, если цепь не содержит зависимых источников электрической энергии(всегда отрицательная); 36

Узловой ток • Jn — узловой ток n-го узла, равный алгебраической сумме токов источников тока, подсоединенных к n -му узлу; эти токи входят в сумму со знаком «плюс» , если они направлены к узлу, и со знаком «минус» , если направлены от узла. 37

Пояснения к методу узловых потенциалов • Если в схеме электрической цепи часть источников задана источниками ЭДС, то их необходимо заменить эквивалентными источниками тока. • Это можно сделать, не изменяя схему цепи: оставить в ветви с источником ЭДС все сопротивления и учесть, что между узлами этой ветви подсоединен источник тока, у которого ток равен произведению ЭДС на суммарную проводимость ветвей. • Решив систему узловых потенциалов, находят потенциалы узлов, а затем токи в ветвях по закону Ома. 38

Порядок расчета электрической цепи методом узловых потенциалов • принять потенциал одного из узлов равным нулю и пронумеровать по порядку (1, 2, 3, . . . ) остальные узлы; • вычислить узловые токи J 1, J 2, . . . ; • определить собственные и взаимные проводимости узлов; • составить и решить систему уравнений узловых потенциалов; • найти токи в ветвях, пользуясь законом Ома. 39

Пояснения к методу узловых потенциалов • Если какая-нибудь ветвь содержит идеальный источник ЭДС и, следовательно, напряжение между двумя узлами задано, целесообразно в качестве базисного узла выбрать один из узлов данной ветви. • В этом случае число неизвестных узловых напряжений и, стало быть, число узловых уравнений уменьшится на единицу. 40

Рекомендации по выбору метода узловых потенциалов • Если число независимых узлов (у — 1) в схеме цепи меньше числа независимых контуров, то для ее расчета целесообразно использовать метод узловых потенциалов, при этом все источники ЭДС следует преобразовать в эквивалентные источники тока. 41

Спасибо за внимание! 42