ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНОЙ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНОЙ (ГАРМОНИЧЕСКОЙ) ФУНКЦИИ Fm Fср T T/2 -Fср - Fm t

ƒ(t)=Fmaxsinωt

Действующие значения гармонических токов и напряжений 4

Действующие значения тока и напряжения характеризуют тепловое действие в линейном резистивном элементе с сопротивлением R

Действующее значение гармонического тока i численно равно такому постоянному току I , который за время Т в том же сопротивлении R выделяет такое же количества тепла W

При токе и напряжении:

R i + u ПО ЗАКОНУ ДЖОУЛЯ – ЛЕНЦА: ПО ЗАКОНУ ОМА:

Действующее значение тока

Действующее значение напряжения

Действующие значения тока и напряжения не зависят от угловой частоты и начальной фазы

В результате

Где: - мгновенное значение - амплитудное значение (рад/с) - угловая частота (1/с) или (Гц) - циклическая частота

Векторная диаграмма - это изображение синусоиды в виде вектора в прямоугольной системе координат, длина которого равна амплитуде синусоиды, а угол поворота равен начальной фазе и отсчитывается от оси абсцисс против часовой стрелки. Волновая диаграмма - это развертка вращающегося вектора во времени.

Таким образом, любую синусоидальную функцию (ток, напряжение, мощность) можно отобразить в виде тригонометрической функции типа ƒ(t) =Fmaxsin(ωt ± ψƒ), графически в осях координат[ƒ(t) или ƒ(ωt)] или в виде вращающихся с круговой частотой (ω) векторов c длиной равной амплитуде функции

Совокупность векторов, вращающих с одинаковой частотой (ω), построенных в одних осях называются векторными диаграммами Проекции векторов на ось ординат равны мгновенным значениям функций U(t), I(t) ψU ψI ωt φ = ψU – ψI – угол сдвига между векторами напряжения и тока

Пример работы с векторными диаграммами Векторные диаграммы позволяют заменить арифметические действия с тригонометрическими функциями на работу с векторами i 2(t) i 1(t) i 3(t) ψ2 i 2= I 2 max sin (ωt+ψ2) i 3= I 3 max sin (ωt+ψ3) i 1 = i 2 + i 3 ψ1 ψ3 i 1 = I 1 max sin (ωt + ψ1)

Отображение синусоидальных величин символическим способом • Символический метод является основным и применяется для расчета линейных цепей с гармоническими токами и напряжениями. Этот метод основан на изображении гармонических функций комплексными числами

-1 Мнимая ось Комплексная плоскость. Комплексное изображение функции 0 +j в А • А α A – комплексное число (КЧ) a +1 Вещественна ось А = а + jв = А cos α + j A sin α -j j=

Алгебраическая форма записи КЧ А = А ( соs α + jsin α), где А – Модуль КЧ, α – аргумент КЧ А= α = arctg в/a a = А cos α - Вещественная часть КЧ в = j. А sin α – Мнимая часть КЧ

Комплексное изображение тока

Комплексное изображение напряжения где

Таким образом, любой синусоидальной величине (току или напряжению) соответствует комплекс ее действующего значения и наоборот Например: току соответствует

При этом, например, комплексу действующего значения напряжения соответствует синусоидальная функция времени

Действия с комплексными числами

Где: - комплексное число - модуль - аргумент (фаза) - вещественная составляющая - мнимая составляющая

1. Переход от алгебраической формы записи к показательной форме

2. Переход от показательной формы записи к алгебраической форме

3. Сложение и вычитание

4. Умножение

5. Деление

6. Возведение в степень

7. Некоторые соотношения

Действия с синусоидальными величинами

Рассмотрим действия с синусоидальными величинами, имеющими одинаковую угловую частоту

1. Сложение

Для определения используются: и

а) комплексные числа Þ определяются и

б) вектора на комплексной плоскости 0 +1 графически определяем Fи

2. Вычитание

Для определения используются: и

а) комплексные числа Þ определяются и

б) вектора на комплексной плоскости 0 +1 графически определяем Fи

3. Дифференцирование

В результате при имеем

Таким образом дифференцированию синусоидальной функции соответствует умножение изображающего ее комплекса на

4. Интегрирование

В результате при имеем

Таким образом интегрированию синусоидальной функции соответствует деление изображающего ее комплекса на