Электрические цепи переменного тока Способы изображения синусоидальных функций

Электрические цепи переменного тока Способы изображения синусоидальных функций времени

Синусоидальные функции времени могут быть представлены: - тригонометрической формой записи, - линейными диаграммами изменения синусоидальной величины во времени, - вращающимися векторами, - комплексными числами.

Рис. 1

Тригонометрическая форма записи синусоидально изменяющейся во времени величины в общем виде представляется выражением Где a – мгновенное значение синусоидальной функции времени; Аm – амплитудное значение синусоидальной функции времени; ω – угловая или круговая частота, характеризующая скорость изменения фазового угла ω=dα/dt; t –текущее значение времени; α = (ωt+ψ) – фаза или фазовый угол (аргумент синусоидальной функции времени); ψ – начальная фаза (начальный фазовый угол) (рис. 1, а).

В соответствии с выражением для мгновенного значения синусоидальная функция времени во многих случаях изображается в виде линейной диаграммы – графика изменения соответствующей синусоидальной функции от времени (от угла ωt) (рис. 1, б). Период изменяющейся во времени синусоидальной величины Т= 1/f [f – частота синусоидально изменяющейся во времени величины (число периодов в секунду), а ω=2πf]. В электротехнике кроме мгновенных и максимальных значений переменных синусоидальных величин используются действующие и средние значения.

Действующие значения синусоидально изменяющейся ЭДС, напряжений и токов записывают соответственно в виде выражений: Е = Em/√ 2 = 0, 707 Em; U = Um/√ 2 = 0, 707 Um; I = Im/√ 2 = 0, 707 Im. Соответственно, средние значения синусоидально изменяющихся ЭДС, напряжений и токов: Ecp = 2 E/π = 0, 637 Em; Ucp = 2 Um/π= 0, 637 Um; Iср = 2 Im/π = 0, 637 Im

Синусоидальная функция времени изображается также вращающимся вектором (рис. 1, а). Длина вращающегося радиуса-вектора равна амплитуде Ат синусоидальной функции времени, угол между вращающимся вектором и осью абсцисс для момента времени t=0 представляет начальную фазу ψ синусоидальной величины, причем ψ может быть как больше так и меньше нуля. Проекция вращающегося радиуса-вектора на ось ординат определяет мгновенное значение синусоидальной величины. В электротехнике за положительное направление вращения векторов принято направление против хода часовых стрелок.

Синусоидальные функции времени изображаются также комплексными числами. При этом на плоскости комплексных чисел (рис. 2) из начала координат под углом ψ к оси действительных чисел (вещественной оси) проводят вектор Ат, концу которого соответствует определенное комплексное число. Рис. 2

Комплексная амплитуда синусоидальных величин определяется выражением Ām=Amejψ (где е – основание натурального логарифма). Для действующих значений синусоидальных величин это выражение преобразуется к виду: Ā= Aejψ. С увеличением времени фаза a=(ωt+ψ) синусоидальной величины возрастает, при этом угол между радиусомвектором и осью действительных величин увеличивается, радиус-вектор поворачивается на соответствующий угол против хода часовых стрелок. Для момента времени t 1 (рис. 1, б) комплексная амплитуда а действующее значение

Комплексное число представляет собой сумму действительной и мнимой частей: Ā = A'+j. A" = ReĀ+j ImĀ , где А' — вещественная (действительная) часть комплексного числа; j. A" — мнимая часть комплексного числа

Комплексные числа A'±j. A" и A 1'±j. A 1" считаются равными, если их действительные и мнимые части равны (А'= A 1'; ±j. A" = ±j. A 1"). В выражении комплексного числа фигурирует также символ j=√-1 – мнимая единица, с помощью которого из комплексного числа выделяется его мнимая составляющая. Умножение вектора А на множитель j соответствует повороту его на угол, равный π/2 в положительном направлении (против хода часовой стрелки), а умножение на –j – повороту в отрицательном направлении (по ходу часовой стрелки).

Модуль комплексного числа: а его аргумент Используют три формы записи комплексных чисел. ,

Алгебраическая (координатная) форма записи комплексного числа: А = А'+j. А". Сопряженное ему комплексное число имеет противоположный знак при мнимой части: A*=A'-j. A". При этом произведение сопряженных комплексных чисел АА* = А 2 оказывается равным квадрату модуля комплексного числа. При отсутствии мнимой части комплексного числа: A=A'+j 0=A'. При отсутствии действительной части комплексного числа: A=0±j. A" = ± j. A. Следует заметить, что алгебраическая форма – более удобная форма записи комплексных чисел при их сложении и вычитании.

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел является производной алгебраической формы с учетом того, что cos ψ = А'/А, sin ψ = A"/A; Ā=A(cos ψ+j sin ψ). Тригонометрическая форма записи комплексных чисел наиболее удобна при переходе к алгебраической форме записи от показательной.

Показательная форма записи комплексных чисел является производной от тригонометрической с учетом того, что в соответствии с формулой Эйлера (cos ψ +jsin ψ) = ejψ, Ā = Aеjψ, где еjψ – поворотный множитель (показывает, что вектор повернут относительно вещественной оси в положительном направлении на угол ψ). Поворотные множители j и еjψ могут быть записаны в следующем виде: j = √-1; jj = j 2 = -1; 1/j = -j/j(-j) = -j; 1/-j = j.

При ψ = ±π/2 в соответствии с формулой Эйлера поэтому Показательная форма записи комплексных чисел оказывается более удобной формой записи при умножении, делении, извлечении корней, логарифмировании комплексных чисел.

Таблица 1 – Переход от записи мгновенных значений синусоидальных функций времени к показательной, тригонометрической и алгебраической формам записи комплексных чисел. (максимальное значение ЭДС Em = 84, 6 В, действующее ее значение Е= Em /√ 2 = 84, 6/√ 2 = 60 В).

Метод комплексных чисел При расчетах электрических цепей переменного тока широко применяется метод комплексных чисел, позволяющий графические операции над векторами заменить алгебраическими действиями над комплексными числами. При использовании комплексных чисел методы расчета электрических цепей переменного тока аналогичны методам расчета электрических цепей постоянного тока. Записи соответствующих уравнений, составленных по законам Ома и законам Кирхгофа, одинаковы по форме для электрических цепей однофазного переменного и постоянного токов.

При этом в уравнениях, записанных для электрических цепей переменного тока, токи Ī, напряжения Ū, ЭДС Ē, сопротивления , проводимости , мощности записывают в комплексной форме. С учетом этого математическое выражение закона Ома в комплексной форме приводят к виду: Математическое выражение первого закона Кирхгофа в комплексной форме:

В соответствии с этим алгебраическая сумма комплексных токов, сходящихся в узле разветвления электрической цепи, равна нулю. Математическое выражение второго закона Кирхгофа в комплексной форме: Согласно этому уравнению, алгебраическая сумма комплексных ЭДС в любом замкнутом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме комплексных напряжений и алгебраической сумме комплексных падений напряжений в этом контуре.

При расчете электрических цепей по методу комплексных чисел оперируют с этими числами. Алгебраические действия над комплексными числами сводятся к сложению, вычитанию, умножению и делению комплексных чисел: Сложение комплексных чисел Вычитание комплексных чисел

Умножение комплексных чисел Деление комплексных чисел

Линейные электрические цепи с последовательным соединением элементов

Отношение комплексных амплитуд напряжения и тока на входе двухполюсника называется его комплексным входным сопротивлением Учитывая, что и получаем Отношение – полное входное сопротивление (модуль); ψU – ψi – сдвиг фаз между напряжением и током. Как всякое комплексное число, комплексное сопротивление и комплексная проводимость могут быть представлены в показательной, алгебраической и тригонометрической формах.

Гармонический ток в элементах электрической цепи Гармонический ток в сопротивлении Если пассивный двухполюсник представляет собой активное сопротивление R, то на основании закона Ома На векторной диаграмме напряжение и ток совпадают по фазе Если к сопротивлению подведено напряжение то через него потечет ток Мгновенная мощность, поступающая в сопротивление Среднее значение мощности за период