ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Пусть на плоскости ХОY

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ: Пусть на плоскости ХОY задана некоторая замкнутая область. На определена функция двух переменных Определение 1: Точка называется точкой локального максимума (минимума), если существует такая окрестность с центром в точке для всех точек , отличных от место неравенство: , что имеет

Определение 2: Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции Определение 3: Пусть . функция двух переменных. Точка с координатами (а, b) называется критической точкой, если в этой точке :

Геометрический смысл: Если точка экстремума функции – точка и в этой точке функция имеет непрерывные частные производные, то касательная плоскость к графику функции параллельна плоскости XOY и уравнение этой плоскости в точке Локальный максимум Локальный минимум

Рассмотрим пример: Область определения функции – круг с радиусом 2 с центром в начале координат. Найдем критические точки: но: в области определения. Причем: Следовательно точка (0, 0) точка min для функции

График функции в трехмерном пространстве

Покажем на примере, что не каждая критическая точка является экстремумом (аналогично функции одной переменной). Рассмотрим функцию: График этой функции в пространстве гиперболический параболоид. Найдем критические точки: Наиболее вероятным экстремумом является f(0, 0).

Когда То есть в некоторой окрестности точки (0, 0) существуют значения функции и. То есть точка (0, 0) не является ни min ни max. В этом случае точку называют седловой. Гиперболический параболоид (седло)

Теорема: (о необходимых и достаточных условиях существования экстремумов функции двух переменных). Пусть функция дважды дифференцируема и непрерывна в некоторой окрестности точки (a, b), пусть

Теорема: Пусть функция f(x, y) дважды дифференцируема и непрерывна в некоторой окрестности точки (a , b), и то (а, b) не является точкой экстремума. Это седловая точка. то для нахождения точек экстремума нужны исследование производных функции более высших порядков.

На рисунке изображен график функции Найти критические точки и экстремумы функции

Найдите критические точки и экстремумы данной функции.

УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Определение. Точка называется точкой условного максимума (минимума) функции , если существует такая ее окрестность, что для всех точек из этой окрестности, удовлетворяющих условию , Уравнение функции выполняется неравенство уравнением связи для.

Наиболее простым способом нахождения условного экстремума функции двух переменных является сведение задачи к отысканию экстремума функции одной переменной. Пример. Найти точки максимума и минимума функции Решение. Из условии выразим переменную через Полученное значение подставляем в функцию. Получим функцию одной переменной которая имеет единственный минимум в точке.

Геометрическая интерпретация условного экстремума Графиком функции является параболоид вращения z = x 2 + y 2. Уравнение связи определяет на плоскости 0 XY прямую x + y − 2 = 0 , а в пространстве - плоскость, проходящую через эту прямую параллельно оси OZ. Построим линию пересечения этой плоскости с параболоидом. Аппликаты точек этой линии выражают значения функции z = x 2 + y 2 при x + y − 2 = 0. Условный минимум выражается аппликатой самой нижней точки этой линии, а проекция этой точки на плоскость 0 XY является точкой условного минимума (1, 1) (рис. 1).

Геометрическая интерпретация условного экстремума В любой окрестности точки (1, 1) есть точки, в которых значения функции меньше, чем значение в точке (1, 1). Последнее является наименьшим лишь среди значений функции в точках, расположенных на прямой x + y − 2 = 0. В этом и заключается условность минимума. Если же функцию z = x 2 + y 2 рассматривать во всей области определения, то очевидно, что точкой ее минимума (безусловного) будет (0, 0).

Метод неопределенных множителей Лагранжа Для отыскания условного экстремума в общем случае используется метод множителей Лагранжа. Рассмотрим функцию трех переменных Эта функция называется функцией Лагранжа, а Лагранжа. множителем ЛАГРАНЖ Жозеф Луи , французский математик, астроном и механик итальянского происхождения.

Теорема. Если точка является точкой условного экстремума функции то существует значение при условии такое, что точка является точкой экстремума функции Для нахождения условного экстремума функции при условии следующей системы: , требуется найти решение ,

Т е о р е м а. ( достаточное условие условного экстремума функции двух переменных). Пусть точка и число найдены из решения системы (1), где - функция Лагранжа. Пусть Если то функция условный максимум. Если в точке имеет в точке то функция имеет условный минимум.

Пример. Найти точки условного экстремума функции z = x 2 − y 2 методом Лагранжа при условии x 2 + y 2 = 1. Решение. Строим функцию Лагранжа L(x, y, λ) = x 2 − y 2 + λ(x 2 + y 2 − 1). Находим стационарные точки функции L(x, y, λ). Для этого находим ее частные производные по всем аргументам x, y, λ и приравниваем их нулю. Получаем систему уравнений L'x = 2 x + 2λx = 0, L'y = − 2 y + 2λy = 0, L'λ = x 2 + y 2 − 1.

x(1 + λ) = 0 , y(λ − 1) = 0, x 2 + y 2 = 1, Решая систему уравнений, находим λ = − 1 , y = 0, x = ± 1, λ = 1 , x = 0, y = ± 1, Таким образом, функция f(x, y) = x 2 − y 2 имеет четыре стационарные точки при x 2 + y 2 = 1 : M 1, 2( ± 1, 0), M 3, 4(0, ± 1). Графиком функции z = x 2 − y 2 является гиперболический параболоид (“седло”), а значения функции на окружности x 2 + y 2 = 1 являются аппликатами точек на линии пересечения цилиндра x 2 + y 2 = 1 с параболоидом (рис. 2).

На рис. 2 видно, что точки M 1, 2( ± 1, 0) являются точками условного максимума, а точки M 3, 4(0, ± 1) — точками условного минимума.