ЕКОНОМІКОМАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ І МОДЕЛІ ЧАСТИНА 2

«ЕКОНОМІКОМАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ І МОДЕЛІ» , ЧАСТИНА 2 (ОПТИМІЗАЦІЙНІ МЕТОДИ І МОДЕЛІ) Лектор ПОХИЛЬЧЕНКО ОЛЕНА АНАТОЛІЇВНА (доц. , к. е. н. )

Аудиторне навантаження та розподіл балів Вид роботи Заочна форма Лекційні заняття, год. 6 Лабораторні заняття 14 Всього аудиторних, год. 20 Самостійна робота, год. 100 Загальний обсяг, год. 120 Екзамен 6 Контрольна робота № 3 «Прийняття рішень в умовах невизначеності» Контрольна робота № 4 «Побудова моделі транспортної задачі та її аналіз»

Рекомендована література Барвінський А. Ф. та ін. Математичне програмування. Дослідження операцій: Навчальний посібник / А. Ф. Барвінський, І. Я. Олексів, З. І. Крупка, І. О. Бобик, І. І. Демків, Р. І. Квіт, В. В. Кісілевич. – Львів: «Інтелект-Захід» , 2008. – 468 с. Голіков А. П. Економіко-математичне моделювання світогосподарських процесів: Навчальний посібник / А. П. Голіков. – 3 -тє вид. , переробл. і доповн. – К. : Знання, 2009. – 222 с. Катренко А. В. Дослідження операцій. Підручник. – Львів: «Магнолія Плюс» , 2004. – 549 с. Клейнер Г. Б. , Смоляк С. А. Эконометрические зависимости: принципы и методы построения. М. : Наука, 2000. - 104 с. Кутковецький В. Я. Дослідження операцій: Навчальний посібник. – К. : Вид-во ТОВ «Видавничий дім «Професіонал» , 2004. – 350 с. Лук’яненко І. Г. , Краснікова Л. І. Економетрика: Підручник. — К. : Т-во “Знання”, КОО, 1998. — 494 с. Магнус Я. Р. , Нейдеккер X. Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике: Пер. с англ. / Под ред. С. А. Айвазяна. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. 496 с. Наконечний С. І. , Терещенко Т. О. , Романюк Т. П. Економетрія. Підручник. – Вид. 4 -те, доп. та перероб. – К. : КНЕУ, 2006. – 528 с. Толбатов Ю. А. Економетрика: Підручник. – К. : Четверта хвиля, 1997. – 320 с. Хома І. Б. , Турко В. В. Економіко-математичні методи аналізу діяльності підприємств: навч. метод. посібник. – Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка» , 2008. – 328 с. Чемерис А. Методи оптимізації в економіці: Навчальний посібник / А. Чемерис, Р. Юринець, О. Мищишин – К. : Центр навчальної літератури, 2006. – 152 с. Фещур Р. В. та ін. Економіко-математичне моделювання: Навчальний посібник / Р. В. Фещур, В. П. Кічор, І. Я. Олексів, І. О. Бобик, А. М. Дідик, Р. І. Квіт та інші. – Львів: Бухгалтерський йцентр «Ажур» , 2010. - 340 с. Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. — М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 367 с.

У Віртуальному навчальному середовищі: Робоча програма Перелік питань Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з курсу “Економіко-математичні методи і моделі”, частина 2 (оптимізаційні методи і моделі) Методичні вказівки до виконання контрольних робіт для студентів заочної форми навчання Методичні вказівки для самостійної роботи з курсу "Економіко-математичні методи і моделі", частина 1 (економетрика) Методичні вказівки для самостійної роботи з курсу "Економіко-математичні методи і моделі", частина 2 (оптимізаційні методи і моделі) Рекомендована література Глосарій

Тема 1 Оптимізаційні економіко -математичні методи

1. 1. Основні поняття Суть економіко-математичного моделювання полягає в описі соціально-економічних систем і процесів. Виходячи з цього, економіко-математичні методи необхідно розуміти як інструмент, а економіко-математичні моделі – як продукт процесу економіко-математичного моделювання.

Класифікація економікоматематичних моделей балансові моделі (виражають вимогу відповідності наявності ресурсів та їх використання); трендові моделі (розвиток економічної системи відображається через тренд – довготермінову тенденцію її основних показників); оптимізаційні моделі (призначені для вибору найкращого варіанту з певного числа варіантів виробництва, розподілу або споживання); імітаційні моделі (для використання в процесі машинної імітації систем або процесів, які вивчаються).

Об’єктом даного курсу є оптимізаційні моделі, вивчення яких базується на положеннях дисципліни «математичне програмування» . англійський термін «mathematical programming» - означає розроблення на основі математичних розрахунків програми дій для досягнення обраної мети.

Типова постановка задачі математичного програмування деякий процес може розвиватися за різними варіантами, кожен з яких має свої переваги та недоліки, причому, як правило, таких варіантів може бути безліч. Необхідно із усіх можливих варіантів вибрати найкращий. З цією метою і використовуються математичні методи.

ПРИКЛАД Фірма спеціалізується на виготовленні та реалізації електроплит і морозильних камер. Припустимо, що збут продукції необмежений, проте обсяги ресурсів (праці та основних матеріалів) обмежені. Завдання полягає у визначенні такого плану виробництва продукції на місяць, за якого виручка була б найбільшою. Норми використання ресурсів та їх загальний запас, а також ціни одиниці кожного виду продукції наведені в табл. 1. Вид продукції Морозильна камера Електрична плита Загальний запас ресурсу на місяць Норми витрат на одиницю продукції робочого часу, листового скла, люд. -год. заліза, м 2 Ціна одиниці продукції, ум. од. 9, 2 3 — 300 4 6 2 200 520 240 40 —

Приклади оптимізаційних задач Транспортна задача Задача на визначення найкращого складу суміші або задача про вибір дієти Задача про оптимальний план випуску продукції Оптимізація потоків міжгалузевих Найпростіша задача розміщення Масове обслуговування Календарне планування

Спільним для усіх задач є процес економікоматематичного моделювання, який охоплює такі етапи: 1. Концептуальна постановка задачі; 2. Збирання та аналіз вхідної інформації; 3. Побудова математичної моделі; 4. Вибір методу оптимізації; 5. Знаходження оптимального розв’язку; 6. Аналіз результатів і моделі; 7. Верифікація моделі.

1. 2. Формування критеріїв та обмежень для економікоматематичних моделей Представимо схематично довільну економічну систему у вигляді (рис. 1): Параметри сk (k = 1, 2, . . . , l) - кількісні характеристики системи. Вхідні змінні економічної системи бувають двох видів: керовані xj (j = 1, 2, . . . , n), значення яких можна змінювати в деякому інтервалі; некеровані змінні yi (і = 1, 2, . . . , m), значення яких не залежать від волі людей і визначаються зовнішнім середовищем. F — обрана мета (ціль) розвитку та функціонування економічної системи.

F = f (x 1, x 2, . . . , xn; y 1, y 2, . . . , ym, c 1, c 2, . . . , cl) (1) Функцію F називають цільовою функцією, або функцією мети. В загальному вигляді задача оптимального програмування формулюється так: Знайти такі значення керованих змінних xj, щоб цільова функція набувала екстремального (максимального чи мінімального значення). max (min) F= f (x 1, x 2, . . . , xn; y 1, y 2, . . . , ym, c 1, c 2, . . . , cl) (2)

Можливості вибору xj завжди обмежені зовнішніми щодо системи умовами, параметрами виробничо-економічної системи і т. ін. Наприклад, площа посіву озимої пшениці обмежена наявністю ріллі та інших ресурсів, сівозмінами, можливістю реалізації зерна, необхідністю виконання договірних зобов’язань тощо. Ці процеси можна описати системою математичних рівностей та нерівностей виду (3)

Система (3) називається системою обмежень, або системою умов задачі. Вона описує внутрішні технологічні та економічні процеси функціонування й розвитку виробничо-економічної системи, а також процеси зовнішнього середовища, які впливають на результат діяльності системи.

Для економічних систем змінні хj мають бути невід’ємними: (4) Отже, підсумуємо: економіко-математичну модель економічної системи становлять залежності (2)—(4)

Правила побудови моделі 1) модель має адекватно описувати реальні економічні та технологічні процеси; 2) у моделі потрібно враховувати все істотне, суттєве в досліджуваному явищі чи процесі, відкидаючи все другорядне, неістотне; 3) модель має бути зрозумілою для користувача; 4) треба забезпечити, щоб множина наборів хj була непустою. Для цього в економікоматематичних моделях потрібно якнайменше використовувати обмеження-рівності, а також суперечливі обмеження.

Приклади складових елементів економіко-математичної моделі та їхні характеристики Суб’єкти господарювання Функції мети Система обмежень Національна економіка Індекси рівня життя населення, які залежать від доходів населення, зайнятості, демографічних показників 0 рівня інфляції, показників економічного зростання тощо Попит і пропозиція в економіці, платіжний баланс, показники соціально-економічного розвитку, податкова система, законодавча система, політична стабільність, рівень інфляції тощо Регіони Індекси регіонального людського розвитку, значення яких залежить від показників стану і охорони здоровя, рівня освіти, екології, розвитку ринку праці, матеріального добробуту, умов проживання тощо Показники соціально-економічного розвитку – поліпшення бізнес процесу, задоволення потреб та очікувань споживачів, розвитку внутрішніх можливостей, задоволення потреб та інтересів акціонерів Функції корисності, які залежать від рівня споживання товарів і послуг Регіональні природні та людські ресурси, показники соціально-економічного розвитку регіону, взаємовідносини з бізнесом, стан ринку праці тощо Підприємства Домашні господарства Економічні, технологічні, ринкові обмеження щодо витрат ресурсів, обсягів і пропорцій виробництва продукції Доходи домашніх господарств, ціни на товари і послуги, пріоритети споживачів тощо

Тема 2 Задача лінійного програмування та методи її розв’язування

2. 1. Постановка задач: загальна задача оптимального лінійного програмування та форми її запису Загальна лінійна (всі змінні – х в першому степені) математична модель економічних процесів і явищ – так звана загальна задача лінійного програмування подається у вигляді: (1) (2) (3)

де с1, 2…. n – коефіцієнти цільової функції; х1, 2…. n – змінні; а 1, 2…. m – коефіцієнти при змінних; b 1, 2…. m – вільні члени (ресурси, запаси).

(!) Потрібно знайти значення змінних x 1, x 2, …, xn, які задовольняють умови (2) і (3), тоді як цільова функція набувала би екстремального (максимального чи мінімального) значення.

Задачу (1) – (3) доцільно звести до канонічної форми, тобто до такого вигляду, коли в системі обмежень (2): всі bi (i = 1, 2, …, m) невід’ємні; всі обмеження є рівностями. 1. Якщо якесь bi від’ємне, то, помноживши i-те обмеження на (– 1), дістанемо у правій частині відповідної рівності додатне значення. 2. Коли i-те обмеження має вигляд нерівності , то останню завжди можна звести до рівності, увівши додаткову змінну xn + 1: . Аналогічно обмеження виду зводимо до рівності, віднімаючи від лівої частини додаткову змінну хn + 2, тобто

ПРИКЛАД Записати в канонічній формі таку задачу лінійного програмування: за умов Розв’язування. Помножимо другу нерівність на (– 1) і введемо відповідно допоміжні змінні х4 і х5 для другого та третього обмеження: Неважко переконатися, що допоміжні змінні, у цьому разі х4 і х5, є невід’ємними, причому їх уведення не змінює цільової функції. .

Отже, будь-яку задачу лінійного програмування можна записати в такій канонічній формі: (4) за умов (5) (6)

Задачу (4) – (6) можна розв’язувати на мінімум, якщо цільову функцію помножити на (– 1), тобто:

Основні поняття Допустимий розв’язок або допустимий план задачі – відображає вектор , координати якого задовольняють систему обмежень (2) і (3). (2) (3)

Сукупність допустимих розв’язків (планів) задачі утворює область допустимих розв’язків задачі. Опорним планом задачі лінійного програмування називається допустимий план, який задовольняє не менш ніж п лінійно незалежних обмежень системи (2) у вигляді строгих рівностей разом з обмеженням (3) щодо знака. Опорний план називається невиродженим, якщо він містить точно m додатних компонент. У противному разі опорний план є виродженим. Оптимальним розв’язком (планом) називається той допустимий розв’язок, при якому лінійна функція (1) набуває максимального (мінімального) значення.

Запис задачі лінійного програмування Задачу лінійного програмування (4 -6) зручно записувати за допомогою знака суми « » : за умов Запис задачі лінійного програмування у векторно-матричному вигляді:

2. 2. Побудова економікоматематичних моделей задач лінійного програмування 1 крок - З точки зору економіки, а не математики, відповідаємо на такі питання: Що є шуканими величинами задачі? Якою є мета розв’язку? Який параметр задачі є критерієм ефективності (оптимальності) розв’язку? У якому напрямі повинно змінюватись значення цього параметра для досягнення найкращих результатів? Які умови у відношенні шуканих величин і ресурсів задачі повинні бути виконані? Ці умови встановлюють, як повинні співвідноситись один з одним різні параметри задачі.

2 крок – запис попередніх відповідей у математичній формі. При цьому: Шукані величини є змінними задачі, як правило, позначають малими латинськими літерами з індексами. Наприклад, однотипні змінні зручно подавати у вигляді Мета розв’язку записується у вигляді цільової функції. Яку позначають, наприклад. Математична формула цільової функції відображає спосіб розрахунку значень параметра – критерію ефективності задачі. Умови, які накладаються на змінні і ресурси задачі, записують у вигляді системи рівностей або нерівностей, тобто обмежень. Ліві і праві частини обмежень відображають спосіб одержання (розрахунок або числові значення з умови задачі) значень тих параметрів задачі, на які були накладені відповідні обмеження. В процесі запису математичної моделі необхідно вказувати одиниці виміру змінних задачі, цільової функції і всіх обмежень.

Приклади побудови лінійних математичних моделей Задача 1 (задача про фарби). Невелика компанія Reddy Mikks виробляє два види фарб: перший – для зовнішніх робіт (Ф 1), а другий – для внутрішніх (Ф 2). Для виробництва фарб використовують два складники: А і В. Максимально можливі добові запаси цих складників 6 т і 8 т відповідно. Відомі витрати цих складників А і В на одну тону відповідних фарб: Складники А В Розхід складника Ф 1 Ф 2 1 2 2 1 Запас 6 8

Після вивчення ринку збуту відділ маркетингу компанії встановив, що добовий попит на фарбу другого виду ніколи не перевищує попиту на фарбу першого виду більше, ніж на 1 тону, а також поставив умову, щоб добове виробництво фарби другого виду не перевищувало 2 тон (у зв’язку з відсутністю відповідного попиту). Оптові ціни однієї тони фарби рівні 3 тис. грн. для Ф 1, та 2 тис. грн. для Ф 2. Компанія хотіла б визначити, яким чином можна збільшити добовий дохід. Необхідно: Побудувати математичну модель задачі. Встановити, яку кількість фарби кожного виду необхідно виробляти, щоб дохід від реалізації продукції був максимальним.

Побудова математичної моделі задачі Шукані величини – добові об’єми виробництва кожного виду фарби: – фарби першого виду (Ф 1) – фарби другого виду (Ф 2) Цільова функція – необхідно досягти максимуму прибутку від реалізації продукції, отже, критерій ефективності – параметр добового доходу, який повинен прямувати до максимуму. Оскільки оптові ціни на 1 тону фарб складають 2 і 3 тис. грн. відповідно, то: дохід від продажу Ф 1 рівний дохід від продажу Ф 2 рівний

Тому цільова функція записується у вигляді суми доходу від продажу Ф 1 та Ф 2: Обмеження. Можливі об’єми виробництва фарб та обмежуються такими умовами: кількість складників А і В, що витрачаються за добу на виробництво Ф 1 та Ф 2 не може перевищувати їх добового запасу, тобто: За умовою:

обмеження по добовому об’єму виробництва Ф 1 в порівнянні з об’ємом виробництва Ф 2: За умовою: обмеження по добовому виробництву фарби другого виду: За умовою:

невід’ємність об’ємів виробництва: Отже, математична модель задачі має вигляд:

Задача 2. Фірма спеціалізується на виробництві офісних меблів, зокрема вона випускає два види збірних книжкових полиць – А та В. Полиці обох видів виготовляють на верстатах 1 та 2. Тривалість обробки деталей однієї полиці кожної моделі подано в таблиці: Верстат 1 2 Тривалість обробки полиці моделі, хв. А 30 12 В 15 26 Ресурс робочого часу верстатів, год. на тиждень 40 36 Прибуток фірми від реалізації однієї полиці моделі А дорівнює 50 у. о. , а моделі В – 30 у. о. Вивчення ринку збуту показало, що тижневий попит на книжкові полиці моделі А ніколи не перевищує попиту на модель В більш як на 30 одиниць, а продаж полиць моделі В не перевищує 80 одиниць на тиждень.

Необхідно: Побудувати математичну модель задачі. Визначити обсяги виробництва книжкових полиць цих двох моделей, що максимізують прибуток фірми.

Побудова математичної моделі задачі Шукані величини: х1 – кількість полиць моделі А, виготовлених фірмою за тиждень, а х2 – кількість полиць моделі В. Цільова функція – максимум прибутку фірми від реалізації продукції. Математично вона подається так: Обмеження задачі враховують тривалість роботи верстатів 1 та 2 для виготовлення продукції та попит на полиці різних моделей.

Обмеження на тривалість роботи верстатів 1 та 2 мають вид: для верстата 1: 30 х1 + 15 х2 ≤ 2400 (хв); для верстата 2: 12 х1 + 26 х2 ≤ 2160 (хв). Обмеження на попит записуються так: х1 – х2 ≤ 30 та х2 ≤ 80. Отже, економіко-математична модель задачі має вигляд:

Задача 3. На ринок доставляється картопля з трьох фермерських господарств по ціні відповідно 80, 75, та 65 коп. за 1 кг. На завантаження 1 т картоплі у фермерських господарствах відповідно витрачається по 1, 6, 5 хвилин. Замовлено 12 т картоплі і для своєчасної доставки необхідно, щоб на її завантаження витрачалось не більше сорока хвилин. Визначити з яких фермерських господарств і в якій кількості необхідно доставити картоплю, щоб загальна вартість закупівлі була мінімальною, якщо господарства можуть виділити для продажу відповідно 10, 8 та 6 т картоплі.

Побудова математичної моделі Позначимо – кількість картоплі, що буде закуплено у першому господарстві (т); , – кількість картоплі закупленої відповідно у другого та третього господарства (т). Зафіксуємо потрібну кількість поставок картоплі: , наступне обмеження описує витрати часу на завантаження потрібної кількості продукції: , враховуємо загальні обмеження по можливості поставок продукції у кожному господарстві: Вартість закупленої продукції визначається, як сума добутків ціни на кількість: .

Таким чином математична модель задачі має вигляд: