Экономикоматематический практикум Автор: Захарова Лариса Александровна, к. ф.

Экономикоматематический практикум Автор: Захарова Лариса Александровна, к. ф. м. н. , доцент кафедры ТПУО

Список литературы n n n А. И. Стрикалов, И. А. Печенежская. Экономико-математические методы и модели. Ростов – на – Дону: Феникс, 2008. Г. И. Просветов. Математические методы и модели в экономике (задачи и решения). Москва: Альфа Пресс, 2008. О. О. Замков, А. В. Толстопятенко, Ю. Н. Черемных. Математические методы в экономике. Москва: Дело и Сервис, 2009. В. И. Ширяев, И. А. Баев, Е. В. Ширяев. Управление предприятием: моделирование, анализ, управление. Москва: Книжный дом «ЛИБРОКОМ» , 2009. В. В. Покровский. Математические методы в бизнесе и менеджменте. Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008

Модель – образ реального объекта в материальной или идеальной форме, отражающий основные свойства моделируемого объекта и заменяющий его в ходе изучения. МОДЕЛИ Материальные (предметные) Идеальные (абстрактные) Математическая модель управленческих задач – модель, в которой существенные характеристики объекта управления и значения его экономических характеристик записаны в виде математических зависимостей, формул, графиков, неравенств, логических отношений. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Определенные (детерминированные) Неопределенные (стохастические)

Этапы экономико-математического моделирования n n n Постановка экономической цели и формирование критериев; Подготовка исходной информации; Построение математической модели; Математический анализ модели; Численные вычисления; Анализ численных результатов и их применение.

Оптимизация на графах Создание модели экономического заказа Линейное программирование Математические методы решения некоторых задач менеджмента Создание модели межпродуктового баланса производства и распределения продукции Динамическое программирование Регрессионный анализ Создание модели деления риска Создание модели технологической подготовки производства

Основные понятия теории графов Теория графов – это раздел математики, включающий в себя систему понятий и обозначений, которые позволяют значительно просто описывать сложные процессы и явления Графом G(X, U) называется совокупность двух множеств: непустого множества Х (вершин) и множества U (ребер) U 1 неограф Х 2 Х 1 U 1 Х 1 орграф Х 2

Оптимизация на графах. Принятие решений методом построения деревьев решений Дерево решений – это графическое изображение процесса принятия управленческого решения, в котором отражены альтернативные решения, альтернативные состояния среды, соответствующие вероятности и выигрыши для любых комбинаций альтернатив и состояний среды Главному инженеру компании надо решить монтировать или нет новую производственную линию. Если новая линия будет работать безотказно, компания получит прибыль 200 млн. руб. Если она откажет, компания получит убыток 150 млн. руб. По оценкам главного инженера, существует 60% шансов, что линия откажет. Можно создать экспериментальную Установку, а затем уже монтировать или нет производственную линию. Эксперимент обойдется в 10 млн. руб. Существует 50% шансов, что Установка будет работать. Если установка будет работать, то 90% шансов За то, что будет работать и линия. Если установка работать не будет, то только 20% шансов за то, что линия заработает. Какое решение нужно принять главному инженеру?

Построение дерева решений и анализ альтернатив 165 Монтируем линию 165 72. 5 Строим установку Установка работает 0. 5 2 А -10 72. 5 0. 5 Установка не работает Монтируем линию 0 Не монтируем линию 1 -80 0 Не строим установку 4 Не монтируем линию Линия работает 0. 2 0. 8 Линия не работает 200 -150 0 Линия работает 200 0. 4 F G -150 0 E 0 200 Линия не работает D -10 Монтируем линию 0. 1 C 0 3 0. 9 B 0 Не монтируем линию Линия работает 0. 6 Линия не работает -150 0

Используя дерево решений помогите предпринимателю принять решение. Какова ожидаемая стоимостная оценка лучшего решения? Предприниматель провел анализ, связанный с открытием магазина. Если он откроет большой магазин, то при благоприятном состоянии рынка получит прибыль 60 млн. рублей, при неблагоприятном – понесет убытки 40 млн. рублей. Маленький магазин принесет ему 30 млн. рублей прибыли при благоприятном состоянии рынка и 10 млн. рублей убытков при неблагоприятном. Возможность благоприятного и неблагоприятного состояния рынка он оценивает одинаково. Исследование рынка, которое может провести специалист, обойдется предпринимателю в 5 млн. рублей. Специалист считает, что с вероятностью 0, 6 состояние рынка окажется благоприятным. В то же время при положительном заключении состояние рынка окажется благоприятным лишь с вероятностью 0, 9. при отрицательном заключении с вероятностью 0, 12 состояние рынка может оказаться благоприятным.

Использование математических графов в сетевом планировании To= 0. 4 Tmax+ 0. 6 Tmin Kсл= Nраб/Nсоб 1< Kсл<1. 3

Математические расчеты при проведении балансировки линий сборки Основным продуктом мебельной фабрики являются стулья повышенной Комфортности. За 480 минутный рабочий день необходимо выпустить 50 стульев. Для изготовления одного стула надо выполнить 8 операций. Используя информацию приведенную в таблице, решить задачу балансировки линий сборки. операция Время выполнения, мин. Предшествующие операции 1 4 - 2 6 1 3 7 1, 2 4 5 2, 3 5 5 4 6 8 5 7 6 5 8 4 6, 7

Создание модели линий сборки 6 мин. 4 мин. 5 мин. 6 мин. 2 5 7 5 мин. 1 4 3 6 8 7 мин. 8 мин. 4 мин. 1. Определим время цикла – среднее время, в течение которого каждое изделие может быть доступно на любом рабочем месте для выполнения соответствующей операции: Время цикла = Продолжительность Рабочего дня 480 мин/ 50 шт ≈ 10 мин/шт : Объем производства в сутки

Создание модели линий сборки 2. Определим теоретически минимальное число рабочих мест: Минимальное число = Суммарное время Рабочих мест Выполнения операций : Время цикла Минимальное число рабочих мест = 45/10 ≈ 5 3. Обеспечим баланс линии сборки, отнеся операции к конкретным рабочим местам: 4 мин 6 мин 1 2 Место 1 5 мин 4 5 мин 5 7 Место 3 3 7 мин Место 2 6 мин 4 мин 6 8 мин Место 4 8 Место 5 4. Рассчитаем эффективность балансировки линий: Суммарное время Число рабочих = : ( Х эффективность мест Выполнения операций Время цикла )

Решить задачу балансировки линии сборки Заключительная сборка диктофона требует выполнения шести ручных операций. В течение 400 мин. Ежедневной работы сборочной линии необходимо выпустить 80 диктофонов. Информация об операциях приведена в таблице. Операция Время выполнения, мин. Предшествующие операции 1 1 - 2 1 1 3 4 1, 2 4 1 2, 3 5 2 4 6 4 5

Задача определения кратчайшего пути 17 2 5 6 15 3 1 7 6 4 10 4 3 2 6 4 5 Узел 7 – склад, остальные узлы – строительные площадки компании. Показатели на дугах – расстояния в километрах. Надо найти кратчайшее расстояние от склада до каждой строительной площадки. Какова длина кратчайшего пути от склада до строительной площадки 1?

Задача определения кратчайшего пути (11, 4) 17 2 6 15 (22, 3) 7 5 (5, 7) 3 1 (S, 0) 6 (6, 7) 4 10 4 3 (12, 5) 2 6 4 5 (8, 6) Первое число метки у каждой вершины – это длина кратчайшего пути от узла 7 до данной вершины. Чтобы восстановить кратчайший путь от узла 7 до какой-то вершины, мы должны из этой вершины перейти в соседнюю (ее номер – второе число метки). И т. д. до вершины 7. Метка узла 1 (22, 3). Т. е кратчайший путь до узла 7 составляет 22 км и проходит по пути 1 -3 -5 -6 -7.

Решите задачу 70 1 40 2 35 35 10 3 40 30 4 5 20 30 8 20 20 7 70 60 50 30 6 40 9 60 40 10 15 10 Компания грузоперевозок осуществляет перевозки грузов между Воронежем и райцентрами. Сеть представленная на рисунке, отображает сеть дорог. Расстояния указаны в километрах. Найти кратчайшие маршруты от Воронежа до всех остальных пунктов.

Построение коммуникационной сети минимальной длины Университет устанавливает компьютерную систему электронной почты, которая позволит передавать сообщения между деканами восьми факультетов, Сеть возможных электронных связей между деканатами показана ниже. Протяженность коммуникаций отмечена на дугах в км. Предложим проект системы связи, которая позволит всем деканам обеспечить доступ к электронной почте. Длина сети должна быть минимальной. 3 2 2 1, 5 5 3 1 6 1 3 1, 2 1 4 2, 5 7 0, 5 1, 6 4 2 1 5 8 3

Построение коммуникационной сети минимальной длины Алгоритм построения: 1. Начать с любого узла и соединить его с ближайшим узлом. Считаем, что это узлы связанные, а все другие – несвязанные. 2. Определить несвязанный узел, ближайший к одному из связанных узлов. Добавить этот узел к связанным и т. д. , пока есть несвязанные узлы. 6 2 2 1 1 3 7 0, 5 1 4 2 5 8

Фирма получила заказ на прокладку кабеля для кабельного телевидения. Узлы сети, приводимой ниже, отражают точки, к которым должна быть проложена кабельная сеть. Дуги сети показывают количество километров между точками подвода кабеля. Предложите решение, которое позволит обеспечить доступ кабельной сети ко всем точкам, но при этом общая протяженность кабельных линий была бы минимально возможная. 4 3 2 4 5 4 4 7 4 11 7 4 2 4 3 9 3 3 2 8 2 3 1 3 3 2 6 5 6 4 5 10

Решение задач менеджмента с помощью эконометрических моделей Эконометрика – раздел математической экономики, позволяющий осуществить статистическую оценку и анализ экономических зависимостей и моделей на основе изучения эмпирических данных. Y = F(X) +ε – эконометрическая модель Y- наблюдаемое значение объясняемой переменной F(X) – объясненная часть, зависящая от значений объясняемых переменных ε - случайная составляющая Алгоритм построения модели • Выбор вида регрессионной модели (линейная или нелинейная, парная или множественная ); • Расчет коэффициентов регрессии; • Расчет коэффициента корреляции и коэффициента детерминации • Определение значимости коэффициентов регрессии и уравнения регрессии • Нахождение доверительных интервалов для уравнения регрессии

Виды регрессионных моделей Линейная зависимость положительная отрицательная Y Y X Y Случай независимых переменных Y X X Y X Криволинейная зависимость Y X Параболическая зависимость X Экспоненциальная зависимость

Линейная парная регрессия У - уравнение регрессии Поле корреляции -Выборочная -ковариация Х - выборочная дисперсия переменной х

Коэффициент корреляции Выборочный коэффициент корреляции r является показателем тесноты линейной связи у у r=1 у r=-1 х r=0 х 1. -1≤r ≤ 1 2. Чем r ближе к единице, тем теснее связь 3. При r=0 линейная корреляционная связь отсутствует. х

Коэффициент детерминации – мера качества уравнения регрессии, характеристика прогностической силы анализируемой регрессионной модели. Показывает, какая доля вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной. -общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней -остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов - сумма квадратов, обусловленная регрессией

Свойства коэффициента детерминации n n n Чем ближе коэффициент детерминации к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует эмпирические данные, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии; Если коэффициент детерминации равен единице, то эмпирические точки лежат на линии регрессии и меду переменными х и у существует линейная функциональная связь; Если коэффициент детерминации равен нулю, то вариация зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтенных в модели переменных, а линия регрессии параллельна оси абсцисс.

Основы множественного регрессионного анализа Цель: исследовать зависимость одной переменной Y от нескольких объясняющих переменных Х 1 , Х 2 , …. . , Хn Модель множественной линейной регрессии можно представить в виде: Где β – коэффициенты регрессии, р – число объясняющих переменных, включаемых в модель, i- число наблюдений, х – значения объясняющих переменных для у

Эконометрическая модель множественной линейной регрессии в матричной форме Включение в регрессионную модель новых объясняющих переменных приводит к целесообразности использования матричных обозначений. Матричное описание регрессии облегчает как теоретические концепции анализа, так и необходимые расчетные процедуры. Y=Xβ+ε - модель в матричной форме - матрица значений объясняющих переменных β= (β 0 β 1……βp) ε= (ε 1 ε 2……. εn) -вектор- столбец коэффициентов регрессии - вектор-столбец возмущений, случайных ошибок

Построение эконометрической модели множественной линейной регрессии ŷi=b 0+b 1 xi 1+b 2 xi 2 -Эконометрическая модель для двух объясняющих -переменных Для определения коэффициентов регрессии воспользуемся формулой Где Х – матрица объясняющих переменных, У – вектор столбец значений объясняемых переменных

Стандартизированные коэффициенты регрессии и коэффициенты эластичности На практике часто бывает необходимо сравнения влияния на зависимую переменную различных объясняемых переменных, когда последние выражаются разными единицами измерения. В этом случае вводят стандартизированные коэффициенты регрессии и коэффициенты эластичности Показывает на сколько величин Sy изменится в среднем переменная У при увеличении только 1 объясняющей переменной на Sx 1 Показывает на сколько % изменится в среднем переменная У при увеличении только 1 объясняющей переменной на 1%

Множественный и скорректированный коэффициент детерминации - множественный коэффициент детерминации Имеет недостаток, в том, что всегда увеличивается при добавлении новых объясняющих переменных, хотя при этом качество модели может не улучшаться, поэтому вводят скорректированный коэффициент детерминации Значимость уравнения регрессии определяем с помощью F – критерия Фишера- Снедекора

Математическая модель управления запасами q Уровень запасов А, В, С – точки подачи заказа q 0 A B C Уровень повторного заказа t Полные издержки подачи и хранения запасов: Где: С 0 – накладные расходы за подачу заказа Сh – издержки хранения единицы запаса D – годовой спрос на изделия q – оптимальный размер партии q 0 - оптимальный размер партии

Математическая модель управления запасами с учетом скидки на количество Постоянные издержки обслуживания заказа: Где: С – закупочная цена Годовой спрос на изделие составляет 1000 единиц, стоимость подачи заказа 40 рублей за заказ, закупочная цена составляет 50 рублей за единицу, годовая стоимость хранения одной единицы продукции составляет25% от закупочной цены. Можно получить скидку 3% у поставщиков, если размер партии будет составлять не менее 200 изделий. Стоит ли воспользоваться скидкой?

Модель планирования дефицита (случай невыполнения заявок) Уровень запасов q -S S – максимальный размер дефицита Cb – годовая стоимость отсутствия единицы Продукции в запасе (потеря доверия клиента, Стоимость непроданной продукции и т. д) Время Полные издержки обслуживания заказа

Модель планирования дефицита (случай выполнения заявок) Уровень запасов q-S -S S – максимальный размер дефицита Cb – годовая стоимость отсутствия единицы Продукции в запасе (потеря доверия клиента, Стоимость непроданной продукции и т. д) Время Полные издержки обслуживания заказа

Решение общей задачи линейного программирования (задача оптимального расходования ресурсов) Предприятию необходимо изготовить три вида продукции А, В, С, с использованием двух видов ресурсов S 1, S 2. запасы которых ограничены, Числовые данные задачи иллюстрируются таблицей. Составить экономикоматематическую модель выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль Виды сырья Расходы сырья на ед. продукции А В С Запасы сырья S 1 4 4 2 40 S 2 3 8 4 30 Стоимость единицы продукции 10 15 12 Целевая функция: F=10 x 1+15 X 2 + 12 х3→ max

Решение общей задачи линейного программирования (задача о смесях) Для откорма животных необходимо из трех кормов К 1, К 2, К 3 изготовить смесь. Известна требуемая питательность (витаминизируемость) порции смеси на одного животного: питательность вещества V 1 - не менее 10 ед. ; питательность вещества V 2 – не менее 8 ед. остальные данные приведены в таблице. Необходимо смешать корма в таком количестве для приготовления смеси, чтобы обеспечить заданную питательность порции смеси с минимальными расходами на изготовление смеси. Вещества Количество питательного вещества в 1 ед. корма К 1 К 2 К 3 V 1 2 3 1 V 2 1 Стоимость единицы корма 4 2 3 Целевая функция: F=4 x 1+2 X 2 + 3 х3→ min

Составьте модель для следующих задач Пусть диетолог составляет диету, согласно которой пациент должен получать не менее 18 единиц питательного вещества S 1, не менее 25 единиц вещества S 2 и не менее 32 единиц вещества S 3. Диета состоит из двух составляющих Д 1 и Д 2. Содержание количества единиц питательных веществ в единице веса каждой составляющей диеты и стоимость продуктов приведены в таблице. Требуется составить дневной рацион необходимой питательности, чтобы затраты были минимальны Питательные вещества Количество единиц питательных веществ в ед. объема продуктов Д 1 Д 2 S 1 3 4 S 2 5 7 S 3 6 8 Стоимость диеты 20 25

Задача о раскрое Строительная фирма заказала изготовить заготовки двух видов: 2 м и 1. 5 м из досок длиной 5 м. Причем заготовки каждого вида должны быть получены не менее 70 и 100 штук соответственно. Каждая доска длиной 5 м может быть распилена несколькими способами: 1) На 2 заготовки по 2 м; 2) на 1 заготовку длиной 2 м и две заготовки 1, 5 м; 3) На 3 заготовки по 1, 5 м. Отходы должны быть минимальные Целевая функция: F=Х 1+X 2 + Х 3→ min

Транспортная задача На двух складах А 1 и А 2 имеется соответственно 11 и 14 ед. однородного груза. Спрос в нем магазинов В 1, В 2, В 3 равняется соответственно 10, 8 и 7 ед. Эти данные и стоимость перевозок единицы груза от складов к магазинам (обозначены цифрами в углу клеточек) представлены в таблице. Составить экономикоматематическую модель плана перевозок грузов, чтобы расходы были минимальными. 10 11 14 8 8 X 11 6 X 12 4 X 21 7 5 X 13 5 X 22 7 X 23 Целевая функция F=8 X 11+6 X 12+5 X 13+4 X 21+5 X 22+7 X 23→min

Графический метод решения задачи линейного программирования Х 2 I 5 B(3; 5) C(6; 4) A(0; 5) II F=2 x 1+ 3 x 2 = 0 F(A) = 15 F(B) = 21 F(C) = 24 F(D) = 20 F(E) = 14 D(7; 2) F O(0; 0) E(7; 0) 7 Х 1 Оптимальное решение: изделие А выпустить в количестве 6 шт, изделие В в количестве 4 шт.

Спасибо за внимание !