Экономикоматематические модели рационального использования ресурсов предприятия продолжение

Экономикоматематические модели рационального использования ресурсов предприятия (продолжение)

2. Оптимизационные модели экономии материальных ресурсов предприятия

2. 1 Модели оптимизации промышленных смесей Модель задачи позволяет найти такой набор компонентов смесей и их количественное соотношение, которые удовлетворяют заданным технологическим требованиям по качеству, а также требованиям принятого критерия (минимальной себестоимости или максимальной прибыли).

Формализованная модель задачи оптимизации состава требуемого объема смеси: • Целевая функция • Ограничения, ухудшающие качество:

• Ограничения, улучшающие качество: • Ограничение продукции: по плану • Ограничение по ресурсам: производства

Обозначения: • i – индекс качественной характеристики; имеет отношение к исходным видам сырья, материалов и к готовой продукции (i = 1, m); • j – индекс исходных компонентов смеси (j = 1, n); • – имеющийся объем j-ой компоненты (сырья); • – содержание i-й качественной характеристики в единице j-го исходного компонента • – имеющийся ресурс j-го компонента; • – цена единицы j-го исходного компонента (включая расходы на переработку);

• – содержание i-й качественной характеристики в единице готовой смеси; для k качественных характеристик, ухудшающих качество продукции, задается верхняя граница содержания той или иной качественной характеристики, а для (m-k) качественных характеристик, улучшающих качество продукции, задается нижняя граница содержания той или иной качественной характеристики; • – количество j-го исходного компонента, которое входит в готовую смесь; • A – общее количество готовой продукции, которое следует изготовить по плану.

• Как правило, исходные компоненты смеси взаимосвязаны по содержанию качественных характеристик. При этом важно обеспечить соответствие готовой продукции по указанным качественным характеристикам тем необходимым требованиям, которые определяются стандартами и сертификатами. • Рассмотрим задачу определения количества сырья, необходимого для получения смеси заданного объема

Пример 1. На предприятии изготавливается бензин А-76, в котором содержание серы не более 0, 3%, а октановое число должно быть не ниже 76.

Вторая разновидность смесевых задач касается оптимизации структуры готовой продукции, безотносительно к объемам. Пример 2. Пусть требуется изготовить некоторую единицу объема сплава, содержащего не менее 4% никеля, не более 75% железа и 20% прочих веществ. Известна стоимость различных видов сырья и процентное содержание в них соответствующих элементов

Вещество Содержание элементов для каждого вида сырья, % 1 2 3 Железо 40 30 25 Никель 40 60 45 Прочие 20 10 30 Стоимость ед. сырья (ден. ед. ) 5 4 7 Определить оптимальную структуру сплава, при которой стоимость единицы сплава будет минимальной

ЭММ задачи будет включать следующие выражения: • Целевая функция • Ограничения на качество смеси:

• Ограничение по формированию структуры смеси: • Неотрицательность переменных:

Математическая модель задачи: F(х) = 5 х1+4 х2+7 х3 min 0, 4 х1+0, 3 х2+0, 25 х3≤ 0, 75 0, 4 х1+0, 6 х2+0, 45 х3≥ 0, 04 0, 2 х1+0, 1 х2+0, 3 х3=0, 2 х1+ х2+ х3 = 1 х1≥ 0; х2≥ 0; х3≥ 0.

Для получения готовых бензинов на установку поступают различные исходные компоненты (нефтепродукты). Оптимальный план позволяет определить , в каких количествах должны смешиваться различные исходные компоненты, чтобы различные сорта бензина (готовой продукции) выпускались в соответствии с планом и заданными по стандарту качественными характеристиками при обеспечении рентабельной работы установки. Модель должна быть представлена следующим образом:

Требуется определить количество j –го вида исходного нефтепродукта, направляемое на получение k-го вида бензина По объему ресурсов По выпуску продукции

По качественным характеристикам:

Введем обозначения: • i = 1, m – индекс качественной характеристики, применяется по отношению к исходным нефтепродуктам и к сортам бензина; • j = 1, n – индекс исходного нефтепродукта; • k – индекс вида готового бензина, k = 1, K; • Aj – ограниченное количество j-го вида исходного нефтепродукта; • Bk – плановое задание по выпуску бензина k-сорта; • hij – содержание i-й качественной характеристикив единице j-го исходного нефтепродукта; • Hik – содержание i-й качественной характеристики в бензине k-го вида; • Сj – цена исходного j-го нефтепродукта; • цk – цена бензина k-го вида.

2. 2 Модели оптимизации раскроя промышленных материалов Совместный раскрой предполагает, что заранее разрабатывается ряд возможных вариантов разрезки материала определенного размера на произвольные комбинации различных заготовок. Каждый такой вариант характеризуется различным составом заготовок, выкраиваемых из единицы материала, и разной величиной отходов. В этих вариантах не учтено условие комплектности. Для удовлетворения требования комплектности уровни возможного использования этих вариантов принимаются за переменные, а затем методами линейного программирования решается задача с учетом условия комплектности заготовок. Рассмотрим типовую задачу на оптимизацию раскроя.

Пример 3 • Снабженческо-сбытовая фирма получает от поставщиков прутки стального проката длиной 600 см. Согласно заявкам потребителей, требуются заготовки трех видов в следующих количествах: 150 тыс. шт. длиной 250 см. , 140 тыс. шт. длиной 190 см. и 48 тыс. шт. длиной 100 см. Сформулируем модель задачи оптимального раскроя с минимумом отходов. Наиболее трудоемкий этап в процессе построения модели рассматриваемой задачи заключается в определении всех возможных вариантов раскроя. В таблице перечислены варианты раскроя одного прутка и размер отхода, полученного при раскрое одного прутка по каждому варианту

План совместного раскроя Номер варианта раскроя (j) Количество заготовок (аij) L 4 = 250 см L 2 = 190 см Остаток (cj) L 3 = 100 см 1 2 - 1 - 2 1 1 1 60 3 1 - 3 50 4 - 30 5 - 2 2 20 6 - 1 4 10 7 - - 6 -

Для построения экономикоматематической модели задачи примем следующие обозначения: • i – индекс вида заготовки (i = 1, m); • j – индекс варианта раскроя (j = 1, n); • Ai – требуемое количество заготовок i – го вида, необходимое для комплектности; • aij – количество заготовок i-го вида при раскрое единицы исходного материала по j-му варианту; • cj –длина отхода при раскрое по j-му варианту.

Требуется определить xj – количество прутков, раскраиваемых по j-му варианту. Формализованный вид экономико-математической модели представлен выражениями: • Целевая функция по критерию минимум отходов имеет вид: • Целевая функция по критерию минимума раскраиваемых единиц исходного материала:

При условиях:

При определении возможных вариантов раскроя необходимо учитывать ряд условий: пусть L ─ длина раскраиваемого материала, а li ─ длина заготовки i-го вида, тогда признак полноценности варианта раскроя представлен соотношением : Длина отхода для любого варианта раскроя должна быть меньше длины самой короткой заготовки:

Для экономико-математической модели задачи раскроя рулонного материала изменится экономический смысл ряда обозначений: • aij ─ количество полос i-го размера, раскраиваемых из рулона по j-му варианту раскроя; • cj ─ размер краевого отхода при раскрое рулона по j-му варианту; • Ai ─ общее количество полос i-го размера, которое нужно получить при раскрое.