Скачать презентацию Экономикоматематические методы Линейное программирование при решении задач оптимизации Скачать презентацию Экономикоматематические методы Линейное программирование при решении задач оптимизации

04_ЭММ.ppt

  • Количество слайдов: 34

Экономикоматематические методы Линейное программирование при решении задач оптимизации Экономикоматематические методы Линейное программирование при решении задач оптимизации

Пусть дана функция n переменных. f(x 1, x 2, x 3, …, xn) Необходимо Пусть дана функция n переменных. f(x 1, x 2, x 3, …, xn) Необходимо найти такие значения аргументов, при которых функция принимает наибольшее (например, максимально возможная прибыль) или наименьшее (минимальные издержки) значение. Аргументы функции принадлежат некоторому множеству: (x 1, x 2, x 3, …, xn) X f(x 1, x 2, x 3, …, xn)→min(max) Поставленная таким образом задача оптимизации называется задачей математического программирования. Множество X называется множеством допустимых решений. Функция f(x) – целевой функцией. Решение, при котором целевая функция принимает максимальное или минимальное значение, называется оптимальным решением задачи. Если функция f(X) является линейной относительно аргументов, а множество X задается с помощью линейных уравнений или неравенств, то задача называется задачей линейного программирования (ЗЛП).

Постановка задачи линейного программирования Постановка задачи линейного программирования

Постановка задачи линейного программирования (краткая форма) Постановка задачи линейного программирования (краткая форма)

Оптимальное использование ресурсов Оптимальное использование ресурсов

Предприятие выпускает n видов продукции, используя для этого m видов ресурсов (сырье, полуфабрикаты, энергетические Предприятие выпускает n видов продукции, используя для этого m видов ресурсов (сырье, полуфабрикаты, энергетические ресурсы и т. п. ). Известны: - затраты каждого вида ресурсов на производство единицы каждого вида продукции: - прибыль от реализации единицы каждого вида продукции. Требуется построить план выпуска продукции таким образом, чтобы при заданных запасах ресурсов получить максимальную прибыль.

Для математической формулировки задачи введем следующие обозначения: bi , (I = 1, 2, 3, Для математической формулировки задачи введем следующие обозначения: bi , (I = 1, 2, 3, …, m) – запасы ресурса номер i; a i, j , (I = 1, 2, 3, …, m, j=1, 2, 3, …, n) – затраты ресурса номер i на производство продукции номер j; cj , (j = 1, 2, 3, …, n) – прибыль от реализации единицы продукции номер j. Обозначим через xj планируемый выпуск продукции номер j. В этом случае решением задачи будет вектор: X = (x 1, x 2, x 3, …, xn) Прибыль от реализуемой продукции составит: f(X) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 +…+ cn xn Расход ресурса номер i при заданном плане выпуска запишется в следующем виде: ri = ai, 1 x 1 + ai, 2 x 2 + ai, 3 x 3 + …+ ai, n xn

Математическая модель задачи Математическая модель задачи

Для решения задачи строится таблица, в которую заносятся исходные данные Для решения задачи строится таблица, в которую заносятся исходные данные

Пример (нулевой вариант) Пример (нулевой вариант)

Пример (оптимальный вариант) Из таблицы видно, что при полном использовании сырья остается еще резерв Пример (оптимальный вариант) Из таблицы видно, что при полном использовании сырья остается еще резерв рабочей силы и работы оборудования. В этом смысле «сырье» является критическим ресурсом.

Пример (увеличение объема критического ресурса) Увеличение объема «критического ресурса (сырья) приводит к существенному увеличению Пример (увеличение объема критического ресурса) Увеличение объема «критического ресурса (сырья) приводит к существенному увеличению прибыли.

Задача о диете Задача о диете

Человек решил вести здоровый образ жизни в области своего питания. Требуется определить, какие продукты, Человек решил вести здоровый образ жизни в области своего питания. Требуется определить, какие продукты, и в каком количестве нужно включить в диету, чтобы она соответствовала всем медицинским требованиям и чтобы стоимость диеты была минимальна. Известны: - цены продуктов; - содержание питательных веществ в единице веса каждого продукта; - медицинские требования на содержание питательных веществ в суточной норме питания. Требуется определить состав суточной диеты при минимальных затратах.

Таблица для решения задачи о диете Таблица для решения задачи о диете

Для математической формулировки задачи введем следующие обозначения: bi , (i=1, 2, 3, …, m) Для математической формулировки задачи введем следующие обозначения: bi , (i=1, 2, 3, …, m) – минимальное содержание вещества номер i в суточной диете; a i, j , (i=1, 2, 3, …, m, j=1, 2, 3, …, n) – содержание вещества номер i в продукте номер j; cj , (j=1, 2, 3, …, n) – цена единицы продукта номер j.

Оптимизация портфеля ценных бумаг Оптимизация портфеля ценных бумаг

Портфель содержит несколько инвестиционных проектов, каждый из которых приносит различный доход. Существует возможность использовать Портфель содержит несколько инвестиционных проектов, каждый из которых приносит различный доход. Существует возможность использовать дополнительные ограничения для снижения риска потерь и правильного распределения капитала.

Модель кредитного союза Изменяемые значения b 1 - b 5 , а цель задачи Модель кредитного союза Изменяемые значения b 1 - b 5 , а цель задачи - максимизировать общий доход, указанный в ячейке D. В изменяемые ячейки введено начальное значение 1 000.

Ограничения 1 Сумма инвестиций в предприятия, торгующие новыми автомобилями, должна быть, по крайней мере, Ограничения 1 Сумма инвестиций в предприятия, торгующие новыми автомобилями, должна быть, по крайней мере, в 3 раза больше суммы инвестиций в предприятия, торгующие подержанными автомобилями, поскольку торговля подержанными автомобилями более рискованное дело. Ограничение записывается так: b 1>= b 2* 3 2. Ссуды на автомобили должны составлять, по крайней мере, 15% от полной суммы портфеля. Ограничение записывается так: b 1 >= 0, 15*S 3. Негарантированные ссуды должны составлять не более 25% от суммы портфеля. Ограничение записывается так: b 4<= 0, 25*S 4. Банковские кредиты должны составлять, по крайней мере, 10% от суммы портфеля. Ограничение записывается так: b 5>= 0, 1*S 5. Все инвестиции должны быть больше или равны нулю.

Транспортная задача Транспортная задача

Постановка задачи Постановка задачи

Требуется Составить план перевозок таким образом, чтобы запасы груза у поставщиков были вывезены, потребности Требуется Составить план перевозок таким образом, чтобы запасы груза у поставщиков были вывезены, потребности потребителей в продукции были удовлетворены, а суммарная стоимость перевозок была минимальна.

Задачи открытого типа необходимо привести к закрытой форме. Для этого используются следующие приемы. Задачи открытого типа необходимо привести к закрытой форме. Для этого используются следующие приемы.

Особенности транспортных задач 1. Распределению подлежат однородные ресурсы. 2. Условия задачи описываются только уравнениями. Особенности транспортных задач 1. Распределению подлежат однородные ресурсы. 2. Условия задачи описываются только уравнениями. 3. Все переменные выражаются в одинаковых единицах. 4. Во всех уравнения коэффициенты при неизвестных равны единице. 5. Каждая неизвестная величина встречается только в двух уравнения системы ограничений.

Пример Пример

Нулевой вариант решения Нулевой вариант решения

Оптимальный вариант решения Оптимальный вариант решения