Экономикоматематические методы Линейное программирование при решении задач оптимизации

Экономикоматематические методы Линейное программирование при решении задач оптимизации

Пусть дана функция n переменных. f(x 1, x 2, x 3, …, xn) Необходимо найти такие значения аргументов, при которых функция принимает наибольшее (например, максимально возможная прибыль) или наименьшее (минимальные издержки) значение. Аргументы функции принадлежат некоторому множеству: (x 1, x 2, x 3, …, xn) X f(x 1, x 2, x 3, …, xn)→min(max) Поставленная таким образом задача оптимизации называется задачей математического программирования. Множество X называется множеством допустимых решений. Функция f(x) – целевой функцией. Решение, при котором целевая функция принимает максимальное или минимальное значение, называется оптимальным решением задачи. Если функция f(X) является линейной относительно аргументов, а множество X задается с помощью линейных уравнений или неравенств, то задача называется задачей линейного программирования (ЗЛП).

Постановка задачи линейного программирования

Постановка задачи линейного программирования (краткая форма)

Оптимальное использование ресурсов

Предприятие выпускает n видов продукции, используя для этого m видов ресурсов (сырье, полуфабрикаты, энергетические ресурсы и т. п. ). Известны: - затраты каждого вида ресурсов на производство единицы каждого вида продукции: - прибыль от реализации единицы каждого вида продукции. Требуется построить план выпуска продукции таким образом, чтобы при заданных запасах ресурсов получить максимальную прибыль.

Для математической формулировки задачи введем следующие обозначения: bi , (I = 1, 2, 3, …, m) – запасы ресурса номер i; a i, j , (I = 1, 2, 3, …, m, j=1, 2, 3, …, n) – затраты ресурса номер i на производство продукции номер j; cj , (j = 1, 2, 3, …, n) – прибыль от реализации единицы продукции номер j. Обозначим через xj планируемый выпуск продукции номер j. В этом случае решением задачи будет вектор: X = (x 1, x 2, x 3, …, xn) Прибыль от реализуемой продукции составит: f(X) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 +…+ cn xn Расход ресурса номер i при заданном плане выпуска запишется в следующем виде: ri = ai, 1 x 1 + ai, 2 x 2 + ai, 3 x 3 + …+ ai, n xn

Математическая модель задачи

Для решения задачи строится таблица, в которую заносятся исходные данные

Пример (нулевой вариант)

Пример (оптимальный вариант) Из таблицы видно, что при полном использовании сырья остается еще резерв рабочей силы и работы оборудования. В этом смысле «сырье» является критическим ресурсом.

Пример (увеличение объема критического ресурса) Увеличение объема «критического ресурса (сырья) приводит к существенному увеличению прибыли.

Задача о диете

Человек решил вести здоровый образ жизни в области своего питания. Требуется определить, какие продукты, и в каком количестве нужно включить в диету, чтобы она соответствовала всем медицинским требованиям и чтобы стоимость диеты была минимальна. Известны: - цены продуктов; - содержание питательных веществ в единице веса каждого продукта; - медицинские требования на содержание питательных веществ в суточной норме питания. Требуется определить состав суточной диеты при минимальных затратах.

Таблица для решения задачи о диете

Для математической формулировки задачи введем следующие обозначения: bi , (i=1, 2, 3, …, m) – минимальное содержание вещества номер i в суточной диете; a i, j , (i=1, 2, 3, …, m, j=1, 2, 3, …, n) – содержание вещества номер i в продукте номер j; cj , (j=1, 2, 3, …, n) – цена единицы продукта номер j.

Оптимизация портфеля ценных бумаг

Портфель содержит несколько инвестиционных проектов, каждый из которых приносит различный доход. Существует возможность использовать дополнительные ограничения для снижения риска потерь и правильного распределения капитала.

Модель кредитного союза Изменяемые значения b 1 - b 5 , а цель задачи - максимизировать общий доход, указанный в ячейке D. В изменяемые ячейки введено начальное значение 1 000.

Ограничения 1 Сумма инвестиций в предприятия, торгующие новыми автомобилями, должна быть, по крайней мере, в 3 раза больше суммы инвестиций в предприятия, торгующие подержанными автомобилями, поскольку торговля подержанными автомобилями более рискованное дело. Ограничение записывается так: b 1>= b 2* 3 2. Ссуды на автомобили должны составлять, по крайней мере, 15% от полной суммы портфеля. Ограничение записывается так: b 1 >= 0, 15*S 3. Негарантированные ссуды должны составлять не более 25% от суммы портфеля. Ограничение записывается так: b 4<= 0, 25*S 4. Банковские кредиты должны составлять, по крайней мере, 10% от суммы портфеля. Ограничение записывается так: b 5>= 0, 1*S 5. Все инвестиции должны быть больше или равны нулю.

Транспортная задача

Постановка задачи

Требуется Составить план перевозок таким образом, чтобы запасы груза у поставщиков были вывезены, потребности потребителей в продукции были удовлетворены, а суммарная стоимость перевозок была минимальна.

Задачи открытого типа необходимо привести к закрытой форме. Для этого используются следующие приемы.

Особенности транспортных задач 1. Распределению подлежат однородные ресурсы. 2. Условия задачи описываются только уравнениями. 3. Все переменные выражаются в одинаковых единицах. 4. Во всех уравнения коэффициенты при неизвестных равны единице. 5. Каждая неизвестная величина встречается только в двух уравнения системы ограничений.

Пример

Нулевой вариант решения

Оптимальный вариант решения