ЭКОНОМИКОМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ (лекции – 18 часов, лабораторные – 54 часа, экзамен) Преподаватель: Ежеманская Светлана Николаевна
1 Введение в дисциплину «Экономико-математические методы» 1. 1 Основные понятия и определения Одним из основных методов исследования экономики является метод моделирования. Этот метод основан на принципе аналогии, то есть возможности изучения не самого исходного объекта, а некоторого искусственного созданного объекта – модели. Модель – некоторый объект способный заменить исследуемый с целью получения нового знания. 2
Экономико-математические модели 1 – модели, описывающие экономические процессы, объекты, связи с использованием математического аппарата, прежде всего математических соотношений, уравнений. Экономико-математические методы1 – применение математического аппарата, математических зависимостей для определения, расчета экономических показателей. 1 Борисов А. Б. Большой экономический словарь. – М. : Книжный мир, 2003 3
Экономико-математическое моделирование – описание социальноэкономических систем и процессов в виде экономико-математических моделей. Исходя из этого экономикоматематические методы следует понимать как инструмент, а экономикоматематические модели – как продукт процесса экономико-математического моделирования. 4
Практическими задачами экономикоматематического моделирования являются: – анализ экономических объектов и процессов; – экономическое прогнозирование, предвидение развития экономических процессов; – выработка управленческих решений на всех уровнях хозяйственной иерархии. 5
1. 2 Классификация экономикоматематических методов и моделей По степени агрегирования объектов моделирования различают модели: – микроэкономические (отражают функционирование экономики как единого целого); – макроэкономические (отражают функционирование экономики на уровне предприятий и фирм). 6
По учету фактора времени модели подразделяются на: – статические (все зависимости отнесены к одному моменту времени); – динамические (описывают экономические системы в развитии). По цели создания и применения различают модели: – балансовые; – эконометрические; – оптимизационные; – сетевые; – систем массового обслуживания; – имитационные (экспертные). 7
В балансовых моделях отражается требование соответствия наличия ресурсов и их использования. Параметры эконометрических моделей оцениваются с помощью методов математической статистики. Наиболее распространены эконометрические модели, представляющие собой системы регрессионных уравнений. Эконометрические модели используются для анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов с использованием реальной статистической информации. 8
Оптимизационные модели позволяют найти из множества возможных (альтернативных) вариантов наилучший вариант производства, распределения или потребления. Сетевые модели наиболее широко используются в управлении проектами. Сетевая модель отображает комплекс работ (операций) и событий и их взаимосвязь во времени. 9
Модели систем массового обслуживания создаются для минимизации затрат времени на ожидание в очереди и времени простоев каналов обслуживания. Имитационная модель наряду с машинными решениями содержит блоки, где решения принимаются человеком (экспертом). Экспертная система предназначена для решения одной или ряда задач методом имитации действий человека, эксперта в данной области. 10
По учету фактора неопределенности модели подразделяются на: – детерминированные (с однозначно определенными результатами); – стохастические (с различными, вероятностными результатами). По типу математического аппарата различают модели: – линейного и нелинейного программирования; – корреляционно-регрессионные; – матричные; – сетевые; – теории игр; – теории массового обслуживания и т. д. 11
1. 3 Постановка задачи оптимизации В достаточно общем виде математическую постановку задачи оптимизации можно сформулировать следующим образом: минимизировать (максимизировать) целевую функцию с учетом ограничений на управляемые переменные, то есть найти переменные x 1, x 2, …, xn, обращающие в минимум (или максимум) целевую функцию Z = f(x 1, x 2, …, xn) → min (max) (1) и удовлетворяющие системе неравенств (уравнений) φi(x 1, x 2, …, xn) ≤ bi, i = 1, 2, …, m. (2) 12
Для того чтобы корректно поставить задачу оптимизации необходимо задать: – допустимое множество (множество, на котором выполняются все ограничения задачи) X = {(x 1, x 2, …, xn)│φi(x 1, x 2, …, xn) ≤ bi, i = 1, 2, …, m} Rn, то есть установить возможные ограничения, которые должны накладываться на переменные; – целевую функцию Z = f(x 1, x 2, …, xn) – отображение f: Rn R; – критерий поиска (max или min). Задачу на поиск максимума Z = f(x 1, x 2, …, xn) → max всегда можно заменить задачей на поиск минимума F = –f(x 1, x 2, …, xn) → min. 13
1. 4 Классификация задач оптимизации Общая постановка задачи оптимизации задаёт большое разнообразие классов задач. Классификация зависит от вида целевой функции и допустимой области. Если допустимое множество X = Rn, то такая задача называется задачей безусловной оптимизации, в противном случае – задачей условной оптимизации. 14
В зависимости от управляющих параметров различают следующие задачи: – оптимизация при одной управляющей переменной – одномерная оптимизация, – оптимизация при нескольких управляющих переменных – многомерная оптимизация. В зависимости от критерия оптимизации различают: – с одним критерием оптимизации – однокритериальная оптимизация, – со многими критериями – многокритериальная оптимизация. 15
Если целевая функция и функции φi в системе ограничений (2) линейны, то такая задача является задачей линейного программирования. Если, исходя из смысла задачи, её решениями должны быть целые числа, то это задача целочисленного линейного программирования. Если целевая функция и (или) функции в системе ограничений (2) не линейны, то имеем задачу нелинейного программирования. В частности, если указанные функции обладают свойствами выпуклости, то полученная задача является задачей выпуклого программирования. 16
Если в задаче (1)–(2) имеется переменная времени и целевая функция выражается не в явном виде как функция переменных, а косвенно – через уравнения, описывающие протекание операции во времени, то такая задача является задачей динамического программирования. Если функции f и φi в задаче (1)–(2) зависят от параметров, то получаем задачу параметрического программирования, если эти функции носят случайный характер, – задачу стохастического программирования. От класса задачи зависит подбор метода её решения. 17
2 Модели линейного программирования Из рассмотренных оптимизационных задач наиболее распространенной является задача линейного программирования. Линейное программирование – математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств. 18
2. 1 Общая постановка задачи линейного программирования Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения целевой функции (3) при ограничениях (4) (5) (6) где aij, bi, ci – заданные постоянные величины и k ≤ m, l ≤ n. 19
Функция (3) называется целевой функцией задачи (3)–(6), а условия (4)–(6) называются ограничениями данной задачи. Стандартной (или симметричной) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции (3) при выполнении условий (4) –(6), где k = m и l = n (все переменные неотрицательны и система ограничений состоит из одних неравенств). 20
Канонической (или основной) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции (3) при выполнении условий (4)–(6) где k = 0 и l = n (все переменные неотрицательны и система ограничений состоит из одних равенств). Совокупность чисел x = (x 1, …, xn), удовлетворяющих ограничениям задачи (4)–(6), называется допустимым решением (или планом). 21
План , при котором целевая функция (3) принимает свое максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным. Любая задача линейного программирования может быть сведена к канонической, стандартной или общей задаче. Все три формы задачи линейного программирования эквивалентны в том смысле, что каждая из них с помощью несложных преобразований может быть переписана в форме другой задачи. 22
Скачать презентацию ЭКОНОМИКОМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ лекции 18 часов лабораторные
ЭММ Лекция 1.ppt