Экономико-математические модели Тема 1. Модели потребления ssp@ugrasu. ru 1
Тема 1. Потребитель и его поведение § 3. Модель поведения потребителя. Постановка задачи. Точка спроса. Функция Лагранжа. Функция спроса. Неоклассическая модель потребления (маржинализм) Потребитель ограничен в выборе товаров, поскольку: • Имеет фиксированный доход I; • Цены на товары p диктуются рынком В рамках маржинализма считается, что равновесие на рынке (между потребителями и производителями) регулируется свободной конкуренцией. ssp@ugrasu. ru 2
§ 3. Модель поведения потребителя Задача рационального потребления: Оптимизация выбора набора товаров x при заданном отношении предпочтения и бюджетном ограничении. Какие товары (услуги) и в каком количество потребитель имеет возможность приобрести при заданных ценах и известном доходе с учетом собственных предпочтений ssp@ugrasu. ru 3
§ 3. Модель поведения потребителя Формализуем данную постановку. 1. Предпочтения моделируем функцией полезности. Естественно выбирать такой набор x*, чтобы значение функции полезности было максимальным 2. Бюджетное ограничение означает: ssp@ugrasu. ru 4
§ 3. Модель поведения потребителя Схематически задача РПП записывается так: Задача математического программирования ssp@ugrasu. ru 5
§ 3. Модель поведения потребителя В развернутом виде задача формулируется так: ssp@ugrasu. ru 6
§ 3. Модель поведения потребителя Определение. Набор x*=(x*1, x*2, …, x*n), который дает максимум функции полезности при заданных ограничениях, называют локальным рыночным равновесием, или точкой спроса, или точкой потребителя ssp@ugrasu. ru 7
§ 3. Модель поведения потребителя Теорема. Если функция полезности u(x) непрерывна, то решение задачи потребителя (3. 1. ) существует и любая точка максимума лежит на границе бюджетного множества. Доказательство. Поскольку u(x) непрерывная функция, а бюджетное множество ограничено и замкнуто, то по теореме Вейерштрасса она достигает на нем своего максимума, т. е. решение существует. Предположим, что точка максимума не лежит на границе , тогда px*<I. В этом случае потребитель обладает неиспользованными деньгами в количестве -px*>0, значит он может их потратить на приобретение набора z, причем z>0 и pz≤ I-px*. Рассмотрим набор y=x*+z , в силу выбора набора z имеет место, что y принадлежит бюджетному множеству , т. к. py=p(x*+z)=px*+pz ≤px*+I-px*=I, при этом u(y)>u(x*) противоречие с тем, что I x* точка максимума. Теорема доказана. ssp@ugrasu. ru 8
§ 3. Модель поведения потребителя ssp@ugrasu. ru 9
§ 3. Модель поведения потребителя В силу доказанной теоремы задача РПП имеет вид: ssp@ugrasu. ru 10
§ 3. Модель поведения потребителя Теорема 3. 2. Если функция полезности u(x) строго вогнутая, то решение задачи (3. 1. ) единственное. Доказательство: Предположим, что существует два решение x* и y*…, (свойство 2 функции полезности, вогнутость) ssp@ugrasu. ru 11
§ 3. Модель поведения потребителя Задача нахождения точки спроса можно решить с помощью функции Лагранжа (задача на условный экстремум). Составим функцию Лагранжа: ssp@ugrasu. ru 12
§ 3. Модель поведения потребителя Необходимые (и достаточные) условия локального максимума: ssp@ugrasu. ru 13
§ 3. Модель поведения потребителя Система (3. 3) состоит из n+1 уравнений с (n+1) неизвестными Из соотношений (3. 3. ) нетрудно получить ряд важных следствий. ssp@ugrasu. ru 14
§ 3. Модель поведения потребителя 1. Геометрическая интерпретация решения ssp@ugrasu. ru 15
§ 3. Модель поведения потребителя Исключим множитель Лагранжа из системы (3. 3. ): 2. Закон Джевонса ssp@ugrasu. ru 16
§ 3. Модель поведения потребителя Закон Джевонса Потребитель, стремясь максимизировать полезность доступных ему наборов, приобретает такой набор, для которого отношение предельных полезностей отдельных товаров пропорционально отношению их рыночных цен. В терминах предельной нормы замещения получаем, что: ssp@ugrasu. ru 17
§ 3. Модель поведения потребителя 3. Множитель Лагранжа , равный отношению предельной полезности к цене, измеряется в полезности товара на одну денежную единицу (руб) ssp@ugrasu. ru 18
§ 3. Модель поведения потребителя Таким образом, полезность на один руб. одна и та же для всех товаров. Поэтому множитель Лагранжа интерпретируют как предельную полезность дохода и называют предельной полезностью денег ssp@ugrasu. ru 19
§ 3. Модель поведения потребителя Цена определяется не пользой ресурса, а его предельной полезностью. Этим, например, удалось объяснить парадокс «вода-алмаз» ssp@ugrasu. ru 20
§ 3. Модель поведения потребителя Функция спроса. Из системы уравнений (3. 3) находим решение x*1, x*2, …, x*n, λ*. Можно доказать, что при фиксированной функции полезности, это решение являются функцией вектора цен p и дохода I. ssp@ugrasu. ru 21
§ 3. Модель поведения потребителя Уравнения (3. 5) называются функциями спроса индивидуума на каждый товар. Можно считать, что все функции имеют непрерывные частные производные (функциями спроса Маршалла). Важное свойство – однородность нулевой степени. Это вытекает из постановки задачи: пропорциональное изменение цен и дохода не влияет на бюджетное множество и значение функции полезности. ssp@ugrasu. ru 22
§ 3. Модель поведения потребителя Выбрав какой-либо товар, например 1, в качестве «единицы счета» и полагая ά=1/p 1, функцию спроса можно записать: ssp@ugrasu. ru 23
§ 3. Модель поведения потребителя ssp@ugrasu. ru 24
§ 3. Модель поведения потребителя Пример. Найти функции спроса на товары x 1 и x 2 , если функция полезности u(x)= x 1 x 2, вектор цен p и доход I. Возможные темы рефератов. Модели потребительского выбора: модель Стоуна, модель Торнквиста. ssp@ugrasu. ru 25
§ 3. Модель поведения потребителя Задача, связанная с задачей РП –(3. 1) Выбор потребителя при заданной полезности Потребитель желает выбрать из множества одинаково полезных наборов такой, который является самым дешевым, т. е. минимизирует его расходы при заданных ценах на товары. Метод Лагранжа. ssp@ugrasu. ru 26
§ 4. Уравнение Слуцкого. Для изучения чувствительности решения задачи РПП (3. 1) x*(p, I) к изменениям параметров p и I применяют метод сравнительной статики. Функции спроса Маршалла Как реагирует выбор товара потребителем на изменение цены товара? Естественно было бы полагать, что с ростом цены на товар спрос на него упадет. Однако… ssp@ugrasu. ru 27
§ 4. Уравнение Слуцкого Например: Спрос на яблоки при росте их цены уменьшается. Но что можно сказать о семье, выращивающей яблоки на продажу? Доход этой семьи увеличивается, Смогут позволить себе потреблять больше яблок. Для потребителей, являющихся членами этой семьи, рост цены яблок приводит к увеличению потребления яблок. Другой пример: оплата увеличилась с 10$ в час до 10000$ в час? Буду я брать больше часов? ssp@ugrasu. ru 28
§ 4. Уравнение Слуцкого Пусть цены изменились. Например, При изменении цены товара имеет место два рода эффектов: • изменяется пропорция, в которой вы можете обменять один товар на другой - эффект замещения; • изменяется общая покупательная способность вашего дохода - эффект дохода; ssp@ugrasu. ru 29
§ 4. Уравнение Слуцкого «Поворот-сдвиг» два этапа: 1. Изменяем относительные цены, и корректируем денежный доход, чтобы покупательная способность оставалась постоянной; 2. Изменяем покупательную способность, сохраняя при этом относительные цены постоянными. ssp@ugrasu. ru 30
§ 4. Уравнение Слуцкого ssp@ugrasu. ru 31
§ 4. Уравнение Слуцкого Первый этап – «поворот» , при котором изменяются относительные цены, и корректируется денежный доход, чтобы покупательная способность оставалась постоянной описывается выражением: Происходит компенсированное изменение цены ssp@ugrasu. ru 32
§ 4. Уравнение Слуцкого Эффект замещения Эффект дохода ssp@ugrasu. ru 33
§ 4. Уравнение Слуцкого Второй этап – «сдвиг» , при котором изменяются покупательная способность описывается производной: ssp@ugrasu. ru 34
«Поворот-сдвиг» для случая когда цена увеличивается ssp@ugrasu. ru 35
§ 4. Уравнение Слуцкого Указанные величины связывает уравнение Слуцкого или основное уравнение теории ценности: ssp@ugrasu. ru 36
§ 4. Уравнение Слуцкого Различные типы товаров. ssp@ugrasu. ru 37
§ 4. Уравнение Слуцкого Два товара j и i называются: ssp@ugrasu. ru 38
§ 4. Уравнение Слуцкого Пример. Пусть функция полезности на молоко x 1 и овсяную кашу x 2 имеет вид u(x)= x 1*x 2, , вектор цен p=( 3; 6), доход I=120. Найти функции спроса , рассчитать эффект замены и эффект дохода, если цена молока падает до 2 -х денеж. единиц ssp@ugrasu. ru 39
Тема 1. Модели потребления КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ к теме 1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. Проблема рационального ведения хозяйства Пространство товаров Отношение равной стоимости. Пусть вектор цен (2; 3). Построить класс наборов: 1) стоимости 30; 2)стоимости 60. Бюджетное множество. Граница бюджетного множества Отношение предпочтения. Аксиомы слабого предпочтения Множества предпочтительности, непредпочтительности, поверхность безразличия Функция общей полезности (ФОП), свойства ФОП Полезность товара, предельная полезность Предельная норма полезности При каких α и β, функция Кобба-Дугласа является функцией полезности? Эластичностью замещения Свойства линий безразличия Задача рационального потребления Теорема о существовании решения задачи потребителя Теорема единственности решения задачи потребителя Геометрическая иллюстрация решения задачи потребителя Точка спроса, ее нахождение Закон Джевонса Функция спроса Интерпретация множителя Лагранжа Уравнение Слуцкого. Метод сравнительной статики. «Поворот-сдвиг» Эффект замещения и эффект дохода. Различные типы товаров ssp@ugrasu. ru 40
Скачать презентацию Экономико-математические модели Тема 1 Модели потребления ssp ugrasu ru
ЭММ_2_Потребление.ppt