Экономико-математические модели рационального использования ресурсов предприятия продолжение

Экономико-математические модели рационального использования ресурсов предприятия (продолжение)

3. Транспортная задача

Под названием «транспортная задача» объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Классическая транспортная задача – задача о наиболее экономном плане перевозок однородного продукта или взаимозаменяемых продуктов из пунктов производства в пункты потребления, встречается чаще всего в практических приложениях линейного программирования.

Огромное количество возможных вариантов перевозок затрудняет получение достаточно экономного плана эмпирическим или экспертным путем. Применение математических методов и вычислительных в планировании перевозок дает большой экономический эффект. Транспортные задачи могут быть решены симплексным методом однако матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его получить оптимальное решение.

3. 1 Общая постановка транспортной задачи • • Для составления экономико-математической модели задачи введем обозначения: n число пунктов отправления; m число пунктов назначения; ai бщее количество груза в i м пункте отправления; о bi бщее количество груза, необходимое в j м пункте о назначения; cij атраты на транспортировку единицы груза из i го з пункта отправления в j й пункт назначения; Z овокупные затраты на перевозку всего груза; с xij сходно неизвестное количество груза, которое и перевозится из i го пункта отправления в j й пункт назначения.

Экономико-математическая модель задачи представлена формулами:

Целевая функция минимизирует совокупные затраты на транспортировку всех партий грузов из всех пунктов отправления во все пункты назначения. Система ограничений (1) говорит о том, что весь груз из каждого пункта его сосредоточения должен быть вывезен. Система ограничений (2) говорит о том, что потребность в грузе в каждом пункте назначения должна быть удовлетворена. Система ограничений (3) говорит о том, что по любому маршруту некоторое количество груза либо перевозится, либо нет.

Транспортная задача является задачей линейного программирования с (n+m) ограничениями уравнениями и (n*m) неизвестными. Транспортная задача, у которой суммарное наличие груза совпадает с суммарной потребностью, т. е. выполняется равенство называется закрытой (сбалансированной) транспортной задачей:

Открытые транспортные задачи m ≠ n (суммарный запас продукции, имеющейся у поставщиков, не совпадает с суммарной потребностью в продукции у потребителей. ) Открытую ТЗ сводят к закрытой ТЗ путем прибавления к суммарному запасу продукции или суммарной потребности продукции недостающих единиц до равенства суммарного запаса продукции и суммарной потребности продукции.

Приведем прием решения транспортной задачи с помощью средства «Поиск решения» EXCEL. Поставщики Мощности поставщиков (ai) Мощности потребителей (bj) 250 100 150 50 1 80 6 6 1 4 2 320 8 30 6 5 3 100 5 4 3 30 4 50 9 9

Условия по задаче: В примере однородный груз должен быть доставлен от четырех поставщиков (n=4) четырем потребителям (m=4). Мощности поставщиков (ai) и потребность в этом грузе в каждом пункте назначения (bj) приведены в таблице. В левых нижних углах каждой клетки рабочей таблицы, которые соответствуют всем возможным путям перевозки груза из всех пунктов отправления во все пункты назначения, указаны затраты на транспортировку единицы груза по данному маршруту (cij). Суммарные запасы груза (550) и потребности в грузе (550) совпадают, значит это закрытая транспортная задача. Требуется составить план перевозок, обеспечивающий минимальные затраты на транспортировку всего груза.

3. 2 Подготовка к решению транспортной задачи в EXCEL

Для решения задачи средством EXCEL «Поиск решения» необходимо разместить в рабочем листе исходные данные и подготовить поля для размещения условий и результатов решения задачи (выбор ячеек листа произвольный). На следующем рисунке приведен пример подготовки данных на рабочем листе EXCEL для решения этой задачи.

Рекомендуется следующий порядок работы в рабочем листе: 1. Выделить диапазон ячеек: − для размещения исходной матрицы (A 14: E 19); − для размещения матрицы оптимальных перевозок (матрица для размещения результатов после решения задачи) (A 4: F 9), рекомендуется для наглядности в обе матрицы внести текст пояснений; 2. Матрицу исходных данных (A 14: E 19) заполнить исходными данными таблицы (значения ai, bj, cij).

Продолжение 3. В матрице результата во все ячейки диапазона (B 6: E 9) внести « 1» в качестве исходных значений объемов поставок xij, после решения задачи в этих ячейках будут находиться значения поставок, обеспечивающие минимальные затраты на перевозку груза; 4. Ввести в ячейки (В 10: Е 10) итог поставок по потребителям: в ячейку В 10 ввести формулу =СУММ(В 6: В 9) − итог поставок по 1 му потребителю, скопировать эту формулу в ячейки(С 10: Е 10);

• 5. Ввести в ячейки (F 6: F 9) итоги реализации мощности каждого из поставщиков: в ячейку F 6 ввести формулу =СУММ(В 6: Е 6) − итог реализации поставок от 1 го поставщика, скопировать эту формулу в ячейки (F 7: F 9); • 6. Выделить ячейку для ввода формулы целевой функции, например В 21 и ввести формулу = СУММПРОИЗВ(В 16: Е 19; В 6: Е 9) − суммарная стоимость перевозок по всем направлениям. • 7. В рабочем окне режима «Поиск решения» указать в качестве ячейки целевой функции В 21, при вводе ограничений делать ссылку на отведенные диапазоны (см. данные таблицы)

Вид ограничений в окне «Поиск решения» Левая часть ограничения Знак Правая часть ограничения Экономический смысл (В 10: Е 10) = (В 15: Е 15) Спрос потребителей должен быть удовлетворен (F 6: F 9) = (А 16: А 19) Весь груз от поставщиков должен быть вывезен

Полученное решение