Экономико-математические методы и модели в социально-экономических

• Экономико-математические методы и модели в социально-экономических исследованиях • (часть 2)

• Необходимо вычислить суммы в этом уравнении. Σ х 8 10 12 14 16 60 у ху 132 1056 2040 292 3504 396 5544 516 8256 1540 20400 уx 2 x 2 x 2 x 3 8448 64 512 20400 1000 42048 144 1728 77616 196 2744 132096 256 4096 280608 760 10080 x 4 4096 10000 20736 38416 65536 138784

a 760 10080 138784 b 60 760 10080 c 5 60 760 1540 20400 280608

∆a 1540 20400 280608 60 760 10080 5 60 760 ∆b 760 10080 138784 1540 20400 280608 5 60 760 ∆c 760 10080 138784 60 760 10080 1540 20400 280608

• ∆a =1540 × 760 +280608 × 60 + 20400× 10080 × 5 - 280608 × 760× 5 -760× 20400× 60 – 60 × 10080 × 1540 = -89600 • ∆b = 0 • ∆c = -179200 • a = 2; • b = 0; • c = 4. •

Прогнозирование с учетом сезонной вариации. Аддитивная модель • Под сезонной вариацией понимается повторение данных, полученных в результате наблюдений, через небольшой промежуток времени. Под термином «сезон» можно понимать как день, неделю, так и месяц и квартал.

• Если повторение результатов наблюдений происходит за более длительный промежуток времени, то говорят уже о циклической вариации. Остановимся на рассмотрении сезонной вариации и подходов к прогнозированию с учетом этого явления.

• Известны две различные модели сезонности: аддитивная и мультипликативная. • В аддитивной модели сезонность выражается как определенное количество, добавляемое или вычитаемое из трендового значения с целью учесть сезонные факторы. • В мультипликативной модели сезонность учитывается как процент от трендового значения.

f Аддитивная модель +∆ -∆ t

f Мультипликативная модель А C В D • A / B ≥ 1; D /C ≤ 1. t

• предлагается аппроксимировать периодический процесс функцией • y=at+b+c sin 2πt/T или • y=at+b+c cos 2πt/T.

• Для выбранной функции можно записать нормальные уравнения для определения коэффициентов по методу наименьших квадратов. Это нетрудно сделать обычным способом, составив вспомогательную функцию

• Приравняв нулю её частные производные по a, b, с и Т, приходим к следующим нормальным уравнениям, решение которых в системе определит значения a, b, c и Т:

Нормальные уравнения для аппроксимации периодической функции

• Последнее уравнение в этой системе усложняет её решение. Решение этой системы можно существенно упростить, исключив последнее уравнение.

• По имеющимся данным можно построить график процесса и определить период T. Такой подход известен. Однако, при определении периода Т по графику возможна (если не неизбежна) ошибка.

• Эта ошибка может быть исправлена позднее путем подбора периода по минимуму оценки погрешности прогноза.

• Тогда система примет вид:

• Система легко решается по теореме Крамера, т. е. вычислением определителей. • Далее производится оценка средней относительной погрешности в %. • Вычисления повторяются при чуть большем значении периода и при чуть меньшем значении (например на единицу). • Там, где погрешность будет наименьшей, значение периода будет наиболее близким к истинному.

• Пример. • Пусть мы имеем следующие наблюдения об объемах продаж: Квартал Объем продаж 1 6 2 9 3 5 4 7 5 14 6 12 7 10 8 13 9 17 10 20 11 21

• Пример. • Пусть мы имеем следующие наблюдения об объемах продаж: Квартал (х) 1 Объем 6 продаж (у) 2 9 3 5 4 7 5 14 6 12 7 10 8 13 9 17 10 20 11 21

• Тогда система примет вид:

График функции

• Положим период равным 4 исходя из графика.

x xy x 2 1 6 6 1 1 6 2 9 18 4 1, 23 E-16 1, 5 E-32 2, 45 E-16 1, 1 E-15 3 5 15 9 -1 1 -3 -5 4 7 28 16 -2, 5 E-16 6 E-32 5 14 70 25 1 1 6 12 72 36 7 10 70 49 -1 1 8 13 104 64 -4, 9 E-16 2, 4 E-31 9 17 153 81 1 1 10 20 200 11 Σ y sin 2 x sin y sin (2πx/T) 21 231 121 -11 -21 66 134 967 506 0 6 -6 1 -9, 8 E-16 -1, 7 E-15 5 14 3, 68 E-16 1, 35 E-31 2, 21 E-15 4, 41 E-15 -7 -10 -3, 9 E-15 -6, 4 E-15 9 17 6, 13 E-16 3, 75 E-31 6, 13 E-15 1, 23 E-14

• Уравнения примут вид: • • • 66 a + 11 b + 0×c = 134 506 a + 66 b – 6 = 967 -6 a + 0 + 6 = 1 • Решаем методом Крамера

a b c 1, 576923 2, 72028 1, 74359 • Уравнение функции будет: • y=1, 58 x+2, 72+1, 74 sin 2πx/4

График функции:

x ∆ ∆/y 6 6, 04 0, 666667 2 9 5, 88 3, 12 34, 66667 3 5 5, 72 0, 72 14, 4 4 7 9, 04 29, 14286 5 14 12, 36 1, 64 11, 71429 6 12 12, 2 0, 2 1, 666667 7 10 12, 04 20, 4 8 13 15, 36 2, 36 18, 15385 9 17 18, 68 1, 68 9, 882353 10 20 18, 52 1, 48 7, 4 11 Σ/11 Y 1 Σ y 21 18, 36 2, 64 12, 57143 17, 96 160, 6648 1, 632727 14, 60589