Скачать презентацию Экономико математические методы и модели в Скачать презентацию Экономико математические методы и модели в

Лекция 4 ЭММ ч2.ppt

  • Количество слайдов: 90

• Экономико математические методы и модели в социально экономических исследованиях • (часть 2) • Экономико математические методы и модели в социально экономических исследованиях • (часть 2)

Принятие решений при наличии связей • Каждый день люди вольно или невольно принимают множество Принятие решений при наличии связей • Каждый день люди вольно или невольно принимают множество разнообразных решений. То, какие решения мы примем, зависит от наших суждений о конкретных условиях и обстоятельствах, в которых мы живем, и зачастую – от суждений других людей.

• В зависимости от степени важности принимаемого решения приходится осмысливать большее или меньшее • В зависимости от степени важности принимаемого решения приходится осмысливать большее или меньшее количество информации – причин и их последствий, близких и отдаленных. • Ряд причин могут взаимно влиять друг на друга, усиливая или ослабляя влияние на исход принятого решения. • Это осложняет само принятие решения.

• Все решения должны приниматься в какие то разумные временные сроки. Слишком поспешное • Все решения должны приниматься в какие то разумные временные сроки. Слишком поспешное решение может оказаться ошибочным со всеми вытекающими из этого последствиями. Затягивание с принятием решения может означать упущенную возможность.

• Значительно упростить выбор того или иного решения и добиться большей точности в • Значительно упростить выбор того или иного решения и добиться большей точности в предвидении конечного результата можно, если формализовать математически процесс принятия решения. Для этого надо научиться измерять, т. е. сравнивать между собой степени влияния на результат отдельных причин и их совокупностей.

Измерения и согласованность. • Предположим, что имеется некоторое семейство предметов (например, камней) S 1, Измерения и согласованность. • Предположим, что имеется некоторое семейство предметов (например, камней) S 1, … , Sn, каждый из которых легок настолько, что его нетрудно удержать в руке, и требуется оценить их относительные веса в отсутствие взвешивающего прибора. • Считается, что существует два вида сравнений: абсолютные и относительные.

• Первый состоит в том, чтобы определить (угадать) вес каждого предмета, взяв за • Первый состоит в том, чтобы определить (угадать) вес каждого предмета, взяв за единицу измерения (эталон) самый маленький, а значит и самый легкий. Это потребует (n – 1) сравнений.

• Второй способ состоит в сравнении весов всевозможных пар предметов: сначала мы сравниваем • Второй способ состоит в сравнении весов всевозможных пар предметов: сначала мы сравниваем вес предмета S 1 с весами предметов S 2, …, Sn, затем вес предмета S 2 с весами предметов S 3, …, Sn и т. д. до тех пор, пока у нас не сформируется суждение об относительном весе (отношении весов) для каждой пары предметов. • В этом случае общее число необходимых сравнений оказывается равным n (n 1) / 2.

• Согласованность измерений является весьма важной их характеристикой. Согласованность подразумевает при сравнении предметов • Согласованность измерений является весьма важной их характеристикой. Согласованность подразумевает при сравнении предметов по весу не просто результат типа: если A тяжелее В, и В тяжелее С, то А тяжелее С, а точный количественно результат: если A − в 1, 5 раза тяжелее В, а В − в 2 раза тяжелее С, то А − в 1, 5 2 = 3 раза тяжелее С.

• Идеальные измерения. Предположим идеальную ситуацию, предположив, что мы знаем идеально точные веса • Идеальные измерения. Предположим идеальную ситуацию, предположив, что мы знаем идеально точные веса камешков. Обозначим эти веса как • w 1, …, wn • соответственно.

• Отношение • • aik = wi / wk , i , k • Отношение • • aik = wi / wk , i , k = 1, …, n • показывает, во сколько раз вес i–го камешка Si больше веса k го камешка Sk.

• Запишем соотношения (6. 1) в виде квадратной матрицы n × n и • Запишем соотношения (6. 1) в виде квадратной матрицы n × n и назовем эту матрицу идеальной матрицей сравнений. w 1/ w 1 А = w 1 / w 2 … w 1/ wn w 2/ w 1 w 2 / w 2 … w 2 / wn … … wn/ w 1 wn / w 2 wn / wn

Проанализируем некоторые свойства этой матрицы. • 1. Для любого i справедливо равенство аii = Проанализируем некоторые свойства этой матрицы. • 1. Для любого i справедливо равенство аii = 1 (элемент матрицы А, расположенный на пересечении i й строки и i гo столбца, равен единице). • 2. Для любых i и k справедливо равенство a ki = 1 / a ik (произведение элемента матрицы А, расположенного на пересечении i й строки и k го столбца, на элемент матрицы А, расположенный на пересечении k й строки и i го столбца, равно единице).

• 3. Для любых i, k и m справедливо равенство aik akm = • 3. Для любых i, k и m справедливо равенство aik akm = aim (произведение элемента матрицы А. расположенного в i й строке и k м столбце, на элемент матрицы А, расположенный в k й строке и m м столбце, равно элементу матрицы А, расположенному в i й строке и m м столбце). • 4. Столбец w 1 W = … wn • является собственным столбцом матрицы А с собственным значением λ = n.

• В самом деле, w 1/w 1 A W = w 1/w 2 • В самом деле, w 1/w 1 A W = w 1/w 2 … w 1 w 2/w 2 w 1 … … … wn/w 1 … wn/wn wn/w 2 … w 1/wn w 1/w w 2 n nw 1 = w 1 nw =n w 2 = n. A 2 … … nwn wn

Обратно симметричные и согласованные матрицы. Индекс согласованности • Рассмотрим теперь квадратную положительную матрицу порядка Обратно симметричные и согласованные матрицы. Индекс согласованности • Рассмотрим теперь квадратную положительную матрицу порядка n a 11 … A = a 1 k … … … ain … ank … … … a 1 n … aik ai 1 an 1 … ann

• Матрица А называется обратносимметричной, если для любых i и k выполняется соотношение • Матрица А называется обратносимметричной, если для любых i и k выполняется соотношение • a ki = 1 / a ik. • • Из этого, в частности, следует, что • • a ii = 1.

• Матрица А называется согласованной, если для любых i, k и l выполнено • Матрица А называется согласованной, если для любых i, k и l выполнено равенство • a ik a kl = ail. • • Сравнивая свойства идеальной матрицы сравнения с приведенными определениями, приходим к выводу, что идеальная матрица сравнений — обратно симметричная и согласованная.

• Справедливо следующее утверждение. • Теорема. Положительная обратно симметричная матрица является согласованной тогда • Справедливо следующее утверждение. • Теорема. Положительная обратно симметричная матрица является согласованной тогда и только тогда, когда порядок матрицы и ее наибольшее собственное значение совпадают: λ max = n.

• Индекс согласованности. • Если элементы положительной обратно симметричной согласованной матрицы А изменить • Индекс согласованности. • Если элементы положительной обратно симметричной согласованной матрицы А изменить незначительно ( «пошевелить» ), то максимальное собственное значение λmах также изменится незначительно. • Пусть А − произвольная положительная обратно симметричная матрица и λmах − ее наибольшее собственное значение.

• • • Если λmах = n, то матрица А — согласованная. Если • • • Если λmах = n, то матрица А — согласованная. Если λmах ≠ n (всегда λmах ≥ n), то в качестве степени отклонения положительной обратно симметричной матрицы А от согласованной можно взять отношение • λmax – n / n – 1 • которое называется индексом согласованности (ИС) матрицы А и является показателем близости этой матрицы к согласованной.

• Замечание. • Считается, что если ИС не превышает 0, 10, то можно • Замечание. • Считается, что если ИС не превышает 0, 10, то можно быть удовлетворенным степенью согласованности суждений.

Вычисление собственных характеристик обратно симметричной матрицы • как находить наибольшее собственное значение λmах положительной Вычисление собственных характеристик обратно симметричной матрицы • как находить наибольшее собственное значение λmах положительной обратно симметричной матрицы. • 1 -й способ: • суммируем элементы каждой строки и записываем полученные результаты в столбец; • складываем все элементы найденного столбца; • делим каждый из элементов этого столбца на полученную сумму.

• 2 -й способ: • суммируем элементы каждого столбца и записываем полученные результаты • 2 -й способ: • суммируем элементы каждого столбца и записываем полученные результаты в столбец; • заменяем каждый элемент построенного столбца на обратный ему; • складываем элементы столбца из обратных величин; • делим каждый из этих элементов на полученную сумму.

• • 3 -й способ: суммируем элементы каждого столбца; делим элементы каждого столбца • • 3 -й способ: суммируем элементы каждого столбца; делим элементы каждого столбца на их сумму; складываем элементы каждой строки полученной матрицы; • записываем результаты в столбец; • делим каждый из элементов последнего столбца на порядок исходной матрицы п.

• 4 -й способ: • перемножаем элементы каждой строки и записываем получен ные • 4 -й способ: • перемножаем элементы каждой строки и записываем получен ные результаты в столбец; • извлекаем корень n й степени из каждого элемента найденного столбца; • складываем элементы этого столбца; • делим каждый из этих элементов на полученную сумму.

• 5 -й способ: • 1)возводим матрицу парных сравнений в достаточно высокую степень; • 5 -й способ: • 1)возводим матрицу парных сравнений в достаточно высокую степень; • 2)суммируем элементы каждой строки и записываем полученные результаты в столбец; • 3)складываем элементы этого столбца; • 4)делим каждый из этих элементов на полученную сумму.

• Следует пояснить, что такое достаточно высокая степень. С увеличением степени будет расти • Следует пояснить, что такое достаточно высокая степень. С увеличением степени будет расти точность вычисления собственного вектора матрицы. Как только точность вычислений будет удовлетворять наперед заданной величине, степень можно считать достаточной.

• Каждый из этих способов, будучи примененным к идеальной матрице, приводит к одному • Каждый из этих способов, будучи примененным к идеальной матрице, приводит к одному и тому же точному результату.

• Замечание. • Описанные первые 4 способа приближенного вычисления собственного столбца матрицы эффективны • Замечание. • Описанные первые 4 способа приближенного вычисления собственного столбца матрицы эффективны лишь для обратно симметричных матриц, достаточно близких к согласованным. Последний, пятый способ можно использовать в любых случаях.

• Пример 1. Рассмотрим обратно симметричную матрицу 4 го по рядка 1 4 • Пример 1. Рассмотрим обратно симметричную матрицу 4 го по рядка 1 4 5 6 1/4 1 3 5 1/3 1 3 1/6 1/5 1/3 1 • и вычислим приближенно ее собственный столбец всеми пятью способами.

• 1 й способ (указаны результаты каждого шага): 16, 00 1) 9, 25 • 1 й способ (указаны результаты каждого шага): 16, 00 1) 9, 25 0, 51 , 2) 31, 48 3) 0, 29 4, 53 0, 14 1, 70 0, 05

• 2 й способ (указаны результаты каждого шага): 1, 62 1) 5, 53 • 2 й способ (указаны результаты каждого шага): 1, 62 1) 5, 53 0, 64 2) 31, 48 3) 0, 98 4) 0, 19 9, 33 0, 11 15, 00 0, 07

• 3 й способ: • После 1 го и 2 го шагов получаем • 3 й способ: • После 1 го и 2 го шагов получаем матрицу 0, 62 0, 72 0, 54 0, 40 0, 15 0, 18 0, 32 0, 33 0, 12 0, 06 0, 11 0, 20 0, 10 0, 04 0, 07

• в результате 3 го и 4 го шагов получим столбец 2, 28 • в результате 3 го и 4 го шагов получим столбец 2, 28 0, 99 0, 49 0, 24

• и окончательный результат: 0, 57 0, 25 0, 12 0, 06 • и окончательный результат: 0, 57 0, 25 0, 12 0, 06

• 4 й способ дает после первого и второго шагов соответственно: 120 3, • 4 й способ дает после первого и второго шагов соответственно: 120 3, 31 3, 75 1, 39 0, 20 0, 67 0, 01 0, 32

• Сумма чисел последнего столбца равна 5, 69 и, производя деление чисел последнего • Сумма чисел последнего столбца равна 5, 69 и, производя деление чисел последнего столбца на эту сумму, получаем следующий окончательный результат: 0, 58 0, 24 0, 12 0, 06

• 5 й способ дает после возведения матрицы в третью степень, сложения элементов • 5 й способ дает после возведения матрицы в третью степень, сложения элементов строк и нормирования соответственно: 19, 35 44, 27 92, 27 197, 33 353, 22 0, 59 8, 13 18, 81 37, 42 78, 85 143, 21 0, 24 3, 78 9, 11 18, 07 37, 10 68, 06 0, 11 1, 83 4, 48 9, 22 18, 89 34, 41 0, 06

• Для построения собственного столбца заданной матрицы традиционным (точным) методом необходимо решить характеристическое • Для построения собственного столбца заданной матрицы традиционным (точным) методом необходимо решить характеристическое уравнение: • ׀ А – λЕ. 0 = ׀

• В матричном виде это выглядит так: 1– λ 4 5 6 1/4 • В матричном виде это выглядит так: 1– λ 4 5 6 1/4 1– λ 3 5 • = 0 1/5 1/3 1– λ 3 1/6 1/5 1/3 1– λ

• Характеристический многочлен, соответствующий этой матрице: • λ 4 − 4λ 3 – • Характеристический многочлен, соответствующий этой матрице: • λ 4 − 4λ 3 – 667/180 λ − 147/225. • =0 • Решая приближенным методом: • λ max 4, 22

• Затем находится собственный вектор: 0, 61 0, 25 0, 12 0, 06 • Затем находится собственный вектор: 0, 61 0, 25 0, 12 0, 06 • При приближенных вычислениях наоборот, сначала находится собственный вектор, затем – максимальное собственное число.

• Вернемся к приближенным вычислениям собственных чисел по приближенным значениям собственных столбцов. • • Вернемся к приближенным вычислениям собственных чисел по приближенным значениям собственных столбцов. • Итак, собственный столбец найден. Теперь остается найти соответствующее собственное значение. Покажем, как это делается в случае приближенных вычислений.

• Вспомним, что имеет место равенство: • А α = λ α. • • Вспомним, что имеет место равенство: • А α = λ α. • Если мы хотим проверить, является ли предъявленный столбец α собственным столбцом матрицы А, то алгоритм действий будет следующий:

• умножить матрицу А на этот столбец: • А α = y= λ • умножить матрицу А на этот столбец: • А α = y= λ α, • или подробнее: a 11 … a 1 n α 1 … … a n 1 … a nn α n y 1 = … yn α 1 = λ … α n

• разделить элементы полученного столбца у на соответствующие элементы столбца α: • y • разделить элементы полученного столбца у на соответствующие элементы столбца α: • y 1 / α 1 , …. , yn / α n • и, если • y 1 / α 1 = …. = yn / α n , • то это отношение и есть собственное значение λ матрицы А, отвечающее данному столбцу α.

• Если же хотя бы одно из равенств нарушается, то столбец α не • Если же хотя бы одно из равенств нарушается, то столбец α не является собственным столбцом матрицы А. • В данном случае столбец, получаемый любым из описанных выше четырех способов, мы заранее рассматриваем как приближение соб ственного столбца, и ожидать выполнения даже одного из равенств нельзя.

• Поэтому здесь мы поступим по иному — считая каждое из отно шений • Поэтому здесь мы поступим по иному — считая каждое из отно шений • y 1 / α 1 , …. , yn / α n • приближением к искомому собственному значению, выберем в каче стве собственного значения их среднее арифметическое: • λmах = (1 / n) Σyi / α i .

• Продолжение примера 1. • Для отыскания приближенного зна чения наибольшего собственного числа • Продолжение примера 1. • Для отыскания приближенного зна чения наибольшего собственного числа заданной матрицы используем приближение собственного столбца, например, вычисленное по 2 му способу. Умножив матрицу на соответствующий столбец, получаем

1 4 5 6 0, 64 2, 37 1/4 1 3 5 0, 19 1 4 5 6 0, 64 2, 37 1/4 1 3 5 0, 19 1/5 1/3 1 3 0, 11 0, 51 1/6 1/5 1/3 1 0, 07 0, 25 = 1, 03

• Поделив элементы найденного столбца произведения на соответст вующие элементы исходного столбца сомножителя, • Поделив элементы найденного столбца произведения на соответст вующие элементы исходного столбца сомножителя, получим следу ющие числа: • • 3, 70, 5, 42, 4, 65, 3, 59.

• • Найдем их среднее арифметическое. Имеем: (3, 70+5, 42+4, 65+3, 59) =17, • • Найдем их среднее арифметическое. Имеем: (3, 70+5, 42+4, 65+3, 59) =17, 36 / 4 = 4, 34. Тем самым, λ mах = 4, 34. Теперь уже совсем легко найти: ИС = (4, 34 4) / (4 1) =0, 34 / 3 = 0, 11.

• Напомним, что для точного собственного столбца было получено значение λmах = 4, • Напомним, что для точного собственного столбца было получено значение λmах = 4, 22 и ему соответствует ИС = 0, 07. 1 й способ дает значение mах = 4, 32, ИС = 0, 11; 3 й, 4 й и 5 й способы дают одинаковые результаты: mах = 4, 22, совпадающие с точным, ИС = 0, 07.

Проблема сравнения. Построение шкал. Иерархии • Шкалы отношений дают нам возможность связать реально существующие Проблема сравнения. Построение шкал. Иерархии • Шкалы отношений дают нам возможность связать реально существующие варианты решений с неосязаемыми критериями и ценностями. Эти решения в свою очередь могут быть связаны с критериями и целями другого, более высокого уровня.

• Уровней может быть несколько, наивысшим уровнем является цель принятия решения, но об • Уровней может быть несколько, наивысшим уровнем является цель принятия решения, но об этом речь пойдет ниже. Если мы по каким либо критериям можем сравнить варианты решений, то мы сможем включить наши оценки в структуру поставленной задачи.

• Существует только один способ сопоставить объектам некоторые конкретные значения. Он заключается в • Существует только один способ сопоставить объектам некоторые конкретные значения. Он заключается в том, что сравнения проводятся в терминах относительных величин. • Проводя парные сравнения объектов, мы можем подобрать шкалу для их сравнения. Такая шкала позволяет формализовать процесс принятия решения.

• Приведем некоторые соображения, обосновывающие выбор шкалы. • Начнем с диапазона. • Использование • Приведем некоторые соображения, обосновывающие выбор шкалы. • Начнем с диапазона. • Использование шкалы парных сравнений в пределах от 0 до ∞ может оказаться бесполезным. Дело в том, что наша способность различать находится в весьма ограниченном диапазоне и, • когда есть значительная несоразмерность между сравниваемыми объектами, действиями или обстоятельствами, наши предположения тяготеют к тому, чтобы быть произвольными, и обычно оказываются далекими от действительности.

• Так как единица является стандартом измерения, то верхняя граница должна быть не • Так как единица является стандартом измерения, то верхняя граница должна быть не слишком далека от нее, хотя и достаточно от далена для того, чтобы более или менее выразительно представить наш диапазон способности различать. Поэтому и число сравниваемых объектов должно быть достаточно мало. • Обычные пределы — это 7 ± 2.

• Опишем один из способов того, как практически придать количественное наполнение сравнению объектов, • Опишем один из способов того, как практически придать количественное наполнение сравнению объектов, действий или обстоятельств и построить соответствующую таблицу сравнений.

• Пусть даны элементы А, В, С, D и т. д. • Таблица • Пусть даны элементы А, В, С, D и т. д. • Таблица сравнений, имеющая вид A A B C D …

• процедура парного сравнения применяется к парам однородных элементов. Неоднородные элементы разделяются на • процедура парного сравнения применяется к парам однородных элементов. Неоднородные элементы разделяются на взаимосвязанные группы (кластеры) , содержащие однородные элементы. Фундаментальная шкала абсолютных значений для оценки силы суждений приведена в табл. 1.

07. 10. 13 Таблица 1 1 Равная предпочтительность с точки зрения цели Две альтернативы 07. 10. 13 Таблица 1 1 Равная предпочтительность с точки зрения цели Две альтернативы одинаково предпочтительны 2 Слабая степень пред почтения Промежуточная градация между равным и средним предпочтением 3 Средняя степень пред почтения Опыт эксперта позволяет считать одну из альтернатив немного предпочтительнее другой 4 Предпочтение выше среднего Промежуточная градация между средним и умеренно сильным предпочтением 5 Предпочтение выше среднего Промежуточная градация между средним и умеренно сильным предпочтением

6 Сильное предпочтение Промежуточная градация между умеренно сильным и очень сильным предпочтением 7 Очень 6 Сильное предпочтение Промежуточная градация между умеренно сильным и очень сильным предпочтением 7 Очень сильное (очевидное) предпочтение Опыт эксперта позволяет считать одну из альтернатив гораздо предпочтительнее другой: доминирование альтернативы подтверждено практикой 8 Очень, очень сильное предпочтение Промежуточная градация между очень сильным и абсолютным предпочтением 9 Абсолютное предпоч тение Очевидность подавляющей предпочтительности одной альтернативы над другой имеет не оспоримое подтверждение

• Эту шкалу называют фундаментальной шкалой абсолютных значений для оценки силы суждений. Эффективность • Эту шкалу называют фундаментальной шкалой абсолютных значений для оценки силы суждений. Эффективность этой шкалы была проверена при решении практических задач, результаты которых уже были известны.

• Пример 2 • Предположим, что, сравнивая объекты А, В, С и D • Пример 2 • Предположим, что, сравнивая объекты А, В, С и D мы получили таблицу сравнений: A B C D A 1 4 5 6 B 1/4 1 3 5 C 1/5 1/3 1 3 D 1/6 1/5 1/3 1 • которая приводит к обратно симметричной матрице, рассмотренной выше.

• Пользуясь одним из способов приближенного вычисления собственных элементов этой матрицы (для определенности • Пользуясь одним из способов приближенного вычисления собственных элементов этой матрицы (для определенности вторым), мы нашли и собственный столбец, и собственное значение, и ИС: 0, 64 0, 19 0, 11 0, 07 λmах = 4, 34 ИС =0, 11

• Сумма всех элементов полученного собственного столбца (его называют столбцом приоритетов) равна 1. • Сумма всех элементов полученного собственного столбца (его называют столбцом приоритетов) равна 1. • Он позволяет подвести итог проведенному анализу таблицы сравнений: среди сравниваемых элементов А, В, С и D наивысший приоритет имеет А (64%), затем идут В (19%), С (11%) и D (7%) соответственно.

Иерархии • Очень часто при анализе интересующей нас структуры число эле ментов и их Иерархии • Очень часто при анализе интересующей нас структуры число эле ментов и их взаимосвязей настолько велико, что превышает способность исследователя воспринимать информацию в полном объеме. В таких случаях система делится на подсистемы. Одним из таких делений является иерархическое.

• Иерархии представляют собой определенный вид системы, основанный на предположении, что ее элементы • Иерархии представляют собой определенный вид системы, основанный на предположении, что ее элементы могут группироваться в не связанные множества. При этом элементы каждой группы находятся под влиянием элементов некоторой другой вполне определенной группы и в свою очередь оказывают влияние на элементы третьей группы. Мы считаем, что элементы в каждой группе иерархии, называемой уровнем, независимы.

• Первым требованием при анализе функционирования системы является построение иерархии, воспроизводящей функциональные отношения. • Первым требованием при анализе функционирования системы является построение иерархии, воспроизводящей функциональные отношения. Для этого сначала перечисляются все элементы, относящиеся к иерархии. Затем они распределяются по группам в соответствии с влиянием между группами. Так возникают уровни иерархии. Определяются цели, ради которых изучается задача, и строится иерархия.

• После того как уровни иерархии заданы, составляются матрицы парных сравнений между этими • После того как уровни иерархии заданы, составляются матрицы парных сравнений между этими элементами относительно каждого элемента следующего, более высокого уровня, который служит критерием при сравнении.

• Приведем пример типичной иерархии (рис. 6. 1). Первый уровень иерархии имеет одну • Приведем пример типичной иерархии (рис. 6. 1). Первый уровень иерархии имеет одну цель: общее благосостояние страны. Второй уровень иерархии имеет три цели: сильную экономику, социальную сферу, благоприятную экологическую ситуацию, национальную безопасность.

• Приоритеты этих целей получаются из матрицы парных сравнений относительно цели первого уровня. • Приоритеты этих целей получаются из матрицы парных сравнений относительно цели первого уровня. Целями третьего уровня являются отрасли экономики: промышленность, сельское хозяйство и транспорт.

• Задача заключается в определении влияния отраслей экономики на общее благосостояние страны через • Задача заключается в определении влияния отраслей экономики на общее благосостояние страны через промежуточный второй уровень. Поэтому приоритеты отраслей экономики относительно каждой цели второго уровня получаются из матриц парных сравнений относительно этих целей, а полученные столбцы приоритетов взвешиваются затем при помощи столбца приоритетов второго уровня, что позволяет получить в итоге искомый составной столбец приоритетов отраслей промышленности.

• Пример 3. • Предположим, что нам необходимо разрешить проблему распределения ресурсов, например • Пример 3. • Предположим, что нам необходимо разрешить проблему распределения ресурсов, например финансовых, в некоторой развитой стране между тремя отраслями экономики, как это уже описано (см. рис. 6. 1).

• Они составляют третий, или низший, уровень иерархии. Целями, по отношению к которым • Они составляют третий, или низший, уровень иерархии. Целями, по отношению к которым оцениваются эти потребители, явля ются вклад в развитие экономики, вклад в социальную сферу, вклад в качество окружающей среды и вклад в национальную безопасность.

• Эти цели составляют второй уровень иерархии. Общая цель — общее благосостояние страны • Эти цели составляют второй уровень иерархии. Общая цель — общее благосостояние страны — первый уровень иерархии.

• Построим матрицу парных сравнений четырех целей: экономика – Э, социальная сфера – • Построим матрицу парных сравнений четырех целей: экономика – Э, социальная сфера – С, экология – Эк и национальная безопасность – НБ в соответствии с их воздействием на общую цель – БС. Умышленно навязывая согласованность создаваемой матрице, мы по первой строке находим все остальные ее элементы. Имеем:

Бл Э С Эк НБ Э 1 4 6 3 С 1/4 1 6/4 Бл Э С Эк НБ Э 1 4 6 3 С 1/4 1 6/4 3/4 Эк 1/6 4/6 1 1/2 НБ 1/3 4/3 2 1 λmах = 4, 00 ИС = 0, 0.

• Поясним, как заполнялась таблица. Экономика имеет заметное превосходство перед социальной сферой (4), • Поясним, как заполнялась таблица. Экономика имеет заметное превосходство перед социальной сферой (4), перед экологией – превосходство между значительным и явным (6) и перед нацио нальной безопасностью – незначительное (3). Числа во 2 й, 3 й и 4 й строках выбраны так, чтобы полученная матрица сравнений была обратно симметричной и согласованной.

• Столбец приоритетов, вычисленный любым из описанных выше способов, имеет вид: 0, 571 • Столбец приоритетов, вычисленный любым из описанных выше способов, имеет вид: 0, 571 W = 0, 143 0, 095 0, 190

• Следовательно, в соответствии со сравнением по социально политическому влиянию экономика получает приоритет • Следовательно, в соответствии со сравнением по социально политическому влиянию экономика получает приоритет 0, 571, социальная сфера – 0, 143, экология — 0, 095 и национальная безопасность — 0, 190

• Проведем теперь оценку относительной важности каждого потре бителя с точки зрения экономики, • Проведем теперь оценку относительной важности каждого потре бителя с точки зрения экономики, социальной сферы, экологии и национальной безопасности (составляющих второй уровень иерархии). • Соответствующие матрицы парных сравнений, индексы согласованности и столбцы приоритетов имеют следующий вид:

Э Пр Сх Тр Пр 1 3 4 Сх 1/3 1 4/3 0, 211 Э Пр Сх Тр Пр 1 3 4 Сх 1/3 1 4/3 0, 211 Тр 1/4 3/4 1 0, 158 С Пр Сх Тр Пр 1 5 7 Сх 1/5 1 1/3 0, 082 ; Тр 1/7 3 1 0, 222 λmах = 3, 00 λmах = 3, 33 ИС = 0, 00 ИС = 0, 16 0, 632 0, 696

Эк Пр Сх Тр Пр 1 1/3 1/4 Сх 3 1 3 0, 503 Эк Пр Сх Тр Пр 1 1/3 1/4 Сх 3 1 3 0, 503 Тр 4 1/3 1 0, 383 λmах = 3, 30 ИС = 0, 15 0, 114

• Запишем полученные столбцы в виде матрицы. Имеем: 0, 632 0, 696 0, • Запишем полученные столбцы в виде матрицы. Имеем: 0, 632 0, 696 0, 114 0, 667 0, 211 0, 082 0, 503 0, 111 0, 158 0, 222 0, 383 0, 222 .

• Умножая эту матрицу на столбец w, находим искомый столбец приоритетов третьего уровня • Умножая эту матрицу на столбец w, находим искомый столбец приоритетов третьего уровня иерархии, представляющий потребителей ресурсов Пр, Сх и Тр (взвешенный согласно их общему влиянию): 0, 598 0, 201

• Итак, в соответствии с нашими вычислениями промышленности следует выделить 59, 8 % • Итак, в соответствии с нашими вычислениями промышленности следует выделить 59, 8 % ресурсов, на сельское хозяйство — 20, 1 % и на транспорт — 20, 1 %.