Начитка к ГОСЭКЗАМЕНУ ЭММ.pptx
- Количество слайдов: 37
Экономико-математические методы и модели
1. Модели зависимости спроса от дохода (кривые Энгеля). Эластичность спроса по доходу. При постоянных ценах товары различаются по характеру изменения спроса в зависимости от величины I дохода потребителя. Для изучения изменения спроса в зависимости от доходов различных групп потребителей применяются модели степенного вида (функции Энгеля): где А>0, >0 – параметры модели. Здесь показатель степени имеет смысл коэффициента эластичности спроса по доходу; он показывает на сколько процентов увеличится (уменьшится) спрос на товар, если доход увеличится (уменьшится) на 1%.
Если коэффициент эластичности меньше единицы, то спрос на товар слабо зависит от дохода потребителей. Дополнительные расходы на эти товары убывают при возрастании дохода. В этом случае говорят, что спрос на этот товар неэластичен по доходу. Это относится в основном к предметам первой необходимости. Спрос называется нормально эластичным, если что имеет место для товаров длительного пользования. Для предметов «роскоши» обычно Такой спрос называется суперэластичным, т. е. при увеличении дохода все большая часть его прироста тратится именно на товары этой группы.
Результаты исследования изменения спроса по различным группам товаров обычно представляются в виде графиков, называемых кривыми Энгеля. >1 D =1 <1 I Кривые Энгеля
2. Модели производственных затрат и прибыли предприятия. Точка безубыточности. Простейшая экономико-математическая модель производства основана на том, что общие издержки С(х) на производство продукции в количестве х единиц, состоят из двух частей: - постоянные издержки (С 0) - переменные (пропорциональные) издержки (С 1=bx), где b – расходы (сырья, материалов, энергии) в расчете на одно изделие в денежном выражении. Модель совокупных издержек имеет вид: C(x)=C 0+bx.
Параметры этой модели (C 0 и b) определяются обычно одним из двух способов: • нормативным (отчетным); • из уравнения регрессии. а) При использовании нормативного (отчетного) способа параметры задаются при описании технологии производства и статей производственных расходов или на основании отчетных данных. Пример. Дано, что постоянные затраты C 0 составили 500 тыс. руб. в месяц, а переменные расходы «b» в расчете на одно изделие 6 тыс. руб. Тогда линейная модель затрат имеет вид: C(x)=500+6 x.
б) При помощи разработки линейного уравнения регрессии по статистическим данным. Пример. Имеется таблица наблюдений Объем производства (x) 100 120 140 160 180 200 Производствен ные издержки C(x) млн. руб. 61 107 118 73 85 96 Применяя методы регрессионного анализа получим уравнение: C(х)=4, 71+0, 57 x
Линейная модель прибыли строится на основе данных о валовом доходе и производственных затратах: PR(x) = px - C(x) где px – валовой доход, PR – величина прибыли. Линейная модель прибыли имеет вид: PR(x)=px - C 0 – bx = -C 0 +(p-b)x. Анализ этой формулы дает следующие результаты: а) Если p b (цена изделия не превышает удельных переменных затрат), то PR 0. Производство не является прибыльным при любом количестве изделий.
б) Если p>b, то определяется точка безубыточности x 0, т. е. количество изделий, которому соответствует прибыль, равная нулю: PR Б 1 Б x 01 -C 0 x А Для всех x x 0 производство убыточно PR 0 ; для всех x>x 0 производство прибыльно PR>0. При увеличении цены p точка безубыточности смещается влево. Безубыточность достигается при меньшем количестве изделий (см. линию Б 1).
Квадратичная модель затрат включает, кроме постоянных (С 0) и переменных (С 1) затрат, еще «сверхпропорциональные» затраты (С 2), в составе которых учитываются затраты на расширение производства, оплата сверхурочного труда и т. п. Для математического описания этого вида затрат используется степенная зависимость от объема выпуска С 2=kx 2, где k>0 – параметр модели. Таким образом, квадратичная модель затрат имеет вид: С(х)=C 0+ C 1+ C 2= C 0+bx+kx 2.
График функции С(х)=C 0+ C 1+ C 2= C 0+bx+kx 2 представляет собой монотонно возрастающую параболическую функцию при x 0. Для характеристики скорости возрастания издержек по мере роста выпуска продукции (х) используются понятия приростных и маргинальных издержек. С C C 0 0 x x+1 Приростные издержки вычисляются по формуле C=С(x+1)-C(x), которая характеризует затраты на выпуск дополнительной единицы продукции.
Маргинальными издержками называют приростные издержки в дифференциальной форме. Они вычисляются с использованием производной от функции затрат: МС=С’(x)=b+2 kx Пример. Пусть C(x)=4, 71+0, 57 x+0, 001 x 2, тогда маргинальные издержки равны MC=C(x)=0, 57+0, 002 x. x С(x) C MC 10 11 20 21 10, 51 11, 10 16, 51 17, 12 0, 592 0, 612 Как видно из примера, приростные и маргинальные издержки возрастают по мере роста выпуска продукции.
Квадратичная модель прибыли строится на основе квадратичной модели затрат и имеет вид: PR(x)=px-(C 0+bx+kx 2)=-C 0 -kx 2+(p-b)x Анализ этой формулы дает следующие результаты: а) Если p b, то PR 0, т. е. производство будет убыточным при любом количестве изделий. б) Если p >b, то существуют две точки безубыточности, которым соответствует нулевая прибыль.
При анализе по объему производства возможны три случая: а) если x
В центре зоны безубыточности находится точка максимума прибыли xmax , значение которой определяется из условия равенства нулю первой производной от функции PR(x)=-C 0 -kx 2+(p-b)x (1) PR’(x)= -2 kx+p-b=0 Отсюда (2) (3) В точке максимума прибыли [выражение (2)] p=MC(x), т. е. маргинальные издержки равны цене изделия. Величина максимальной прибыли равна (после подстановки 3 в 1)
График квадратичной функции прибыли имеет вид: PR -C 0 x 01 xmax x 02 x При увеличении цены изделия p, зона безубыточности расширяется, а точка максимума сдвигается направо.
Пример. Пусть С(x)=4, 71+0, 57 х+0, 001 х2, цена p=0, 9. Тогда x 01=14, 95 15; x 02=315; xmax=166. Зона безубыточности (15 x 315). PRmax= 22, 5 млн. руб. ; МС(xmax)=0, 9.
3. Оптимизационные задачи с линейной зависимостью между переменными Экономико-математические задачи, цель которых состоит в нахождении наилучшего (оптимального) с точки зрения некоторого критерия или критериев варианта использования имеющихся ресурсов (труда, капитала и пр. ), называются оптимизационными.
Пусть: - количество ресурса вида i (i=1, 2, . . . , m); - норма расхода i - го ресурса на единицу j го вида продукции; - количество продукции вида j (j=1, 2, . . . , n); cj- прибыль (доход) от единицы этой продукции (в задачах на минимум - себестоимость продукции).
ОЗ линейного программирования (ЛП) в общем виде может быть сформулирована и записана следующим образом: Найти переменные , при которых целевая функция , была бы максимальной (минимальной), не нарушая следующих ограничений:
и условия неотрицательности искомых переменных: .
Вcе три случая можно привести к так называемой канонической форме, введя дополнительные переменные: , k - количество дополнительных переменных,
Геометрическая интерпретация ОЗ линейного программирования До приобретения мебельного цеха Василий Тимофеев имел небольшую столярную мастерскую, где он мог трудился вместе со своим сыном по 9 часов в день, изготавливая тару двух видов – А и В, расходуя для этого ежедневно 4 куб. м древесины и 18 кг металла. Необходимо найти ежедневный оптимальный план производства двух видов тары(x 1 и x 2), при котором прибыль Василия была бы максимальной, а имеющиеся ресурсы использовались бы наилучшим образом
Условие задачи:
Оптимизационная модель следующим образом: а) целевая функция: б) ограничения: 2 x 1 + х 2 12 0, 1 x 1 + 0, 5 х2 4 3, 5 x 1 + х2 18 задачи запишется (ограничение по металлу); (ограничение по древесине); (ограничение по труду). в) условие неотрицательности переменных:
12 Труд 10 8 x 2 Древесина 6 Прибыль 4 2 Металл 0 0 1 Х 1=2, 2 Х 2= 7, 5 Прибыль = 46, 3 руб. 2 3 X 1 4 5 6 7
§ 4. Модель мультипликатора в открытой и закрытой экономике 4. 1. Мультипликатор госрасходов (простой мультипликатор Кейнса). Простой мультипликатор Кейнса может быть найден в результате решения системы уравнений: Y=С+I+G C= a + b. Y Y= a + b. Y +I+G => Y – b. Y = a + I + G => Y(1 -b) = a + I + G При b=0, 8 мультипликатор m = 1/(1 -0, 8)=5
4. 2. Мультипликатор c учетом налогообложения в закрытой экономике Данный мультипликатор может быть найден в результате решения системы уравнений: Y=С+I+G C= a + b(Y-T) Пусть T=t. Y, где t – предельная налоговая ставка. Тогда Y= a + b(1 -t)Y +I+G Y – b(1 -t)Y=a+I+G Y(1 - b(1 -t))=a+I+G
1) При b=0, 8 и t=0, 6 мультипликатор m = 1/(1 -0, 8(1 -0, 6))=1, 47 2) При b=0, 8 и t=0, 2 мультипликатор m = 1/(1 - 0, 8(1 -0, 2))=2, 78
4. 3. Эффект мультипликатора в открытой экономике Данный мультипликатор может быть найден в результате решения системы уравнений: Y=С+I+G +Xn C= a + b(1 -t)Y Xn = g - m’Y m’ – предельная склонность к импортированию m’ = ΔIm/ ΔY Тогда Y= a + b(1 -t)Y +I+G +g –m’Y
1) При b=0, 8 и t=0, 6 и m’= 0, 3 мультипликатор m = 1/(1 - 0, 8(1 -0, 6)+0, 3)=1, 02 2) При b=0, 8 и t=0, 6 и m’= 0, 1 мультипликатор m = 1/(1 - 0, 8(1 -0, 6)+0, 1)=1, 28 3) При b=0, 8 и t=0, 2 и m’= 0, 1 мультипликатор m = 1/(1 - 0, 8(1 -0, 2)+0, 1)=2, 17
5. Экономико-математическая модель МОБ Пусть aij - коэффициент прямых материальных затрат; aij = xij / xj Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-ой отрасли необходимо для производства «единицы» продукции j-ой отрасли. xij = aij xj xi = S xij + yi
После подстановки первого выражения во второе получим: xi = S aij xj + yi (1) или в матричной форме: X =AX +Y (2) Система уравнений (1) или (2) представляет собой экономико-математическую модель МОБ (модель «затраты-выпуск» , модель Леонтьева)
Для определения конечной продукции найдем из матричной модели Леонтьева Y Y =X –AX или Y=(E-A)X E - единичная матрица; А- матрица коэффициентов прямых затрат.
Для определения валовой продукции найдем из матричной модели Леонтьева X X = (E-A) -1 Y (E-A) -1 – находится в том случае, если определитель матрицы (E-A) не равен нулю. В этом случае матрица является невырожденной и обратная к ней матрица существует.
Для операций с матрицами в Excel необходимо использовать функции: МУМНОЖ(массив 1; массив 2) МОБР(массив) МОПРЕД(массив)
Благодарю за внимание !