Тема 1 Эконометрика ЛК опорный конспект.pptx
- Количество слайдов: 25
Эконометрика Тема 1
Литература 1. Эконометрика. Книга 1, Ч. 1, 2: учебник. / Носко В. П. — М. : Издательский дом «Дело» РАНХи. ГС, 2011. — 672 с. - [Электронный ресурс] – Режим доступа: http: //www. twirpx. com/file/716103/ 2. Эконометрика. Книга 2, Ч. 3, 4: учебник. / Носко В. П. — М. : Издательский дом «Дело» РАНХи. ГС, 2011. — 576 с. - [Электронный ресурс] – Режим доступа: http: //www. twirpx. com/file/721946/ 3. Эконометрика: учебник/ [К. В. Балдин и др. ]; под ред. В. Б. Уткина. - 2 -е изд. - М. : Дашков и К, 2011. - 562 с. 4. Эконометрика: учеб. для вузов по специальности "Математические методы в экономике" / В. А. Валентинов. - 2 -е изд. - М. : Дашков и К°, 2010. - 445 с. - [Электронный ресурс] – Режим доступа: http: //library. pgups. ru/ 5. Эконометрика: Учебник. / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко — М. : ЮНИТИ-ДАНА — 3 -е издание, перераб. и доп. — 2010. — 328 с. - [Электронный ресурс] – Режим доступа: http: //www. twirpx. com/file/1482079/ 6. Эконометрика: учеб. для вузов по спец. 080601 "Статистика" и другим междисциплинар. спец. : учеб. / ред. : И. И. Елисеева [и др. ]. - М. : Проспект, 2010. - 288 с. 7. Гореева Н. М. , Демидова Л. Н, Клизогуб Л. М. и др. Эконометрика в схемах и таблицах. Учебное пособие под ред. д-ра экон. наук, проф. С. А. Орехова. - М. : Эксмо, 2008 - 224 с. - [Электронный ресурс] – Режим доступа: http: //www. twirpx. com/file/240925/ 8. Эконометрика: учеб. пособие/ А. Н. Мардас; ПГУПС. - СПб. : ПГУПС, 2007. - 176 с. 2
Тема 1. Введение. Элементы теории вероятностей и математической статистики. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Случайные величины и их числовые характеристики. Функция распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины. Некоторые распределения случайных величин. Многомерные случайные величины. Условные законы распределения. Двумерный (n-мерный) нормальный закон распределения. Закон больших чисел и предельные теоремы. Точечные и интервальные оценки параметров. Проверка (тестирование) статистических гипотез 3
1. Случайные величины и их числовые характеристики. Вероятность события А: Р(А)= m/n, где m - число случаев, благоприятствующих событию А, n - общее число случаев. Статистическая вероятность Р*(А) - относительная частота (частость) W(А) появления события А в n произведенных испытаниях. Cлучайная величина (сл. в. ) - переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно - заранее не известно). Дискретная сл. в. : множество возможных значений конечно или счетно (пример - число произведенных выстрелов до первого попадания). Непрерывная сл. в. : множество возможных значений бесконечно и несчетно (пример - дальность полета артиллерийского снаряда). Закон распределения сл. в. – всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями сл. в. xi и соответствующими им вероятностями pi. Две случайные величины независимые, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина. 4
1. Случайные величины и их числовые характеристики. Закон распределения дискретной сл. в. : может быть задан в виде таблицы, аналитически и графически, пример – ряд распределения сл. в. : при этом: Числовые характеристики сл. в. - числа, в сжатой форме выражающие наиболее существенные черты распределения сл. в. (основные: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение). Математическое ожидание (среднее значение) М(Х) дискретной сл. в. Х: 5
1. Случайные величины и их числовые характеристики. Дисперсия D(X) сл. в. Х - характеризует отклонение (разброс, рассеяние, вариацию) значений сл. в. относительно среднего значения: Для дискретной сл. в. Х: Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение или стандарт) сл. в. Х: 6
2. Функция распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины. Функция распределения сл. в. Х - функция F(x), выражающая для каждого x вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее x: Пример функции распределения сл. в. X: а) ряд распределения сл. в. X: б) аналитический закон распределения сл. в. X: в) график функции распределения сл. в. X: 7
2. Функция распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины. Свойства функции распределения сл. в. X: 1) неотрицательная функция, заключенная между 0 и 1: 2) неубывающая функция на всей числовой оси: при 3) 4) Плотность вероятности (плотность распределения или просто плотность) непрерывной сл. в. X (существует только для непрерывных функций): Свойства плотности вероятности: 1) , т. е. : 2) , т. е. : 8
2. Функция распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины. 3) неотрицательная функция: , также , т. е. график - кривая распределения - лежит не ниже Ox, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью Ox, равна 1. Для непрерывной сл. в. Х: (если интеграл абсолютно сходится); или (если интегралы сходятся) Квантиль уровня q (q-квантиль) – такое значение xq сл. в. , при котором функция ее распределения принимает значение, равное q, т. е. : и q%-ая точка – это квантиль х1–q Числовые характеристики сл. в. : начальные vk и центральные μk моменты k-го порядка для дискретных и непрерывных сл. в. : ( M(X) – начальный момент 1 -го порядка, D(X) – центральный момент 2 -го порядка ) 9
3. Некоторые распределения случайных величин. Наиболее часто используемые в эконометрике распределения случайных величин биномиальный закон распределения Пуассона равномерный закон распределения показательный (экспоненциальный) закон распределения нормальный закон распределения (закон Гаусса) логарифмически нормальное (логнормальное) распределение хи-квадрат распределение Стьюдента (t-распределение) распределение Фишера-Снедекора (F-распределение) 10
3. Некоторые распределения случайных величин. 1) Дискретная сл. в. Х имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m, …, n с вероятностями (формула Бернулли): где Числовые характеристики: M(X) = np, D(X) = npq 2) Непрерывная сл. в. Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и , если ее плотность вероятности имеет вид: Числовые характеристики: M(X) = a, D(X) = . Нормальная (гауссовая) кривая: Стандартный (нормированный) нормальный закон распределения: параметры а = 0 и , т. е. N(0; 1) Правило трех сигм: Если сл. в. Х имеет нормальный закон распределения с параметрами a и , то практически достоверно, что ее значения заключены в 11 интервале
3. Некоторые распределения случайных величин. 3) Непрерывная сл. в. Х имеет логарифмически нормальное (логнормальное) распределение, если ее логарифм подчинен нормальному закону. 4) Распределение хи-квадрат с k степенями свободы - распределение суммы квадратов k независимых сл. в. , распределенных по стандартному нормальному закону, т. е. : 5) Распределение Стьюдента (t-распределение) – распред-ие сл. в. t: При t-распределение приближается к нормальному. 6) Распределение Фишера-Снедекора (F-распред. ) – распред. сл. в. F: 12
4. Многомерные случайные величины. Условные законы распределения. Многомерная (n-мерная) сл. величина (система случайных величин, nмерный вектор) - упорядоченный набор сл. величин (пример: многомерная случайная величина, характеризующая погоду в данном месте в определенное время суток: X 1 – температура, X 2 – скорость ветра, X 3 – влажность, X 4 - давление и т. д. ). Функция распределения n-мерной сл. величины (Х 1, Х 2, …, Xn) - функция F(x 1, x 2, …, xn), выражающая вероятность совместного выполнения n неравенств Х 1
4. Многомерные случайные величины. Условные законы распределения. Условный закон распределения одной из одномерных составляющих двумерной сл. величины (X, Y) – закон распределения, вычисленный при условии, что другая составляющая приняла определенное значение (или попала в какой-то интервал). Условные плотности вероятности двумерной сл. величины (X, Y): или Числовые характеристики условных распределений: условные математические ожидания Мх(Y) и Му(Х) и условные дисперсии Dx(Y) и Dy(X) (находятся по обычным формулам математического ожидания и дисперсии, вместо вероятностей событий или плотностей вероятности используются условные вероятности или условные плотности вероятности). Условное математическое ожидание случайной величины Y при Х=х, т. е. Мх(Y), есть функция от х, называемая функцией регрессии или просто регрессией Y по Х. График Мх(Y) - линия регрессии (кривая регрессии) Y по Х (аналогично для Мy(X)) Если случайные величины X и Y независимы, то 14
4. Многомерные случайные величины. Условные законы распределения. Зависимость между 2 сл. величинами называется вероятностной (стохастической или статистической), если каждому значению одной из них соответствует определенное (условное) распределение другой (пример: зависимость между урожайностью и количеством внесенных удобрений) Ковариация Cov(X, Y) сл. величин X и Y - математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий, т. е. : где Cov(X, Y) характеризует как степень зависимости сл. величин, так и их рассеяние вокруг точки (ax, ay). Коэффициент корреляции 2 сл. величин - отношение их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин: характеризует тесноту линейной зависимости между случайными величинами Свойства коэффициента корреляции: 15
5. Двумерный (n-мерный) нормальный закон распределения. Сл. величина (сл. вектор) (Х, Y) называется распределенной по двумерному нормальному закону, если ее совместная плотность (плотность вероятности) имеет вид: , числовые характеристики: при этом одномерные сл. величины X и Y распределены нормально с параметрами соответственно Условный закон распределения Y по Х - также нормальный с числовыми характеристиками (аналогично для My(X)): т. е. линия регрессии Mx(Y) нормально распределенных случайных величин - прямая линия (нормальная регрессия Y по Х всегда линейна) Понятие двумерного (n = 2) нормального закона обобщается для любого натурального n: 16
6. Закон больших чисел и предельные теоремы. 1) Закон больших чисел (в широком смысле) - общий принцип, согласно которому совокупное действие большого числа случайных факторов приводит (при некоторых весьма общих условиях) к результату, почти не зависящему от случая (академик А. Н. Колмогоров). (т. е. , при большом числе случайных величин их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности). 2) Теорема Чебышева. Если дисперсии n независимых сл. величин X 1, X 2, …, Xn ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n средняя арифметическая сл. величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий a 1, a 2, …, an, т. е. : или 17
6. Закон больших чисел и предельные теоремы. 3) Теорема Бернулли. Частость события в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р, при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к вероятности p этого события в отдельном испытании, т. е. : или 4) Согласно теореме Ляпунова, если независимые сл. величины Х 1, Х 2, …, Xn имеют конечные математические ожидания и дисперсии, по своему значению ни одна из этих сл. величин резко не выделяется среди остальных, то при закон распределения их суммы неограниченно приближается к нормальному. В частности, если Х 1, Х 2, …, Xn одинаково распределены, то закон распределения их суммы при неограниченно приближается к нормальному. 18
7. Точечные и интервальные оценки параметров. Оценкой параметра называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величиной Х (иначе - статистику), с помощью которой судят о значениях параметра (пример параметра – среднее значение случайной величины X) Оценка - величина случайная. «Наилучшая оценка» должна обладать наименьшим рассеянием относительно оцениваемого параметра, например, наименьшей величиной математического ожидания квадрата отклонения оценки от оцениваемого параметра: Проверка качества оценки параметра Обладает ли оценка свойством несмещенности? Обладает ли оценка свойством состоятельности? 19
7. Точечные и интервальные оценки параметров. Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т. е. : В противном случае оценка называется смещенной (присутствует систематическая ошибка). Оценка параметра называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т. е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру: или Несмещенная оценка параметра называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра, вычисленных по выборкам одного и того же объема n. Для нахождения точечных и интервальных оценок параметров (характеристик) генеральной совокупности используется ряд основных методов: Ø метод моментов; Ø метод максимального правдоподобия. 20
7. Точечные и интервальные оценки параметров. Пример точечных оценок параметров распределения сл. в. X (ni – частоты значений xi): • - выборочная средняя - несмещенная, состоятельная • • и эффективная (для нормально распределенной генеральной совокупности) оценка математического ожидания а сл. в. X - выборочная дисперсия - смещенная, но состоятельная оценка дисперсии • - исправленная выборочная дисперсия – • несмещенная и состоятельная оценка дисперсии Интервальной оценкой параметра называется числовой интервал который с заданной вероятностью накрывает неизвестное значение параметра Интервал называется доверительным, а вероятность - доверительной вероятностью или надежностью оценки Пример интервальных оценок: доверительные интервалы для генеральной средней, для генеральной дисперсии на уровне значимости 21
8. Проверка (тестирование) статистических гипотез Статистическая гипотеза - любое предположение о виде или параметре неизвестного закона распределения. Нулевая (проверяемая) гипотеза - Альтернативная (конкурирующая) гипотеза - (логическое отрицание нулевой гипотезы) Последовательность тестирования статистической гипотезы: 1) используется специально составленная выборочная характеристика (статистика) (x 1, x 2, …, xn), полученная по выборке Х 1, Х 2, …, Xn, точное или приближенное распределение которой известно; 2) по этому выборочному распределению определяется критическое значение такое, что если гипотеза Н 0 верна, то вероятность мала; так что в условиях данного исследования событие можно считать практически невозможным; 3) если обнаруживается отклонение , то гипотеза Н 0 отвергается, появление значения считается совместимым с гипотезой Н 0, которая принимается (не отвергается). Правило, по которому гипотеза Н 0 отвергается или принимается, называется 22 статистическим критерием или статистическим тестом.
8. Проверка (тестирование) статистических гипотез Критическая область VVk (область отклонения гипотезы H 0) и область допустимых значений Vk (область принятия гипотезы H 0): Плотность распределения Вероятность допустить ошибку 1 -го рода - уровень значимости критерия . Вероятность допустить ошибку 2 -го рода - , мощность критерия – 23
8. Проверка (тестирование) статистических гипотез Желательно минимизировать и и . Но при фиксированном объеме выборки это невозможно одновременно Поэтому критическую область VVk выбирают так, при заданном уровне значимости мощность критерия максимальной Границы критических областей для правосторонней критической области: для левосторонней критической области: для двусторонней критической области: Часто рассчитывают (p-value), где - фактически наблюдаемые значения выборочных характеристик; тогда если p < , то H 0 отклоняется, в противном случае H 0 принимается 24
Вопросы изученные в Теме 1: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Случайные величины и их числовые характеристики. Функция распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины. Некоторые распределения случайных величин. Многомерные случайные величины. Условные законы распределения. Двумерный (n-мерный) нормальный закон распределения. Закон больших чисел и предельные теоремы. Точечные и интервальные оценки параметров. Проверка (тестирование) статистических гипотез 32