ЭКОНОМЕТРИКА Лекция 8 Проверка статистических гипотез Качество спецификации

ЭКОНОМЕТРИКА Лекция 8 Проверка статистических гипотез Качество спецификации модели

Качество спецификации модели Под качеством спецификации модели понимается: - качество выбора функции уравнения регрессии; - качество выбора набора регрессоров (факторов) Пусть имеем модель в виде уравнения парной регрессии: Y t = a 0 + a 1 xt + u t (11. 1) Задача: оценить степень влияния экзогенной переменной Х (фактора) на величину эндогенной переменной Y Другими словами: насколько правильно предположение, что поведение эндогенной переменной зависит от значения фактора Х

Методика проверки статистических гипотез Определение. Под статистической гипотезой понимается любое предположение о виде закона распределения случайной величины или значениях его параметров Примеры статистических гипотез: Н 0: (U имеет нормальный закон распределения) H 0: (параметр а 0=0) Н 1: (параметр а 0=1) Гипотезы H 0 и H 1 называются основной и альтернативной

Методика проверки статистических гипотез Алгоритм проверки статистических гипотез. Формулируется статистическая гипотеза H 0 Искусственно формируется случайная величина «Z» , закон распределения которой известен [Pz(t, a 1, a 2)], котoрая тесно связана с гипотезой Область допустимых значений Z делится на две части: Ω 0 в которой гипотеза принимается и, Ω в которой она отклоняется Граница этих областей определяется из условия, что Z попадает в область Ω 0 с заданной вероятностью «р» По данным выборки вычисляется значение случайной величины Z и проверяется ее принадлежность область Ω 0

Методика проверки статистических гипотез Примеры. В схеме Гаусса-Маркова проверить гипотезы о том, что ai=c и y= y 0: Известно, что в схеме Гаусса – Маркова дроби: называются дробью Стьюдента и подчиняются закону распределения Стьюдента Критическое значение дроби Стьюдента находится из уравнения:

Методика проверки статистических гипотез Здесь: Pt(q) функция плотности вероятности распределения Стьюдента, tкр – двусторонняя квантиль распределения, Рдов- значение доверительной вероятности, как правило Рдов=0. 95/0. 99 Как найти значение tкр В EXCEL используется функция СТЬЮДРАСПОБР с аргументами: «α=(1 -Рдов) – мощность критерия и «m» количество степеней свободы

Методика проверки статистических гипотез Гипотеза Н 0{ai=c} не отклоняется, если выполняется условие: (11, 2) Условие (11, 2) называется точечной проверкой гипотезы Из условия (11, 2) получают границы доверительного интервала для значений дроби Стьюдента: Если константа C лежит внутри этого интервала, то гипотеза о равенстве оценки ai константе С не отвергается

Методика проверки статистических гипотез В схеме Гаусса-Маркова переменная: подчиняется закону распределения Фишера и критическое значение этой дроби вычисляется из условия:

Методика проверки статистических гипотез Закон распределения вероятностей Фишера имеет два параметра: n и m, которые называются степенями свободы В EXCEL используется процедура функция FРАСПОБР: FРАСПОБР(α; n; m) где α – мощность критерия

Методика проверки статистических гипотез Возможные ошибки проверке статистических гипотез Ошибка первого рода Когда справедливая гипотеза отклоняется Ошибка второго рода Когда ложная гипотеза принимается

Качество спецификации модели В качестве меры влияния принимаются дисперсии переменных Y, X и u Знаем, что уравнение регрессии описывает поведение среднего значения эндогенной переменной: Y* = a 0 + a 1 xt (11. 3) Тогда уравнение (11. 1) можно записать как: Yt = Y*t +ut (11. 4)

Качество спецификации модели Вычислим дисперсию Y в уравнении (11. 4) Вычислим COV(Yt*, ut): Таким образом, (11. 5)

Качество спецификации модели Введем обозначения: Здесь: TSS – общая сумма квадратов эндогенной переменной (Total sum of squares ) RSS – регрессионная сумма квадратов (Regression sum of squares ESS – сумма квадратов остатков (ошибок) (Error sum of squares

Качество спецификации модели С учетом принятых обозначений выражение (11. 4) можно записать в виде: TSS = RSS + ESS (11. 5) В качестве показателя степени влияния выбранного регрессора на поведение эндогенной переменной принимается отношение: (11. 6) R 2 – называется коэффициентом детерминации

Качество спецификации модели Замечание. Коэффициент детерминации R 2 имеет смысл (определен) только для моделей, в спецификации которой присутствует коэффициент a 0 Если коэффициент a 0 отсутствует, то нарушается равенство (11. 5) Поясним это графически. TSS=RSS=2. 625 ESS=0 TSS=2. 625 Y=2+0. 5 x Y=0. 786 x RSS=237. 7 ESS=8. 57 TSS≠RSS+ESS

Качество спецификации модели Если R 2 =1, т. е. RSS=TSS, a ESS=0, то такая модель называется «абсолютно хорошей» Это означает, что выбранный регрессор полностью объясняет поведение эндогенной переменной. Если R 2 =0, т. е. RSS=0, а ESS=TSS, то такую модель называют «абсолютно плохой» В этом случае весь диапазон изменения эндогенной переменной объясняется влиянием случайного возмущения, а выбранный регрессор не оказывает влияния, не объясняет поведение эндогенной переменной

Качество спецификации модели Отметим следующее: R 2 – величина случайная, т. к. его конкретное значение вычисляется по результатам случайной выборки Это означает, что полученное значение коэффициента детерминации отличное от нуля еще не является достаточным основанием считать модель качественной Необходимо проверить статистическую гипотезу о не равенстве нулю R 2: (H 0: R 2>0) Внимание! Формулируется гипотеза о не равенстве нулю R 2, т. е гипотеза о том, что модель не плохая

Качество спецификации модели Для проверки гипотезы H 0: R 2=0 : 1. Формируем случайную величину с известным законом распределения (11. 7) где: к - количество параметров в модели n – количество наблюдений в выборке Случайная величина FTest подчиняется закону распределения вероятностей Фишера Критическое значение зависит от уровня доверительной вероятности и двух параметров: k-1 и (n-k)

Качество спецификации модели Для проверки гипотезы H 0: R 2>0 : 2. Вычисляется по данным выборки значение FTest. 3. Находится по таблице значение Fкр(Pдов, k-1, n-k). 4. Сравниваются значения Fкр и FTest. Если FTest > Fкр (11. 8) то гипотеза H 0: R 2>0 не отвергается Значит модель имеет не плохое качество спецификации Т. е. выбранный регрессор объясняет поведение эндогенной переменной. Замечание. Значения R 2 и FTest вычисляются функцией «ЛИНЕЙН» в EXCEL

Качество спецификации модели Пример. Зависимость сбережений граждан (Y) от размера располагаемого дохода в Великобритании Yt Xt ỹt 8, 8 0, 36 12, 5 9, 4 0, 21 11, 4 10, 08 10, 4 10, 6 0, 20 11, 3 11, 0 0, 10 10, 5 11, 9 0, 12 10, 7 12, 7 0, 41 12, 9 13, 5 0, 50 0, 43 13, 1 15, 5 0, 59 14, 3 16, 7 0, 90 16, 6 18, 6 0, 82 16, 0 19, 7 1, 04 17, 7 21, 1 1, 53 21, 4 22, 8 1, 94 24, 6 23, 9 1, 75 23, 1 25, 2 1, 99 24, 9 26, 0 2, 03 25, 3 26, 8 2, 40 28, 1 7, 617566 Fкр=F(0. 95, 1, 17)=4. 4 0, 465248 R 2 FTest 9, 787071 0, 552221 FTest > Fкр 0, 940367 1, 531286 268, 0791 17 628, 602 39, 86224 Вывод: Спецификация модели качественная 13, 6 14, 3 Результат «ЛИНЕЙН» Диаграмма рассеяния и график модели

Качество спецификации модели Замечание. Значения коэффициента детерминации растет с увеличение числа регрессоров. В случае модели в виде уравнения множественной регрессии применяется модифицированный коэффициент детерминации Ř 2: (11. 9) Здесь: R 2 - коэффициент детерминации в форме (11. 6) n – объем выборки k – количество регрессоров в модели

Качество спецификации модели Замечание. При анализе модели в виде уравнения множественной регрессии принятие гипотезы H 0: R 2=0 означает, что все регрессоры не объясняют (не влияют) поведение эндогенной переменной Отклонение гипотезы H 0: R 2=0, означает, что не все регрессоры объясняют (влияют) поведение эндогенной переменной Другими словами, в составе выбранных на этапе спецификации модели регрессоров есть как влияющие, так и не влияющие регрессоры Вопрос. Как определить влияющие и не влияющие регрессоры? Ответ. Необходимо проверить гипотезу H 0: ai=0

Качество спецификации модели Проверка статистической гипотезы H 0: ai=0 Известно, что в схеме Гаусса-Маркова дробь (11. 10) подчиняется закону распределения Стьюдента (11. 10) где: ãi – оценка i-го параметра модели с – заданная константа σai-оценка стандартной ошибки оценки параметра В данном случае с=0, т. е. сравнивается вычисленное значение оценки с нулем Если гипотеза не отвергается для i-го регрессора, то этот регрессор не оказывает влияние на эндогенную переменную и его можно исключить из уравнения модели

Качество спецификации модели Расходы на жилье (Y) от располагаемого дохода (Х) и цен на жилье (Р) № п/п Yt Xt Pt 1 171, 3 1095, 4 99, 7 14 106, 4 779, 2 100, 0 2 167, 5 1058, 3 96, 7 15 102, 0 751, 6 99, 6 3 164, 8 1049, 3 94, 2 16 98, 4 722, 5 100, 0 4 159, 8 1021, 6 93, 0 17 93, 5 701, 3 100, 9 5 154, 8 1015, 5 93, 8 18 85, 3 646, 8 102, 6 6 148, 5 988, 8 94, 7 19 81, 6 616, 3 7 141, 3 942, 9 94, 5 20 77, 4 8 134, 9 906, 8 93, 7 21 9 89, 1 873, 5 102, 2 10 128, 3 875, 8 11 118, 2 12 124, 2 13 112, 5 Модель 1: Y=a 0+a 1 x+a 2 p+u -1, 274 0, 1509 119, 59 0, 787 0, 0172 90, 161 0, 9459 8, 6976 N/А 104, 0 192, 42 22 N/A 580, 8 104, 5 29112 1664, 3 N/A 74, 0 542, 3 104, 8 ti= 1. 62 22 70, 7 524, 9 105, 0 93, 3 23 67, 0 503, 8 105, 1 865, 3 99, 1 24 64, 0 489, 7 104, 5 858, 4 95, 1 25 60, 9 479, 7 104, 5 810, 3 100, 0 Выводы: регрессор x 2 не значим, его можно убрать модель 2 качественно объясняет поведение Y 8. 74 1. 33 Tкр=2. 07 Модель 2: Y=bx+v 0, 144 0 0, 0027 #Н/Д 0, 9917859 10, 843837 2897, 7946 24 340748, 19 2822, 1312

Качество спецификации модели Выводы: 1. Одним из показателей качества спецификации является коэффициент детерминации R 2 2. Качество спецификации проверяется путем с помощью статистической гипотезы Н 0: R 2 >0 Если гипотеза Н 0 принимается – модель не плохая! 3. Критерий принятия решения – Ftest 4. В моделях в виде множественной регрессии осуществляется проверка статистической гипотезы H 0: ai=0 Если гипотеза Н 0 принимается, то регрессор хi следует исключить из модели как статистически незначимый! 5. При принятии гипотезы о некачественной спецификации необходимо вернуться к первому этапу построения модели