ЕГЭ по м атем атик е ЗАДАНИЯ B

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

РЕГИСТРАЦИЯ

ЕГЭ по м атем атик е ЗАДАНИЯ B 8 B 11 Подготовили: • Кондратьев Даниил • Королева Виктория Начать

ЗАДАНИЯ • • B 8 B 11

B 8 Суть задания Задачи группы B 8 связаны с : § вычислением производной § исследованием графиков производной функции либо самой функции § определением экстремумов по заданному графику

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ В задании B 8 встречаются задачи, связанные с вычислением производной, поэтому важно знать следующее: § Уравнение касательной : y = f(x 0) + f’(x 0)(x – x 0) , y 0 = f(x 0) § Уравнение прямой: y = y 0 + k(x – x 0) § Угловой коэффициент – k k= tg - угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс Примеры: 1 2

- Пример 1 (вычисление производной) На рисунке изображена касательная проведенная к графику функции y=f(x) в его точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции y=f(x) в точке x 0. Решение: Рассмотрим прямоугольный АВС, в котором гипотенуза АВ является отрезком касательной, проведенной к графику функции y = f(x), и образует угол с положительным направлением оси абсцисс. Из рисунка(по клеткам) определим длины катетов АВ = 2 и ВС = 4. Исходя из геометрического смысла производной, решение задачи сводится к нахождению тангенса угла , который численно равен значению производной функции в точке х0. Вычисляем значение производной функции: . Т. к. длины катетов всегда положительны, то расположение ABCпроизвольно, лишь бы его гипотенуза принадлежала касательной. Следует учесть, что производная f’(x 0) равна тангенсу острого угла наклона касательной к положительному направлению сои абсцисс, значит f’(x 0)>0. Если бы угол был тупым ( >90 o), то знак производной был отрицательным, т. е. f’(x 0)<0. Ответ: 0. 5

Пример 2 (вычисление производной) На рисунке изображен график функции у = f(x). Прямая, проходящая через точки А(0; 5) и В( 10; 0), касается графика функции в точке 2. Найдите значение производной функции в этой точке. Решение: По условию прямая, проходящая через точки А(0; 5) и B(10; 0), является касательной к графику функции в точке с абсциссой х0. Следовательно, для определения значения производной f’(2) достаточно вычислить тангенс угла наклона прямой АВ к положительному направлению оси абсцисс. Так как угол между прямой АВ и положительным направлением оси абсцисс тупой, то > 90° и потому знак производной f’(2) < 0. Для нахождения численного значения производной f’(2) достаточно вычислить тангенс угла в треугольнике СBО. Из рисунка определим длины катетов: СО = 4 и ОВ = 10 - 2 = 8. Вычисляем значение Ответ : - 0, 5 . Назад

ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКОВ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ЛИБО САМОЙ ФУНКЦИИ • В группе заданий B 8 также встречаются задачи, в которых учитывается знак производной функции: § Если f’(x 0) > 0 на интервале (а; b), то на [а; b] функция у =f(x) строго возрастает. § Если f’(x) > 0, то функция у =f(x) не убывает на [а; b]. § Если f’(x) < 0, то функция у = f(x) строго убывает на [a; b]. § Если f'(x) < 0, то функция у = f(x) не возрастает на [а; b]. Пример 3 • В задачах B 8 часто встречаются примеры на параллельность касательной и заданной прямой. Обычно дается график производной y = f’(x). Если две прямые параллельны, это означает , что они наклонены к оси абсцисс под одним и тем же углом , следовательно угловой коэффициент k = tg будет одинаков. k = f’(x 0) x 0 – точка касания. Примеры: 4 5 6

Пример 3 (исследование графиков производной) На рисунке изображен график производной некоторой функции f(x), которая задана на промежутке (-4; 8). Укажите длину участка убывания функции. Решение. Функция убывает при неположительных значениях ее производной f’(x) 0. Из графика видно, что это происходит при x [2; 6]. Таким образом, длина участка, на котором некоторая функция f(x) убывает, равна l = 6 -2 = 4. Ответ : 4. Назад

Пример 4 (исследование графиков производной) На рисунке изображен график производной некоторой функции f(x), которая задана на промежутке (-3; 6). Укажите точку х0, в которой касательная параллельна оси абсцисс. (Если таких точек х0 несколько, то в ответе укажите их сумму. ) Решение. По условию задачи касательная параллельна оси абсцисс, значит, = 0 и k = tg = 0, таким образом, f’(x 0) = k = 0. Ищем на рисунке точку х0, в которой производная f’(x 0) = 0. Это точка х0 = 3. Ответ : 3.

Пример 5 (исследование графиков производной) Для рисунка примера 4 сформулируем задачу по-другому: указать количество точек, в которых касательная параллельна прямой у = 2 х - 10 или совпадает с ней. Решение. Угловой коэффициент заданной прямой у = 2 х - 10 равен k = 2. Чтобы касательная была параллельна этой прямой или совпадала с ней, нужно, чтобы f’(x 0) = 2. На указанном рисунке отмечаем те точки, в которых производная равна 2. Для этого через точку у = 2 на оси ординат проводим горизонтальную прямую, параллельную оси абсцисс. Точки пересечения исходного графика у = f’(x) с этой прямой и будут искомыми. В данном случае таких точек 3. Ответ : 3.

Пример 6 (исследование графиков производной) На рисунке изображен график производной некоторой функции f'(x). Функция определена на отрезке [-4; 6]. Укажите точку, в которой касательная к функции у = f(x) наклонена к оси абсцисс под углом 45°. Решение. Как указано выше, тангенс угла наклона касательной равен значению производной функции в точке касания: f'(x 0) = k = tg. По условию угол = 45°, tg = 1, k = 1. Значит, f’(x 0) = 1. По графику находим точку х0, в которой f’(x 0) = 1, это точка х0 = 3. Ответ : 3. Назад

ОПРЕДЕЛЕНИЕМ ЭКСТРЕМУМОВ ПО ЗАДАННОМУ ГРАФИКУ • Задачи В 8 включают в себя также задачи на нахождение экстремумов, т. е. максимума или минимума функции. Для нахождения экстремума необходимо выполнение двух условий: 1. Равенство производной нулю f'(x 0) = 0, где х0 — критическая точка. Это необходимое условие экстремума. 2. Изменение знака производной в критических точках с плюса на минус (максимум), либо с минуса на плюс (минимум). Это является достаточным условием экстремума. Примеры: 7 8 9

Пример 7 (исследование графиков производной) Функция f(x) определена на промежутке (-5; 3). График ее производной изображен на рисунке. Найдите точку x 0, в которой функция f(x) принимает наименьшее значение. Решение. Определим, в каких точках производная обращается в нуль. В данном примере критические точки х = -4; -1; 2. Во всех трех точках производная меняет знак. Значит, это точки экстремума. Чтобы функция принимала наименьшее значение, необходимо, чтобы производная меняла знак с минуса на плюс при переходе через критическую точку. При х = -1 это выполняется. Ответ : -1.

Пример 8 (исследование графиков производной) На рисунке изображен график производной функции у = f'(x). Функция задана на промежутке [-5; 5]. Укажите точку, в которой функция достигает наименьшее значение. Решение. Как видно из графика, производная обращается в нуль при х = 1, но знак не меняется при переходе через эту точку. Следовательно, в точке х = 1 нет экстремума. На промежутке (-5; 5) производная f'(x) ≥ 0. Значит, функция у = f(x) не убывает, тогда наименьшего значения функция достигает в начале промежутка при х = -5. Ответ: -5.

Пример 9 (исследование графиков производной) Функция у=f(x) определена на отрезке [-8; 10]. а) Найдите точки максимума (если их больше одной, в ответе укажите их сумму), б) Укажите число точек минимума. в) Укажите число точек экстремума, г) Укажите число точек, в которых касательная к графику параллельна оси абсцисс, д) Определите по графику наибольшее значение функции на отрезке [-8; 10]. е) Определите наименьшее значение функции на отрезке [-8; 10].

Решение. а) По определению максимальное значение функции f(x 0) ≥ f(x) в окрестности точки х0, где x 0 — точка максимума. Максимум имеет вид «горбика» на графике. На рисунке функция у = f(x) имеет несколько локальных минимумов и максимумов. Следует отметить, что на отрезке [-8; 10] локальный минимум может превышать локальный максимум. Из графика видно, что локальный максимум достигается в точках х0 = -6; -2; 5 и 8. Сумма точек максимума равна - 6 - 2 + 5 + 8 = 5. Ответ : 5. б)Локальный минимум достигается в точках х0 = -7; - 5; 1; 7 и 9, т. е. их число составляет 5. Ответ : 5. в)Вычислим общее количество точек максимума и минимума: 9. Ответ: 9. г)Необходимое условие экстремума — это равенство нулю производной f’(x) = 0. Геометрический смысл производной состоит в том, что производная равна тангенсу угла наклона касательной, т. е. касательная имеет нулевой угол наклона — параллельна оси абсцисс в точках экстремума. Подсчитаем число локальных экстремумов, т. е. число. «горбиков» и «впадин» . Это число равно 9. Ответ : 9. д)Сравним значение всех локальных экстремумов на промежутке (-8; 10) и значения функции в точках х = - 8 и х = 10: f(-8) и f(10). Наибольшее значение функции достигается при х = -2 и равно 10. Ответ: 10. е)Решаем аналогично пункту д), но определяем наименьшее значение, которое достигается при х = -7 и равно 0. Ответ : 0. Назад

В 11 Суть задания Задания В 11 связаны с использованием производной для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции.

Пример 1 Найдите точку максимума функции у = х2(2 х - 3) + 2 Решение. Найдем производную функции у' = 6 х2 - 6 х. Используем необходимое условие экстремума — приравниваем у‘= 0, т. е. 6 х(х - 1) = 0. Критические точки — точки, в которых производная равна нулю или не существует, в данном примере это точки х = 0; 1. Перейдем к достаточному условию экстремума, рассмотрев изменение знака у' (см. рис. ). В точке х = 0 знак производной меняется с плюса на минус, следовательно, х = 0 — это точка максимума. Ответ : 0.

ПРИМЕЧАНИЕ 1 • Если в задачах спрашивается о точках максимума или минимума, то в ответе указываются значения аргумента х, при котором достигается экстремум функции. • Если же ставится вопрос о нахождении максимума (минимума) функции или наибольшего (наименьшего) значения функции, то в ответе указывается значение функции у в соответствующей критической точке.

Пример 2 Найдите наименьшее значение функции Решение. Преобразуем исходную функцию с использованием основного логарифмического тождества: , получим у = х+1 + 7 - х + 2 х2 + 3 = 2 х2 + 11. Производная у' = 4 х обращается в нуль при х = 0. В точке х = 0 знак производной меняется с минуса на плюс, т. е. точка х = 0 — точка минимума. Чтобы найти наименьшее значение функции, подставим значение х = 0 в выражение для функции. Получаем, что наименьшее значение равно у(0) = 11. Ответ : 11.

Пример 3 Найдите наибольшее значение функции у = log 3(81 - х2) + 2. Решение. Находим производную функции . Приравнивая y’ = 0, получим, что х = 0. Изменение знака производной показано на рисунке. Следовательно, в точке х = 0 достигается наибольшее значение функции. Подставляя х = 0 в исходную функцию, получим у(0) = log 381 + 2 = 4 + 2 = 6. Ответ : 6.

Пример 4 Найдите наименьшее значение функции у = е 4 х + е - 4 х - 5. Решение. Определим производную функции у' = 4 е 4 х - 4 е - 4 х. Преобразуя данное выражение, получим . Тогда у' = 0, если е 4 x = 1, т. е. х = 0. Изменение производной в точке х = 0 с минуса на плюс показывает, что в ней достигается минимум функции. Наименьшее значение функции равно у(0) = 1 + 1 - 5 = -3. Ответ : -3.

Пример 5 Найдите наименьшее значение функции у = log 20, 5 (х + 10) – 2 log 0, 5(х + 10) - 2. Решение. Вычислим производную . Прирав- нивая y’ = 0, получим, что критические точки x = - 9, 5 и х = - 10. Изменение знака производной представлено на рисунке. При этом следует учесть, что ln 0, 5 < 0 и x > -10 согласно свойству логарифма, поэтому точка x = - 9, 5 – точка минимума и наименьшее значение функции равно -3. Ответ : -3

НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО/НАИМЕНЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ f(x) НА ЗАДАННОМ ОТРЕЗКЕ [а; b] Алгоритм 1. Определяем локальные экстремумы функции внутри отрезка с использованием производной(как было показано выше). 2. Вычисляем значения функции на границах отрезка f(a) и f(b). 3. Наибольшее(наименьшее) значение функции выбирается среди значений локальных экстремумов и значений f(a) и f(b).

Пример 6 Найдите наибольшее значение функции у = 5 х + 2 х - 9 на отрезке [-3; 1]. Решение. Сначала находим производную функции у' = 5 x * ln 5 + 2. Производная у' > 0 для любого х R, следовательно, функция у возрастает на отрезке [-3; 1]. Поэтому наибольшее значение функции достигается при х = 1. Подставим х = 1 в значение функции, получим y’(1) = 5 + 2 - 9 = -2. Ответ : -2.

Пример 7 Найдите наибольшее значение функции у = -х3 + Зx 2 + 9 х - 5 sin /6 на отрезке [-2; 2]. Решение. Вычислим производную функции у’ = -Зх2 + 6 х + 9. Приравнивая у = 0, определим критические точки х1= -1 и х2 = 3. Участки знакопостоянства производной представлены на рисунке. Минимум функции достигается при х = 1 и равен уmin = 1 + 3 - 9 - 5/2 = -7, 5. Локальный максимум достигается при х = 3 и равен уmах = -27 + 27 - 5/2 = 24, 5, однако точка х = 3 не входит в заданный отрезок. Вычислим значение функции на краях отрезка: у(-2) = 8 +12 -18 - 5/2 = -0, 5 и у( 2) = -8 + 12 +18 - 5/2 = 19, 5. Выберем наибольшее из трех значений функции: -7, 5; -0, 5 и 19, 5. Наибольшим значением является 19, 5. Ответ : 19, 5.

Пример 8 Найдите наибольшее значение функции [ /4; 3 /4]. Решение. Производная заданной функции равна и проводя преобразования, получим уравнения будут следующие: на отрезке . Приравнивая y’=0. Решениями данного Из всех решений совокупности в отрезок [ /4; 3 /4] попадает лишь x = /2. Остается вычислить значения функции в точках /4, /2, 3 /4 и выбрать наибольшее: Наибольшее значение равно 3. Ответ : 3

Пример 9 Найдите наибольшее значение функции у = 15 ctgx + 15 х - 7, 5 + 7, 5 на отрезке [ /4; З /4]. Решение. Производная заданной функции sinx = -1, т. е , либо равна нулю, если sinx = 1 либо. В отрезок [ /4; 3 /4] входит лишь корень x = /2. Вычисляя значения функции в точках /4, /2, 3 /4 получим что: Наибольшее значение равно 7, 5. Ответ : 7, 5

Ура, Ко. Нэ. Ц!!!

Скачать презентацию ЕГЭ по м атем атик е ЗАДАНИЯ B

Задания B8-B11 норм.pptx

Количество слайдов: 29