Двумерные случайные величины Лекция 7 Системы случайных

Двумерные случайные величины Лекция 7

Системы случайных величин • Определение Двумерная СB - случайная точка или случайный вектор на координатной плоскости. • При этом каждому конкретному исходу опыта ставится в соответствие точка плоскости с координатами (x, y). Составляющие X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Закон распределения случайной величины • может быть задан: • а)в виде таблицы с двойным входом, содержащей возможные значения и их вероятности; • б)аналитически, в виде интегральной функции. • в)аналитически, в виде дифференциальной функцией распределения

Дискретные двумерные случайные величины • Определение Закон распределения дискретной двумерной случайной величины - таблица с двойным входом, задающая перечень возможных значений каждой компоненты и вероятности с которыми величина принимает заданное значение При этом сумма вероятностей, стоящих во всех клетках таблицы, равна 1.

Закон распределения двумерной дискретной величины

Пример • Дан закон • • распределения двумерной случайной величины. Найти законы распределения составляющих. Решение Складывая стоящие в таблице вероятности «по столбцам» , получим ряд распределения для X. Складывая те же вероятности «по строкам» , найдем ряд распределения для Y

• Определение Функцией распределения F(x, y) двумерной случайной величины называется вероятность того, что X

Свойства функции распределения системы двух случайных величин • 1. Если один из аргументов стремится к плюс бесконечности, то функция распределения системы стремится к функции распределения одной случайной величины, соответствующей другому аргументу 2. Если оба аргумента стремятся к бесконечности, то функция распределения системы стремится к единице

• 3. При стремлении одного или обоих аргументов к минус бесконечности функция распределения стремится к нулю. 4. Функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу. 5. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область

6. Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле

Плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины • Определение Плотность совместного распределения вероятностей двумерной случайной величины (X, Y) называется вторая смешанная частная производная от функции распределения

Свойства функции плотности • Функция плотности неубывающая Условие нормировки Поверхность, изображающая функцию плотности называется поверхностью распределения

• Если известна плотность распределения, то функция распределения может быть легко найдена по формуле:

• По известной плотности совместного распределения можно найти плотности распределения каждой из составляющих двумерной случайной величины.

Условный закон распределения • Определение Распределение одной случайной • • величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение, называется условным законом распределения. Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения так и плотностью распределения. Условная плотность распределения вычисляется по формуле

• Случайные величины Х и Y называются независимыми, если условный закон распределения одной из них не зависит от того, какое значение примет другая: Для независимых случайных величин

Числовые характеристики системы случайных величин • Математическое ожидание • Дисперсия

. • Корреляционный момент , характеризующий линейную связь между случайными величинами Х и Y, а также их разброс вокруг точки. Для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю. Однако случайные величины могут быть зависимыми, но некоррелированными(корреляционный момент равен нулю).

• Корреляционный момент системы (X, Y) Коэффициент корреляции (оценка линейной связи между X и Y )

• Корреляционный момент удобно вычислять по формуле размерность равна произведению размерностей случайных величин X и Y.

• Корреляционная матрица системы двух случайных величин X и Y вычисляется Корреляционная матрица - симметричная квадратная матрица размером M*M, где М – число исследуемых факторов, недиагональные элементы - мера тесноты связи между парой факторов.

Свойства корреляционного момента