ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Двойственные задачи линейного

ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Двойственные задачи линейного программирования Исходная задача линейного программирования имеет вид f(X)=c 1 x 1+c 2 x 2+…+cnxn → max при ограничениях

Двойственная по отношению к задаче называется задача: Z(Y)=b 1 y 1+b 2 y 2+…+bmym →min при ограничениях Рассмотренная пара взаимно двойственных задач образует симметричную пару.

Экономическая интерпретация двойственной пары Прямая задача: сколько и какой продукции X = (х1, х2, . . . , хn) надо произвести, чтобы при заданных стоимостях единицы продукции сj - (j = 1, n), объемах имеющихся ресурсов bi (i = 1, m) и нормах расходов aij максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении. Двойственная задача: какова должна быть оценка единицы каждого из ресурсов Y= (у1 , у2, , . . , уm), чтобы при заданных bi, сj и аij минимизировать общую оценку затрат на всю продукцию. Каждая из задач двойственной пары фактически является самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо от другой задачи.

Пара двойственных задач образующих несимметричную пару Исходная задача имеет вид: f(X)=c 1 x 1+c 2 x 2+…+cnxn → max при ограничениях: Двойственная задача: Z(Y)=b 1 y 1+b 2 y 2+…+bmym →min при ограничениях:

Другой вариант несимметричной пары двойственных задач Исходная задача f(X)=c 1 x 1+c 2 x 2+…+cnxn → max при ограничениях: Двойственная задача: Z(Y)=b 1 y 1+b 2 y 2+…+bmym →min при ограничениях:

Теоремы взаимно двойственных задач Первая теорема двойственности. Для взаимно двойственных задач имеет место один из взаимоисключающих случаев. 1) В прямой и двойственной задачах имеются оптимальные решения, при этом значения целевых функций на оптимальных решениях совпадают: f(X) = Z(Y) 2) В прямой задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена сверху. При этом у двойственной задачи будет пустое допустимое множество. 3) В двойственной задаче допустимое множество не пусто, а целевая функция на этом множестве не ограничена снизу. При этом у прямой задачи допустимое множество оказывается пустым. 4) Обе задачи имеют пустые допустимые множества.

Вторая теорема двойственности (теорема о дополняющей нежесткости). Пусть Х = (х1, х2, …, хn) - допустимое решение прямой задачи, a Y = (y 1, y 2, …, уn) - допустимое решение двойственной задачи. Для того чтобы они были оптимальными решениями соответственно прямой и двойственной задач, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения: yi∙ ; xj ∙

Теорема об оценках. Значения переменных уi в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов bi системы ограничений (неравенств) прямой задачи на величину

Экономико-математический анализ решений двойственных задач Для анализа используют объективно обусловленные оценки оптимального плана. Свойства оценок уi оптимального плана следующие: Свойство 1. Оценки как мера дефицитности ресурсов и продукции. Свойство 2. Оценки как мера влияния ограничений на функционал. Свойство 3. Оценки как инструмент определения эффективности отдельных вариантов. Свойство 4. Оценки как инструмент балансирования суммарных затрат и результатов.

Решение двойственной задачи с помощью надстройки Поиск решения в среде Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета. Существует три типа отчета: Результаты. В отчет включаются исходные и конечные значения целевой и изменяемых ячеек, дополнительные сведения об ограничениях. Устойчивость. Отчет содержит сведения о чувствительности решения к изменениям в изменяемых ячейках или в формулах ограничений. Пределы. Помимо исходных и конечных значений изменяемых и целевой ячеек в отчет включаются верхние и нижние границы значений, которые могут принимать изменяемые ячейки при соблюдении ограничений. Решение двойственной задачи можно найти, выбрав команду Поиск решений => Отчет по устойчивости.

Отчет по устойчивости состоит из двух частей. Первая часть содержит информацию, относящуюся к переменным: результат решения задачи (графа Результирующее значение); нормируемая стоимость (графа Нормируемая стоимость ), которая показывает, насколько изменится значение целевой функции в случае принудительного включения единицы этой продукции в оптимальное решение. Разница между правыми и левыми частями ограничений двойственной задачи можно найти также в столбце Нормируемая стоимость (с обратным знаком по сравнению с симплексной таблицей); коэффициенты целевой функции (графа Целевой коэффициент); предельные значения приращения целевых коэффициентов ∆cj, при которых сохраняется первоначальное оптимальное решение (графы: Допустимое увеличение; Допустимое уменьшение).

Во второй части отчета содержится информация, относящаяся к ограничениям: величина использованных ресурсов (графа Результирующее значение); предельные значения приращения ресурсов ∆bi. В графе Допустимое уменьшение показано, насколько можно уменьшить (устранить излишек) или увеличить (повысить минимально необходимое требование) ресурс, сохранив при этом структуру оптимального решения. При анализе дефицитных ресурсов, возникает вопрос, насколько максимально должен возрасти запас этих ресурсов, чтобы обеспечить увеличение выпуска продукции. Ответ на этот вопрос приведен в графе Допустимое увеличение; ценность дополнительной единицы ресурса i (графа Теневая цена).

• Замечание 1. Ценность различных видов ресурсов нельзя отождествлять с действительными ценами, по которым осуществляется их закупка. В данном случае речь идет о некоторой мере, имеющей экономическую природу, которая характеризует ценность ресурса только относительно полученного оптимального решения. • Замечание 2. Интервалы изменения каждого из свободных членов системы ограничений исходной задачи, или интервалы устойчивости двойственных оценок определены во второй части Отчета по устойчивости. Изменение запасов ресурсов в пределах интервалов устойчивости двойственных оценок приводит не только к изменению значения целевой функции, но и к изменению плана выпуска. При этом структура плана не изменяется – изделия, которые были убыточны, не входят в новый план выпуска, так как цены на ресурсы не изменились.