Двойственность и анализ чувствительности

Двойственность и анализ чувствительности Лекция № 5

Определение двойственной задачи Соотношения между решениями задач Экономическая интерпретация двойственности Вопросы

В реальной жизни условия, формирующие модель, не остаются постоянными Средством, позволяющим оценить изменения в оптимальном решении, при изменении исходных параметров модели Исходная задача линейного программирования называется прямой Для формирования двойственной задачи прямая задача должна быть записана в канонической форме Вводные замечания

Каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи Каждой переменной прямой задачи соответствует ограничение двойственной задачи Коэффициенты при переменной в прямой задаче становятся коэффициентами ограничения в двойственной задаче Коэффициенты целевой функции двойственной задачи равны правым частям ограничений прямой задачи Принципы формирования двойственной задачи

Прямая задача в каноническом виде Двойственная задача Пример

1. Коэффициент при j-ой переменной в f- строке в одной задаче это разность между левой и правой частями j-го неравенства в другой задаче Рассмотрим пример Первое соотношение между оптимальными решениями

x 1 x 2 x 3 x 4 R 1 B x 4 1 2 1 1 0 10 R 1 2 -1 3 0 1 8 f -5 -2 M -12+M -4 -3 M 0 0 -8 M x 1 x 2 x 3 x 4 R 1 B x 4 1/3 7/3 0 1 -1/3 22/3 x 3 2/3 -1/3 1 0 1/3 8/3 f -7/3 -40/3 0 0 4/3+M 32/3 x 1 x 2 x 3 x 4 R 1 B x 2 1/7 1 0 3/7 -1/7 22/7 x 3 5/7 0 1 1/7 2/7 26/7 f -3/7 0 0 40/7 -4/3+M 368/7 Итерации

x 1 x 2 x 3 x 4 R 1 B x 2 0 1 -1/5 2/5 -1/5 12/5 x 1 1 0 7/5 1/5 26/5 f 0 0 3/5 29/5 -2/5+M 274/5 Возвращаясь к первой симплекс-таблице x 1 x 2 x 3 x 4 R 1 B x 4 1 2 1 0 10 R 1 2 -1 3 0 1 8 f -5 -12 -4 0 -M 0 Получаем, что Из первого соотношения получаем Оптимальное решение

Для любой пары допустимых решений прямой и двойственной задачи Значение целевой функции в задаче максимизации не превышает значения в задаче минимизации В точке оптимума значения целевых функций совпадают Второе соотношение между решениями

Рассмотрим задачу о распределении ресурсов

Второе соотношение Доход = Стоимость ресурсов Отсюда возникает понятие о том, что yi – это двойственные (теневые) цены Анализ задачи

Первое соотношение Отсюда: сумма представляет собой суммарную стоимость ресурсов, необходимых для производства единицы продукции Если она превышает cj, производство данной продукции убыточно Анализ задачи