Двойственная задача Двойственная задача — это вспомогательная

Двойственная задача • Двойственная задача - это вспомогательная задача линейного программирования (ЛП), формулируемая с помощью определённых правил непосредственно из условий исходной (прямой) задачи. Задача I (исходная) при ограничениях: и условии неотрицательности х1 0, х2 0 , . . . , хn 0

ü bi (i = 1, 2, . . . , m) – запас ресурса Si , üаij – число единиц ресурса Si потребляемого при производстве единицы продукции Pj (j = 1, 2, . . . , n); üсj – прибыль (выручка) от реализации единицы продукции Pj (или цена продукции Pj). Составить такой план выпуска продукции Х = (х1, х2, . . . , хn), при котором прибыль от реализации продукции будет максимальной при условии, что потребление ресурсов по каждому виду продукции не превзойдет имеющихся запасов.

Задача II (двойственная) при ограничениях: и условии неотрицательности у1 0, у2 0, . . . , уm 0 Найти такой набор цен (оценок) ресурсов Y = (у1, y 2, . . . , уm), при котором общие затраты на ресурсы будут минимальными при условии, что затраты на ресурсы при производстве каждого вида продукции будут не менее прибыли (выручки) от реализации этой продукции

Свойства двойственных задач 1. В одной задаче ищут максимум линейной функции, в другой минимум. 2. Коэффициенты при переменных в линейной функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений в другой. 3. Каждая из задач задана в стандартной форме, причем в задаче максимизации все неравенства вида " ", а в задаче минимизации - все неравенства вида " ". 4. Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач являются транспонированными друг к другу.

Свойства двойственных задач 5. Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой задаче. 6. Условия неотрицательности переменных имеются в обеих задачах. Задача, двойственная к двойственной - эта сама исходная задача. Оптимальные значения целевых функций в исходной и двойственной задачах совпадают (т. е. максимум в исходной задаче совпадает с минимумом в двойственной).

Цех может производить стулья и столы. На производство стула идет 5 единиц материала, на производство стола - 20 единиц. Стул требует 10 человеко-часов, стол - 15. Имеется 400 единиц материала и 450 человеко-часов. Прибыль при производстве стула - 45 у. е. , при производстве стола - 80 у. е. Сколько надо сделать стульев и столов, чтобы получить максимальную прибыль? 45 х1 + 80 х2 → max , 5 х1 + 20 х2 ≤ 400 , 10 х1 + 15 х2 ≤ 450 , х1 ≥ 0 , х2 ≥ 0. 400 s 1 + 450 s 2 → min , 5 s 1 + 10 s 2 ≥ 45, 20 s 1 + 15 s 2 ≥ 80, s 1 ≥ 0, s 2 ≥ 0. Оптимальные значения s 1 и s 2 показывают стоимость материала и труда соответственно, если их оценивать по вкладу в целевую функцию.