Двойной интеграл Замена переменных в двойном интеграле Двойной

Двойной интеграл Замена переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных координатах 1/13

Замена переменных в двойном интеграле 2/13 Пусть в замкнутой области D плоскости XOY задана непрерывная функция z = f(x, y). Заменим переменные xиy: Если функции x и y имеют в некоторой области D* плоскости 0 uv непрерывные частные производные и не равный нулю определитель: определитель Якоби (якобиан) а функция f(x, y) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменной в двойном интеграле:

Замена переменных в двойном интеграле 3/13 Вычислить двойной интеграл D ограничена линиями: xy = 1; xy = 2; y = x; y = 3 x. если область y y = 3 x Сделаем замену переменных: y=x D y = 2/x y = 1/x 0 x

Замена переменных в двойном интеграле Найдем уравнения линий, ограничивающих область D* 4/13

Замена переменных в двойном интеграле Выразим переменные x и y через u и v. Найдем частные производные от получившихся функций: 5/13

Замена переменных в двойном интеграле Найдем якобиан преобразования: 6/13

Замена переменных в двойном интеграле Построим область 7/13 D*. Расставим пределы интегрирования, пользуясь формулой (1): v 3 2 D* 1 Вычислим двукратный интеграл: 0 1 2 u

Двойной интеграл в полярных координатах Рассмотрим частный случай замены переменных: замену декартовых координат x и y полярными координатами r и φ. В качестве u и v возьмем полярные координаты r и φ. Они связаны с декартовыми координатами формулами: Правые части в этих равенствах – непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования равен: 8/13

Двойной интеграл в полярных координатах 9/13 Формула замены переменных принимает вид: Пусть область D* задана линиями в полярной системе координат: Лучами Кривыми Область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой r = r 2(φ системе координат ) r = r 1(φ ) D* β 0 α r Такая область называется правильной областью в полярной системе координат: луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в двух точках.

Двойной интеграл в полярных координатах Расставим пределы интегрирования: r = r 1(φ ) β 10/13 r = r 2(φ ) D* α 0 Внутренний интеграл здесь берется при постоянном φ. r

Двойной интеграл в полярных координатах 11/13 Замечания 1 Переход к полярным координатам целесообразен, когда подынтегральная функция имеет вид f(x 2+y 2) ; область D есть круг, кольцо или части таковых. 2 На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены Уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам. 3 Преобразование области D в область D* не выполняют, а совмещают декартовы и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по r и φ.

Двойной интеграл в полярных координатах 12/13 Вычислить Перейдем к полярным координатам: y Изобразим область D в декартовой системе координат. D 0 3 x

Двойной интеграл в полярных координатах В полярной системе координат эта область будет определяться неравенствами: 0 2π 0 3 13/13 y r=3 D 0 φ 3 x