Двойной интеграл Основные понятия Геометрический смысл двойного интеграла

Двойной интеграл Основные понятия Геометрический смысл двойного интеграла Основные свойства двойного интеграла Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах 1/17

2/17 Основные понятия Пусть в замкнутой области D плоскости XOY задана непрерывная функция z = f(x, y). Разобьем область D на n «элементарных областей» Di, площади которых обозначим через ΔSi, а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) через di. y Di В каждой области Di выберем произвольную точку Mi(xi; yi). Составим сумму вида: D Mi(xi; yi). 0 x

Основные понятия Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x, области D. 3/17 y) в Рассмотрим предел интегральной суммы, когда n стремится к бесконечности, таким образом, что Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x; по области D и обозначается: y)

Основные понятия 4/17 Таким образом, двойной интеграл определяется равенством: Функция f(x; y) называется интегрируемой в области D, D – область интегрирования, x; y – переменные интегрирования, dxdy (или d. S) – элемент площади. Для всякой ли функции существует двойной интеграл? На этот вопрос дает ответ теорема: Теорема Если функция z = f(x; y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области (достаточное условие интегрируемости функций).

Геометрический смысл двойного z = f(x; y) интеграла 5/17 Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью z = f(x; y), z снизу замкнутой областью D на плоскости XOY , с боков цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси OZ, а направляющей служит граница области D. 0 y D x Такое тело называют цилиндрическим. Найдем его объем.

Геометрический смысл двойного интеграла f(xi ; yi) 6/17 Разобьем область D на n областей Di, площади которых равны ΔSi z Рассмотрим цилиндрические столбики с основанием Di, ограниченные сверху кусками поверхности z = f(x; y) В своей совокупности они составляют тело V Обозначив объем столбика с основанием Di, через ΔVi, получим: 0 y Di x Возьмем на каждой площадке Di точку Mi(xi; yi) и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием Di и высотой zi = f(xi; yi). Mi(xi; yi).

Геометрический смысл двойного интеграла 7/17 Объем этого цилиндра приближенно равен объему ΔVi цилиндрического столбика Тогда получаем: Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше размеры элементарных областей, поэтому: Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.

8/17 Свойства двойного интеграла 1 2 y 3 Если область D разбить на две области D 1 и D 2 не имеющих общих точек, то D 1 0 4 D 2 x

Свойства двойного интеграла 5 Если в области D имеет место неравенство: 6 Если в области D функции f(x; неравенству: 7 Если функция f(x; y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S то: 9/17 y) и g(x; y) удовлетворяют где m и M соответственно наименьшее и наибольшее значение подынтегральной функции в области D.

Свойства двойного интеграла 8 10/17 Если функция f(x; y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точка (x 0 ; y 0), что Величину называют средним значением функции f(x ; y) в области D.

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах 11/17 Область D называется правильной в направлении оси ОY , ОX если любая прямая, параллельная оси ОY , пересекает границу ОX области не более чем в двух точках. Правильная область Неправильная область y y D D 0 x Аналогично определяется область, правильная в направлении оси OX. Область, правильная, как в направлении оси OX, так в направлении оси OY, называется просто правильной

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах 12/17 Пусть область D ограничена прямыми x = a, x = b (a < b) и кривыми y = φ1(x), y = φ2(x), причем функции φ1(x) и φ2(x) непрерывны и таковы, что y y = φ2(x) 2 Таким образом задается область, правильная в направлении оси OY. D 0 a (1) y = φ1(x) b x

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах 13/17 (1) Формула (1) представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах. Правую часть формулы (1) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции f(x, y) по области D. Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая x постоянным, затем берем внешний интеграл, то есть результат первого интегрирования интегрируем по x в пределах от a до b.

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах 14/17 Пусть область D ограничена прямыми y = c, y = d (c < d) и кривыми x = ψ1(y), x = ψ2(y), причем функции ψ1(y) и ψ2(y) непрерывны и таковы, что y x = ψ1(x) 1 d Таким образом задается область, правильная в направлении оси OX. При вычислении внутреннего интеграла считаем y - const D x = ψ2(x) 2 c 0 x (2)

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах Вычислить D: Воспользуемся формулой (2) 15/17 y y = x 2 2 1 y = 2 -- x x 2 y D 0 0 1 2 постоянная x

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах 16/17

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах Изменить порядок интегрирования 17/17 y 2 1 1 Интеграл записан по формуле (1) Выпишем уравнения линий, ограничивающих область D: 0 0 D: Теперь запишем интеграл по формуле (2) 1 2 x 1