Двойной интеграл двойной интеграл двукратный интеграл

Двойной интеграл { двойной интеграл – двукратный интеграл - пример – замена переменной в двойном интеграле – якобиан преобразования – вычисление двойного интеграла в полярной системе координат – примеры }

Двойной интеграл z Двойной интеграл Интегральная сумма Римана z = f(x, y) f(x, y x=a 0 a x j 1 (x) y j 2 (x) f(x, y) S x=b b Двухкратный интеграл

Пример @ Вычислить двойной интеграл: y Решение 2 S 3 x

Двойной интеграл Объем цилиндроида (цилиндрического бруса) z d c a b Теорема Фубини z = f(x, y) = c x y 1 ( S y 2 (y ) y) d y y= 0 Свойства c y S 1 d Площадь плоской фигуры - S 2

Пример @ Вычислить двойной интеграл: y x = y Решение y=2 y=1 x D D 1 x = y 3 D 2 Второй способ вычисления интеграла - неэффективен

Пример y X=8 Вычислить X=2 @ lnx S x Решение

Замена переменных в двойном интеграле определяется отражением T области R в плоскости uv в область S плоскости xy. y (x, y) y = 2 x+3 y = 2 x+1 S Y = 5 -x Y = 2 -x R U=3 v (u, v) v u S y x Пример V=5 U=1 x R V=2 u Пусть S – область, ограниченная прямыми линиями y = 2 x + 3, y = 2 x + 1, y = 5 - x and y = 2 - x. Найти преобразование T с отражением области R в плоскости uv на S, где R – прямоугольная область с границами, параллельными осям u, v.

Якобиан преобразования Якобианом преобразования называется определитель: (x, y) R (u, v) v u S y x Замена переменной в двойном интеграле

Пример Решение y = 2 x+1 S Y = 5 -x Y = 2 -x v x V=5 R U=3 Вычислить y = 2 x+3 U=1 @ y V=2 u

Двойной интеграл в полярной системе координат Преобразование T : отражение области R : r, j на S: x, y. y r (x, y) ( r , j) Якобиан преобразования: j x j=b 0 r=g 2( r= 0 g 1 ( j) R j) j= a п. о.

Пример @ Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кривой и лежащей вне круга Решение 0 j 2 = 7 p/6 j 1 = -p/6