Двогранний кут α α δ β
Теорема косинусів а² = в² + с² - 2 вс соs А B C a c b A Теорема синусів а/sin. A = b/sin. B = c/sin. C
Перпендикуляр і похила до площини А С α В Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будьякий відрізок, який сполучає дану точку з точкою площини і не є перпендикуляром до площини. АС - похила Точка С – основа похилої Відрізок, який сполучає основи перпендикуляра та похилої, проведених з однієї і тієї самої точки, називають проекцією похилої. ВС – проекція похилої ∠АСВ – кут між похилою і площиною
Властивості перпендикуляра й похилої Якщо з точки, взятої поза площиною, проведено до площини перпендикуляр і похилі, то: 1) перпендикуляр коротший за будь-яку похилу; 2) проекції рівних похилих є рівними й, навпаки, похилі, що мають рівні проекції, є рівними; 3) з двох похилих більша та, проекція якої більша. c > a, c а b а c c>b b d Якщо a = b, то c = d Якщо c = d , то a = b b а c d Якщо c > d , то a > b Якщо a >b, то c > d
Кут між прямими у просторі: ∠(АВ; СД)=α (АВ; СД)= Д А О С а в α ∠АОД і∠ДОВ-суміжн ∠АОД+∠ДОВ=180 В ∠АОД і∠СОВ-верикальн ∠АОД=∠СОВ а∥в ∠ (а; в)=0º
а і в- мимобіжні ∠(а; в)=∠(а₁; в) а ∥ а₁ в α а а₁
Кут між прямою та площиною: 1) АВ⊥β 2) СВ – проекція а на β А ∠(β; а)=∠(а; а₁), де а₁- проекція а на β α а₁ а С В β
а⊥β; ∠(а; β)=90º в∥ β; ∠(а; β)=0º в β а
КУБ С₁ В₁ А₁ ∠ (СС₁; АВС) ∠ (В₁Д₁; АВС) Д₁ ∠ (ДС₁; АВС) В С ∠ (Д₁С₁; ВВ₁Д₁) ∠ (АС; ВВ₁Д₁) А Д
Двогранним кутом називається фігура, утворена двома півплощинами разом із спільною прямою, що їх обмежує. А λ γ α В а Цю пряму називають ребром двогранного кута; півплощини – грані двогранного кута С β λ⊥а ∠АВС- лінійний кут двогранного кута АВ ⊥ а; СВ ⊥ а
Кут між площинами: α α α δ δ β β Гострий Прямий α δ β Тупий
Побудова кута між площинами: 1) Вибираємо В⊂ а А 2) Проводимо. ВА ⊥а та ВС⊥ а α В а ∠АВС- лінійний кут С δ двогранного кута β 1) Проводимо. А В⊥ а 2) Проводимо ВС⊥ а ∠АВС- лінійний кут двогранного кута А α В а С δ β
Кут між площинами не залежить від місця побудови лінійного кута α δ δ δ β
Кінці відрізка, довжина якого 13 см, належать двом перпендикулярним площинам, а відстані від кінців відрізка до лінії перетину площин 8 см, 5 см. Знайти відстань між основами перпендикулярів, проведених з кінців відрізка до лінії перетину площин. А 5 α А₁ В₁ 8 β 13 В
Кінці відрізка лежать у двох перпендикулярних площинах. Проекції відрізка на площини 20 см і 16 см. Відстань між основами перпендикулярів, проведених з кінців відрізка до лінії перетину площин 12 см. Знайти довжину відрізка. А α 16 12 В₁ А₁ 20 В β
Дано куб АВСДА₁В₁С₁Д₁. Назвіть ребро і лінійний кут двогранного кута з гранями: В₁ С₁ А₁ 1) АВС і В₁ВС Д₁ 2) А₁АД і АВД В А С Д 3) ДД₁С₁ і А₁Д₁С₁
Площини α і β перетинаються по прямій т. У площинах α і β проведено прямі а і в відповідно, які паралельні прямій т. Відстань між прямими а і т 5 см , а між в і т – 3 см. Знайти кут між площинами α і β , якщо відстань між прямим а і в 7 см. В α 5 a A m 3 b 7 C β
Дві площини перетинаються під кутом 60º. Точка А знаходиться на відстані 10 см від цих площин. Знайдіть відстань від точки А до лінії перетину цих площин. С α 10 А 10 О 60º Д β
У середині двогранного кута , градусна міра якого 120º, задано точку А , яка розміщена на відстані а від кожної грані. Знайти відстань від точки А до ребра двогранного кута. А а α С а О 120º В β
Кут між площинами α і β, які перетинаються по рямій а, дорівнює 60º. У площинах α і β вибрано точки М і К відповідно. З них до прямої а проведено перпендикуляри КК₁ та ММ₁. Знайти довжину відрізка. КМ, якщо КК₁=3 см, ММ₁=8 см, М₁К₁=√ 15 см. К 3 β К₁ √ 15 60º М₁ а 8 М α
Сторона ВС рівностороннього трикутника АВС належить площині α, а відстань від вершини А до площини α дорівнює 1 см. Знайдіть кут між площинами АВС і α, якщо площа трикутника АВС дорівнює 4√ 3/3 см². А 1 В α β М Д С
Побудувати лінійний кут двогранного кута АВСD – прямокутник А В D С N
Побудувати лінійний кут двогранного кута АВСD – трапеція. А В D N M С
Через гіпотенузу АВ прямокутного трикутника АВС проведено площину, яка утворює з площиною трикутника кут 30º. Знайдіть відстань від вершини С до цієї площини, якщо катети трикутника 6 см і 8 см. С 6 В 8 α 30º Д А М
Рівнобедрені трикутники. АВС і АВД мають спільну основу АВ. Кут між їх площинами дорівнює 60º. Знайдіть довжину відрізка СД, якщо ВС=15 см, ВД=13 см, АВ=24 см. С 15 Д А 60º α 24 13 М В
Рівносторонній трикутник АВЕ і квадрат АВСД мають спільну сторону АВ довжиною 4 см. Знайдіть кут між їх площинами , якщо ЕС =2√ 2 см. С К 2√ 2 Д В М α 4 А Е
Через гіпотенузу прямокутного рівнобедреного трикутника проведено площину, яка утворює з площиною трикутника кут 45º. Знайти кути , які утворюють катети трикутника з цією площиною. С А 45º α Д В Е
