Движение в геометрии Понятие движения Движение

Движение в геометрии

Понятие движения Движение – это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между точками

Виды движения • • Центральная симметрия Осевая симметрия Зеркальная симметрия Параллельный перенос

Центральная симметрия

Центральная симметрия отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М 1 относительно данного центра О.

Построения

Теорема о центральной симметрии Центральная симметрия является движением.

Если M Докажем, что центральная симметрия является движением. Обозначим точку О – центр симметрии и введем прямоугольную систему координат Оxyz с началом в точке О. Установим связь между координатами двух точек: M(x; y; z) и M 1(x 1; y 1; z 1). S 0 (M) = M 1. О – середина ММ 1, О (0; 0; 0) Тогда (x+x 1)/2=0; (y+y 1)/2=0; (z+z 1)/2=0. Значит, x= -x 1; y= -y 1; z= -z 1. Если М=О, то х = х1 = у1 = z 1 = 0. Рассмотрим А(х1; у1; z 1), В(x 2; y 2; z 2), А —> А 1, В —> В 1, тогда А 1(-x 1; -y 1; -z 1), В 1(-x 2; -y 2; - z 2). Тогда, т. е. АВ=А 1 В 1. Тогда Sо - движение.

Примеры центральной симметрии

Центральный зал станции

Кактус

Центральная симметрия A’ B’ O D C B A C’ D’

Осевая симметрия

Осевой симметрией с осью l называется отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М 1 относительно оси l.

Построения

l Ф Ф 1

Осевая симметрия вокруг нас

Фигуры, обладающие осевой симметрией

Геометрические фигуры, обладающие осевой симметрией

Теорема об осевой симметрии Осевая симметрия является движением.

Докажем, что осевая симметрия есть движение. Введем прямоугольную систему координат Оxyz, совместим ось Оz с осью симметрии и установим связь между координатами точек M(x; y; z) и M 1(x 1; y 1; z 1), если Soz (М) = М 1. OZ ММ 1 и проходит через его середину. Т. к. Оz проходит через середину ММ 1 , то х = - х1, у = - у1. Если точка М лежит на оси Оz, то х1 = х = 0, у1 = у = 0, z 1 = z = 0. Рассмотрим А(x 1; y 1; z 1), В(x 2; y 2; z 2), А—> А 1, В—> В 1, тогда А 1(-x 1; -y 1; z 1), В 1(-x 2; -y 2; z 2) следовательно АВ=А 1 В 1, т. е. Sоz - движение.

Осевая симметрия a C OC OD C’ D’ D OA A B OB B’ A’

Зеркальная симметрия

Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости ) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М 1 относительно этой плоскости . М О М К М 1 ОМ=ОМ 1 ; ММ 1 К 1 МК=М 1 К 1

А П А 1

Зеркальная симметрия вокруг нас

Пейзаж «Озеро» Отражение в воде – хороший пример зеркальной симметрии в природе. Мы любуемся пейзажами художников, удачными снимками. Горы красиво отражаются на поверхности озера, придавая снимку законченность. Поверхность озера играет роль зеркала и воспроизводит отражение в геометрической точностью.

Зеркальная симметрия в архитектуре г. Санкт- Петербурга Александринский театр Исаакиевский собор

Улица Росси имеет плоскость симметрии в общем обзоре.

Примерами зеркальный отражений одна другой могут служить правая и левая руки человека

Теорема о зеркальной симметрии Зеркальная симметрия является движением.

Докажем, что зеркальная симметрия есть движение. , , Введем прямоугольную систему координат Оxyz, совместим плоскость Оxy с плоскостью симметрии и установим связь между координатами точек M(x; y; z) и M 1(x 1; y 1; z 1), где Sa (М) = М 1. Если М не лежит в плоскости Оху, то х = х1, у = у1, z = - z 1. Если М лежит в плоскости Оху , то . Рассмотрим А(x 1; y 1; z 1), В(x 2; y 2; z 2), А—> А 1, В—> В 1 , тогда А 1(x 1; y 1; -z 1), В 1(x 2; y 2; -z 2), тогда, АВ=А 1 В 1, т. е. SОху – движение.

Зеркальная симметрия α D OC C B A OD OB OA C B D A

Параллельный перенос

Параллельный перенос на вектор р - это такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в такую точку М 1, что вектор ММ 1 равен вектору р.

Докажем, что параллельный перенос есть движение. Пусть параллельный перенос переводит: А—> А 1, В—> В 1, тогда По правилу треугольника Тогда Это значит, что АВ = А 1 В 1.

Построения

Параллельный перенос C’ C D’ D A’ A B B’