Другие системы счисления Все системы счисления делятся

Другие системы счисления

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от её позиции в числе.

o o o Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская. В качестве цифр в ней используются: I(1), V(5), D(500). Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в числе ХХХ (30) цифра Х встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину – число 10, три числа по 10 в сумме дают 30.

Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа – прибавляется. o Например, запись десятичного числа 1998 в римской системе счисления будет выглядеть следующих образом: MCMXCVIII = 1000+(1000 – 100)+(10010)+5+1+1+1. o

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами. Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной, то есть в ней использовалось шестьдесят цифр. До сих пор при измерении времени мы используем основание, равное 60 (в 1 мин = 60 сек, 1 час = 60 мин).

o o В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. До сих пор мы часто употребляем дюжину (число 12): в сутках две дюжины часов, круг содержит тридцать дюжин градусов и так далее. Наиболее распространенными в настоящее время позиционными системами счисления является десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Каждая позиционная система имеет определенный алфавит цифр и основание.

В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее алфавите) и определяет, во сколько различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа. Система счисления Основание Алфавит цифр Десятичная 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Двоичная 2 0, 1 Восьмеричная 8 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Шестнадцатеричная 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А(10), В (11), С(12), D(13), . E(14), F(15)

Перевод числа из двоичной системы в десятичную систему счисления 102 = 1*21+0*20 = 1*2+0*1= 2 1012 = 1*22+0*21+1*20 = 1*4+0*2+1*1=5 В двоичной системе счисления для изображения любых чисел используются только две различные цифры, то при построении ЭВМ можно использовать элементы, которые могут находиться только в двух состояниях. Это обстоятельство, а также простота выполнения арифметических операций являются причиной того, что большинство современных ЭВМ используют двоичную систему счисления.

Неудобство использования двоичной системы счисления заключается в громоздкости записи чисел. Это неудобство не имеет существенного значения на ЭВМ. Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека – числа получаются очень длинными и их трудно записывать и запоминать. Однако если возникает необходимость кодировать информацию «вручную» , например, при составлении программы на машинном языке, то предпочтительнее, оказывается, пользоваться восьмеричной или шестнадцатеричной системой счисления. Эти системы являются родственными двоичной системы.

Восьмеричная система В восьмеричной системе счисления базисными являются 0 -7. Запись любого числа в этой системе основывается на его разложении по степеням числа восемь с коэффициентами, являющимися указанными выше базисными числами.

Перевод чисел из восьмеричной системы в десятичную 67, 58= 6*81+7*80+5*81=6*8+7*1+5*1/8= 48+7+0, 63=55, 6310

Шестнадцатеричная В шестнадцатеричной системе счисления базисными числами от нуля до пятнадцати. Это система отличается от рассмотренных ранее тем, что в ней общепринятых (арабских) цифр не хватает для обозначения всех базисных чисел, поэтому приходится вводить в употребление новые символы.

Шестнадцатеричная 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А(10), В (11), С(12), D(13), . E(14), F(15) Например, 175, 510 в шестнадцатеричной системе будет записываться в виде AF. 8 10*161+15*160+8*16 -1= 160+15+8/16=175. 5

Перевод чисел из двоичной системы в 8 ую и 16 ую Перевод чисел между системами счисления, основания которых является степень числа 2 (q=2 n), можно производить по алгоритмам, которые применяются для перевода чисел между двоичной (q=21), восьмеричной (q=23) и шестнадцатеричной (q=24) системами счисления.

Для записи двоичных чисел используются две цифры, то есть в каждом разряде числа возможны 2 варианта записи. Решает показательное уравнение: 2=2 I. Так как 2=21, то I=1 бит. Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит информации. Для записи восьмеричных чисел используют восемь цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 8 вариантов записи. 8=2 I. Так как 8=23, то I=3 бита Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита информации.

Таким образом, для перевода целого двоичного числа в восьмеричное его нужно разбить на группы по три цифры, справа налево, а затем преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру. Если в последней, левой, группе окажется меньше трех цифры, то необходимо ее дополнить слева нулями.

Переведем 1010012 101 0012 1*22+0*21+1*20 0*22+0*21+1*20= 4+0+1=5 0+0+1=1 518 Для упрощения перевода можно составить таблицу Двоичн. Восьм. 000 0 001 010 011 100 101 110 111 1 2 3 4 5 6 7

Для записи шестнадцатеричных чисел используются 16 цифр, то есть в каждом разряде числа возможны 16 вариантов записи. 16=2 I. Так как 16=24, то I=4 бита Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации. Таким образом, для перевода целого двоичного числа в 16 ое его нужно разбить на группы по четыре цифры(тетрады), начиная справа, и, если последней левой группе окажется меньше четырех цифр, дополнить ее слева нулями.

Переведем целое двоичное число 1010012 Шеснт. 1 2 3 Двоичн. 0001 0010 4 5 6 7 8 9 A B C D E 0010 Составьте таблицу Получается 1010012 = 2916 Вывод: для того чтобы двоичное число перевести в восьмеричную или шестнадцатеричную систему счисления, необходимо произвести преобразование по алгоритмам F

Домашнее задание Перевести целые десятичные числа 910; 1710 в двоичную систему восьмеричную шестнадцатеричную систему счисления. o