Доведення дедукція у логіці висловлювань 1 Вираження аргументів

Доведення (дедукція) у логіці висловлювань 1. Вираження аргументів у логіці висловлювань. 2. 2. Правила дедуктивного виводу у логіці 3. висловлювань. 4. 3. Reductio ad absurdum.

1. Вираження аргументів у логіці висловлювань Було продемонстровано, що засобами логіки висловлювань можна символізувати багато форм тверджень. Отже, можна також символізувати аргументні форми, побудовані із форм тверджень. Нехай маємо аргумент (1): 1. If Joseph lives in Phoenix, he lives in Arizona. 2. If Joseph lives in Tucson, he lives in Arizona. 3. Joseph lives in either Phoenix or Tucson. 4. Therefore, Joseph lives in Arizona.

Приклад символізації аргументу (1) Його форму можна символізувати наступним чином: P→A T→A P T A

Оцінка аргументу (1) на валідність Аргументна формально валідна iff з її засновків в тавтологічний спосіб випливає її висновок. Або, іншими словами, вона формально валідна iff відповідна імплікація є тавтологією. Можна визначити, чи є цей аргумент формально валідним, побудувавши таблицю істинності для формули (P → A) (T → A) (P T) → A

Застосування тавтологічної імплікації Проте, існує простіший спосіб оцінити аргумент на валідність. Можна бачити, що цей аргумент є прикладом тавтологічної імплікації дилема. Таким чином, наведений аргумент є формально валідним.

Аргумент (2) 1. If Joseph lives in either Arizona or California, he must pay sales tax on this purchase. 2. If Joseph lives in Phoenix, he lives in Arizona. 3. If Joseph lives in Tucson, he lives in Arizona. 4. Joseph lives in either Phoenix or Tucson. 5. Therefore, Joseph must pay sales tax on this purchase.

Символізація аргументу (2) Він може бути символізований таким чином: (A C) → S P→A T→A P T S Для встановлення валідності цього аргументу також можна побудувати таблицю, але вона буде складатись із 32 -х рядків. Це незручно.

Застосування тавтологічних імплікацій Для перевірки того, чи дійсно висновок випливає із засновків, можна застосувати декілька тавтологічних імплікацій: 1. (A C) → S засновок 2. P → A засновок 3. T → A засновок 4. P T засновок 5. A дилема, 2, 3, 4 6. A C додавання, 5 7. S МР, 1, 6

2. Правила дедуктивного виводу Правило 1 (Implication): застосовуй тавтологічні імплікації та тавтологічні еквівалентності. Еквівалентності можна застосовувати для побудови виводів у двох напрямках. Наприклад, ЗДМ можна застосувати для виводу (P Q) із ( P Q) або для виводу ( P Q) із (P Q).

Приклад застосування Implication Покажемо, що з (P ↔ Q) і (Q ↔ R) випливає (P ↔ R). Для цього спочатку звернемось до таблиць VІ і VІІ. З них можна отримати тавтологічну еквівалентність А В eq. (А В) (В А). Назвемо її визначенням еквіваленції (ВЕ)

Продовження прикладу 1. P ↔ Q 2. Q ↔ R 3. (P → Q) (Q → P) 4. (Q → R) (R → Q) 5. P → Q 6. Q → R 7. P → R 8. R → Q 9. Q → P 10. R → P 11. (P → R) (R → P) 12. P ↔ R засновок ВЕ, 1 ВЕ, 2 спрощення, 3 спрощення, 4 гіпотет. силогізм, 5, 6 спрощення, 4 спрощення, 3 гіпотет. силогізм, 8, 9 з’єднання, 7, 10 ВЕ, 11

Правило 2 (Premise introduction) Будь-яка формула може бути записана на будь-якій лінії породження як засновок.

Правило 3 (Conditionalization) Якщо формула B з’являється на деякій лінії породження і A є будь-яким засновком цієї лінії, тоді на будь-яку наступну лінію можна записати A → B.

Ілюстрація застосування правил 2 і 3 Нехай нам потрібно вивести P → (P Q). 1. P 2. P Q 3. P → (P Q) premise introduction додавання, 1 conditionalization, 1, 2 Із 1. породжується (P Q). Таким чином, якщо P істинне, тоді (P Q) істинне. Але це означає, що (P → (P Q)) істинне. І це є саме тим, що ми отримали на лінії 3, застосовуючи правило conditionalization. Це правило дозволяє видаляти засновок, записуючи його як антецедент умовного твердження.

Правило 4 (Double negation) Якщо деяка формула A з’являється на лінії породження і формула B є її частиною, тоді там, де A* є результатом заміни входження B на B, A* можна записати на будь-яку наступну лінію. Якщо деяка формула A з’являється на лінії породження і формула B є її частиною, тоді там, де A* є результатом заміни входження B на B, A* можна записати на будь яку наступну лінію.

Пояснення до Double negation Воно дає можливість позбавлятися подвійної негації, коли вона є частиною формули, або вводити її як частину формули. А тавтологічна еквіваленція A eq. A (ЗПН) застосовується до усієї формули.

Приклад на Double negation Чи випливає P з ( P → P)? Із таблиць IV і V отримуємо тавтологічну еквівалентність А В eq. А В. Назвемо її “Визначення імплікації” (ВІ). 1. ( P → P) засновок 2. ( P P) ВІ, 1 3. (P P) double negation, 2 4. P спрощення, 3

Правило 5 (Reductio ad absurdum) Якщо деяка формула Q з’являється на лінії породження і Q з’являється на іншій лінії, тоді для будь-якої формули P, яка є засновком однієї з цих ліній, на будь-яку наступну лінію можна записати P. Якщо деяка формула Q з’являється на лінії породження і Q з’являється на іншій лінії, тоді для будь-якої формули P, яка є засновком однієї з цих ліній, на будь-яку наступну лінію можна записати P.

Приклад на Reductio ad absurdum Хочемо породити (P → Q) → P → (Q → R): 1. P → (Q → R) 2. P → Q 3. (P → R) із засновку засновок premise introduction 4. ( P R) BI, 3 5. P R ЗДМ, 4 6. P R 7. P double negation, 5 спрощення, 6

Продовження прикладу на Reductio ad absurdum 8. R 9. Q → R 10. Q 11. R 12. P → R 13. (P → Q) → (P → R) спрощення, 6 МР, 1, 7 МР, 2, 7 МР, 9, 10 red. ad abs. , 8, 11, 3 conditional. 2, 11

Приклад прямого виводу Засновки: 1. “Якщо я поїду поїздом і буду в пункті призначення наступного дня, тоді я не зустрінусь із своїм другом”. 2. “Я буду в пункті призначення наступного дня і зустрінусь із своїм другом”. Покажемо у формальний спосіб, що з цих засновків випливає висновок : “Я не поїду поїздом”.

Формалізація 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. (A B) → C В C C В C (A B) A B A засновок спрощення, 2 ЗПН, 3 МТ, 1, 5 ЗДМ, 6 диз’юнкт. сил. , 4, 7

Непрямий вивід є різновидом умовного виводу. Умовний вивід починається із введення припущення. Випадок, коли із введення припущення отримуємо суперечливість і на цій підставі говоримо про хибність припущення, і є випадком непрямого виводу.

Приклад непрямого виводу Довести: „Я маю не ходити на першу пару або не ходити на дискотеку”: А С. Із таких засновків: „ Якщо я піду на першу пару, тоді я встану рано, а якщо я піду на дискотеку, то ляжу спати пізно”: (А В) (С D). “Якщо я ляжу спати пізно, а встану рано, тоді я буду слабким”: D В Е. „ Я не маю бути слабким”: Е.

Непрямий вивід 1. (А В) (С D) 2. D В Е 3. Е *4. ( А С) *5. А С *6. А *7. С *8. А В засновок Прип. УВ ЗДМ, double negation, 4 спрощення, 5 спрощення, 1

Завершення непрямого виводу * 9. С D *10. В *11. D *12. D В *13. Е *14. ( А С) * 15. А С спрощення, 1 МР, 8, 6 МР, 9, 7 з’єднання, 11, 10 МР, 2, 12 Ra. A, 3, 13, 4 ЗПН, 14.

3. Стратегії побудови породжень в логіці висловлювань. Питання у тому, як підбирати правила, бо побудова породжень не є такою механічною процедурою, як побудова таблиць істинності.

3. 1. Умовні твердження Можливі дві ситуації: 1) умовне твердження отримується як висновок (backward reasoning); 2) щось отримується як висновок умовного твердження (forward reasoning).

Backward reasoning для → Припустимо, що потрібно показати, що Q → (R → (Q R)) є тавтологією. Будуємо породження: 1. Q засновок 2. R засновок 3. Q R ТI. 14, 1, 2 4. R → (Q R) Conditionalization, 2, 3 5. Q → (R → (Q R)) Conditionalization, 1, 4

Forward reasoning (1) для → Найпростіший і найбільш поширений засіб є modus ponens. Якщо маємо умовне твердження A → B на одній лінії і антецедент A на іншій лінії, тоді за ТI. 9 можемо вивести B. Приклад: 1. P Q засновок 2. Q → (R S) засновок 3. Q ТI. 2, 1 4. R S ТI. 9, 2, 3 5. S ТI. 2, 4

Forward reasoning (2 -4) для → Застосуванням modus tollens (TI. 10); hypothetical syllogism (TI. 13); contraposition (TE. 16).

3. 2 Кон’юнкції Обидві стратегії демонструються прикладом породження (Q R) (P S) із P Q: 1. P Q 2. P 3. Q 4. P S 5. Q R засновок ТI. 1, 1 ТI. 2, 1 ТI. 3, 2 ТI. 3, 3 6. (Q R) (P S) ТI. 14, 4, 5

3. 3. Диз’юнкції Породження диз’юнкцій з інших формул (backward reasoning). Найпростіший випадок, коли породжується один із диз’юнктів і потім застосовується ТI. 3 або ТI. 4. Це було проілюстровано попереднім породженням.

Застосування ТЕ. 19 -20 для Наприклад, хочемо породити P Q із P (Q R): 1. P (Q R) 2. P засновок Premise introduction 3. Q R 4. Q 5. P → Q 6. P Q ТI. 11, 1, 2 ТI. 1, 3 Conditionalization, 2, 4 ТE. 19, 5 (або ТE. 4 і ТE. 1)

Forward reasoning для Застосуванням ТI. 15 (dilemma): якщо хочемо породити висновок C із A B, треба породити A → C і B → C і потім застосувати ТI. 15: 1. (P Q) (P R) засновок 2. P Q Premise introduction 3. P ТI. 1, 2 4. (P Q) → P Conditionalization, 2, 3 5. P R Premise introduction 6. P ТI. 1, 5 7. (P R) → P Conditionalization, 5, 6 8. P ТI. 15, 1, 4, 7

3. 4. Еквіваленції Якщо хочемо вивести еквіваленцію з чогось іншого, спочатку виводимо кон’юнкцію, якій вона еквівалентна, а потім застосовуємо ТE. 7 для перетворення її в еквіваленцію. Якщо хочемо виводити із еквіваленції, перетворюємо останню за допомоги ТE. 7 на дві кон’юнкції.

Обидві стратегії для еквіваленції Чи випливає P ↔ Q із P ↔ Q? 1. P ↔ Q 2. (P → Q) (Q → P) 3. P → Q 4. Q → P 5. P → Q 6. Q → P 7. ( P → Q) ( Q → P) 8. P ↔ Q засновок ТE. 7, 1 ТI. 1, 2 ТI. 2, 2 ТE. 16, 4 ТE. 16, 3 ТI. 14, 5, 6 ТE. 7, 7

3. 5. Негації Застосовуємо ТE. 1, ТE. 2, ТE. 3, ТE. 5 або ТE. 6 для трансформації негацій і прикладаємо вже відомі стратегії. Приклад породження P Q із (P Q): 1. (P Q) засновок 2. P Q ТE. 2, 1 3. P ТI. 1, 2 4. P Q ТI. 3, 3

Об’єднання стратегій Наведені стратегії застосовуються спільно для побудови складних породжень.