Дополнительные главы математики Лекция 2 Решение матричного

Дополнительные главы математики Лекция 2

Решение матричного уравнения методом элементарных преобразований Для решения уравнения вида АХ = В следует: 1) построить расширенную матрицу (A|В); 2) используя элементарные преобразования строк расширенной матрицы, получить на месте матрицы A единичную матрицу E; тогда на месте матрицы В будет искомая матрица Х. Схема этого процесса: (A|В)~…~(E| Х) 2

Для решения уравнения вида ХА= В следует: 1) транспонировать исходное уравнение (ХА)Т=ВТ, тогда АТХТ= ВТ (получаем уравнение, соответствующее предыдущему случаю); 2) реализовать схему: (AТ| ВТ)~…~(E| ХТ); 3) найти решение: Х=(ХТ) Т. 3

§ 3. Понятие ранга матрицы Рассмотрим матрицу размера m n: Рангом матрицы называется наивысший порядок ненулевого минора. Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. Обозначение ранга матрицы A: r(A) = rg(A) = rang(A). 4

Добавим к элементарным преобразованиям матрицы - вычеркивание нулевой строки (столбца) - вычеркивание одной из двух пропорциональных строк (столбцов). Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы. Поэтому для вычисления ранга удобно приводить матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. 5

Пример. Найти ранг матрицы 6

Тема 2. Системы линейных уравнений § 1. Основные понятия Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными: 7

Матричная форма записи: АХ=В, где А − матрица из коэффициентов при неизвестных, называемая матрицей системы, Х − матрица-столбец из неизвестных, В − матрица-столбец свободных членов системы: 8

Определение. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет решений, то она называется несовместной. Совместная система может иметь единственное решение, тогда она называется определенной; может иметь множество решений, тогда она называется неопределенной. 9

Определение. Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены bi=0 (i=1, 2, …, m). Определение. Система линейных уравнений называется неоднородной, если хотя бы один из коэффициентов bi ≠ 0 (i=1, 2, …, m). 10

§ 2. Решение систем с квадратной невырожденной матрицей Рассмотрим систему n неизвестными: линейных уравнений с n Матрица системы − квадратная. 11

Решение системы линейных уравнений средствами матричного исчисления Запишем систему в матричной форме АХ = В. Если det A ≠ 0, то существует обратная матрица A− 1. Умножив равенство АХ=В слева на A− 1, получим: Х= A− 1 В. Замечание. Если det A = 0 и система является однородной, то она имеет бесконечно много решений. 12

Решение системы по формулам Крамера Система линейных уравнений с квадратной невырожденной матрицей А имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера: где Δ = det A, Δi - есть определитель, полученный из Δ заменой его i-го столбца столбцом свободных членов (i=1, 2, …, n). 13

Пример. Решить СЛУ 14

§ 3. Решение произвольной системы методом Гаусса Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений AX = B и ее расширенную матрицу (A | B), т. е. матрицу, составленную из матрицы A и столбца свободных членов B: 15

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) Прямой ход метода Гаусса состоит в приведении расширенной матрицы системы к матрице ступенчатого вида (с нулями ниже главной диагонали) с помощью элементарных преобразований. Обратный ход состоит в получении нулей выше главной диагонали. При этом на главной диагонали нужно получить ненулевые элементы (за исключением нулевых строк). 16

Будем использовать следующие элементарные преобразования: 1) умножения строки на число, отличное от нуля; 2) прибавления к строке другой строки; 3) вычеркивания одной из пропорциональных строк; 4) перестановки строк или столбцов местами; 5) вычеркивание нулевых строк. 17

Пример. Решить СЛУ методом Гаусса 18

Критерий Кронекера - Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы При решении СЛУ возможны следующие ситуации 1) если ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы системы, то система несовместна. 2) если ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы, то система совместна, при этом а) если ранг равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение; б) если ранг меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений. 19

Пример 1. Решить систему 20

Пример 2. Решить систему 21

Пример 3. Решить систему 22

Тема 3. Элементы линейной алгебры § 1. Линейная зависимость векторов Пусть – система векторов. Определение. Линейной комбинацией элементов системы A с коэффициентами называется элемент вида. Если то говорят, что элемент b линейно выражается через элементы системы A (обозначение b ⊣ A). 23

Определение. Говорят, что система векторов А линейно зависима, если хотя бы один из которых не равен нулю, такие что Определение. Система векторов А линейно независима, если равенство возможно лишь при условии 24

Справедливы следующие утверждения: • Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима. • Если к линейно зависимой системе прибавить любое число векторов, то система останется линейно зависимой. • Если система векторов линейно независима, то всякая ее подсистема линейно независима. 25

Критерий линейной зависимости. 26

Пример. Выяснить, будет ли система векторов линейно зависимой. 27

Пусть – система векторов. Подсистема A’ системы А называется максимальной линейно независимой системой (МЛНС) в А, если выполнены условия: 1) A’– линейно независима; 2) система линейно зависима. 28

Свойства МЛНС. 1) Если A’– МЛНС в A, то любой вектор из системы A линейно выражается через A’. 2) Если A 1 и A 2 – МЛНС в , то число элементов систем A 1 и A 2 одинаково. Определение. Рангом системы элементов называется количество элементов ее МЛНС. 29

Пример 1. Показать, что векторы а 1 = (– 2, 1, 1), а 2 = (0, 1, 2), а 3 = (2, 1, 0) линейно независимые. Выразить вектор b = (0, 4, 5) через данные векторы. 30

Пример 2. Найти какую-нибудь МЛНС системы векторов и выразить через неё все остальные векторы системы: x 1 = (− 3, − 1, 6, 2), x 2 = (3, 4, 2, − 2, 3), x 3 = (− 4, − 3, − 2, 6, 0), x 4 = (− 10, − 5, − 4, 18, 4), x 5 = (7, 7, 4, − 8, 3). 31