Дополнительные главы математического анализа 2 Точки и

Дополнительные главы математического анализа § 2. Точки и множества топологического пространства.

n

Множество А X. Точка х0 Х. n Точка х0 для множества А называется внутренней, если существует О(х0) А. n Точка х0 для множества А называется внешней, если существует О(х0) Х А (О(х0)∩А=Ø). n Точка х0 для множества А называется граничной, если любая О(х0)∩Х А≠Ø и О(х0)∩М≠Ø, т. е. в любой ее окрестности этой точки есть как точки принадлежащие множеству А, так и не принадлежащие ему. Х=R 2 А x 1 x 3 x 2

Множество А X. Точка х0 Х. n Точка х0 для множества А называется предельной, если любая О(х0) имеет хотя бы одну общую точку с А (бесконечно много общих точек), отличную от х0. n Совокупность всех предельных точек множества А называется производным множеством А и обозначается А/. n Точка множества А называется изолированной точкой А, если существует О(х0), не содержащая точек из А, отличных от х. n Точка х0 называется точкой прикосновения множества А, если любая О(х0) содержит точки из А. Х=R 2 А/ А

Множество А X. n Совокупность всех внутренних точек множества А называется внутренностью А и обозначается int. А. n Совокупность всех внешних точек множества А называется внешностью А и обозначается ext. А. n Совокупность всех граничных точек множества А называется границей А и обозначается ∂А. n Множество точек прикосновения А называется замыканием множества А и обозначается [А]. n [A]=int. А U ∂А или [A]=AUA/. Х=R 2 ext. А int. А A ∂А [А]

n Точка множества А является изолированной точкой А, если она не является предельной. n Граничной всегда является изолированная точка. n Каждая предельная точка множества А является его точкой прикосновения. Обратное неверно. n Граница для множества А является границей и до его дополнения, т. е. ∂А=∂(ХА).

n Множество А X. Множество А называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием, т. е. [А]=А. n n Множество А называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, т. е. А/ А. Множество А называется открытым, если его дополнение замкнуто. n Множество А называется открытым, если все его точки внутренние, т. е. А=int. А. Х=int. А U ∂А U int(X А)

Замкнутые и открытые множества n Множество А является замкнутым тогда и только тогда, когда ∂А А. n Замыкание множества А является наименьшим замкнутым множеством содержащим А, т. е. [А] есть пересечение всех замкнутых множеств, содержащих А. n Для любого множества А внутренностью является наибольшее открытое множество, содержащееся в А. n Граница есть замкнутое или пустое множество. n Множество Х и Ø являются одновременно и открытыми и замкнутыми.

n Множество А называется плотным в В, если . Множество А называется всюду плотным (плотным в Х), если , т. е. в любой окрестности любой точки имеются точки множества А. n Множество А называется нигде не плотным в Х, если его дополнение ХА всюду плотно в Х. n Топологическое пространство Х называется сепарабельным, если в нем существует счетное или конечное всюду плотное множество. n n Множество А называется совершенным, если оно замкнуто и каждая точка множества А является его предельной точкой: А/ А и А А/, т. е. множество является не только замкнутым, но и плотным в себе.

n n Множество М X. Множество М называется несвязным, если существует двух непустых открытых множеств А и В пространства Х, таких, что А∩В=Ø (непересекающиеся), А∩М≠Ø и В∩М≠Ø (имеют общие точки с М) и М АUВ. Множество M называется связным, если такие множества не существуют. Х=R 2 М А А М В В М –связное М – несвязное

n n Всякое открытое связное множество А называется областью в пространстве Х. Всякое замкнутое связное множество А называется континуумом в пространстве Х. Х=R 2 А Область А Континуум

Покрытием U множества А пространства Х называется множество подмножеств таких, что. n Покрытие называется открытым, если все множества открыты, и конечным, если оно состоит из конечного числа элементов. n Х=R 2 А Покрытие открытое и конечное

Подпокрытием покрытия U называется подмножество , если оно само является покрытием. n Топологическое пространство Х называется компактным, если всякое открытое покрытие пространства Х содержит конечное подпокрытие. n Подмножество А в топологическом пространстве Х называется компактным, если оно компактно, как топологическое пространство с индуцированной топологией. n