Докажите что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами

Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. А F S D N В L С

Определение Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. a b М

Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая под эстакадой. IIIIIIIIIIIIIIII IIIIIIII

a b

Найдите на рисунке параллельные прямые. Назовите параллельные прямые и плоскости. Найдите скрещивающиеся прямые.

Признак скрещивающихся прямых Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. D АВ СD В А C ?

Три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве b a а b М а II b b b a a а b

№ 38. Через вершину А ромба АВСD проведена прямая а, параллельная диагонали ВD, а через вершину С – прямая b, не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что: а) а и СD пересекаются; б) а и b скрещивающиеся прямые. b a ? b a А В C D

Каково взаимное положение прямых 1) AD 1 и МN; 2) AD 1 и ВС 1; 3) МN и DC? B 1 С 1 А 1 D 1 В С M А N D

Докажите, что прямые 1) AD и C 1 D 1; 2) A 1 D и D 1 C; 3) AB 1 и D 1 C B 1 С 1 А 1 D 1 В С M А N D скрещивающиеся.

Основание призмы АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 – трапеция. Какие из следующих пар прямых являются скрещивающимися? 1) D 1 C и C 1 D; 2) C 1 D и AB 1; 3) C 1 D и AB; 4) AB и CD. А 1 D 1 B 1 С 1 D А В С

Теорема о скрещивающихся прямых Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. A С E D B

Любая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части, называемые полуплоскостями. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей. полуплоскость гр ан и ца полуплоскость а

Углы с сонаправленными сторонами A 3 О 3 A 2 О 1 A A 1 О В 2

Теорема об углах с сонаправленными сторонами Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны. A О B A 1 О 1 B 1

Угол между прямыми b a Пусть - тот из углов, который не превосходит любой из трех остальных углов. Тогда говорят, что угол между пересекающимися прямыми равен.

m n 1000 800 b 300 a Угол между прямыми а и b Угол между прямыми m и n 300. 800.

Угол между скрещивающимися прямыми b n a m М а b Через произвольную точку М 1 проведем прямые m и n, соответственно параллельные прямым a и b. Угол между скрещивающимися прямыми a и b равен

Угол между скрещивающимися прямыми b m a М а b Точку М можно выбрать произвольным образом. В качестве точки М удобно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых.

Прямая СD проходит через вершину треугольника АВС и не лежит в плоскости АВС. E и F – середины отрезков АВ и ВС. Найдите угол между прямыми СD и EF, если DCA = 600 D E А В F EF СD C ?

Прямая МА проходит через вершину квадрата АВСD и не лежит плоскости квадрата. Докажите, что МА и ВС – скрещивающиеся прямые. Найдите угол между скрещивающимися прямыми МА и ВС, если МАD =450. М B МА ВС А С D ?

№ 46. Прямая m параллельна диагонали ВD ромба АВСD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что а) m и АС – скрещивающиеся прямые – и найдите угол между ними; б) m и AD – скрещивающиеся прямые – и найдите угол между ними, если АВС = 1280. т С В D 1280 А

На рисунке АВСD – параллелограмм, АВС = 1300, АА 1 II BB 1 II CC 1 II DD 1 и АА 1= BB 1=CC 1=DD 1. Найдите угол между прямыми АВ и А 1 D 1. Рассмотрите различные способы. B 1 С 1 А 1 D 1 В С 1300 А D

На рисунке АВСD – параллелограмм, ВСC 1 = 1200, АА 1 II BB 1 II CC 1 II DD 1 и АА 1= BB 1=CC 1=DD 1. Найдите угол между прямыми ВВ 1 и АD. B 1 С 1 А 1 D 1 1200 В А С D