Доказательство теоремы о замене переменной Пусть выполнены три

Доказательство теоремы о замене переменной

При этом говорят, что в пределе слева сделана замена переменной по формуле t=f(x), или в пределе справа сделана подстановка по формуле t=f(x). Заметим еще, что если условие 3 не выполнено, то заключение теоремы не может быть сделано. Определение

Обозначим через h1 и h2 расстояние точки a до концов Ú и положим Ϭ=min(h1,h2, Ϭ2 ). Тогда 0<|x-a|< Ϭ=> 0<|f(x)-b|< Ϭ1=> |g(f(x))-c|< ε Так как Ϭ ≤ Ϭ2, то для этих x выполнены условия 0<|x-a|< Ϭ2 =>|f(x)-b|< Ϭ1. Кроме того Ϭ≤ h1 и Ϭ≤ h2, и поэтому x∈ Ú следовательно, f(x)≠b по условию 3 теоремы. В силу условия 0<|t-b|< Ϭ1 =>|g(t)-c|< ε Доказательство теоремы закончено Доказательство (1) (2)