Днепропетровский национальный университет имени Олеся Гончара Кафедра теоретической

Днепропетровский национальный университет имени Олеся Гончара Кафедра теоретической и прикладной механики Чернецкий Сергей Александрович Курс лекций по сопротивлению материалов Часть 2. 11 Интеграл 11 перемещений Мора Днепропетровск 2013/2014 учебный год

11 Интеграл перемещений Мора Метод определения перемещений при помощи теорем Лагранжа или Кастильяно позволяет определять перемещения только точек приложения внешних сил и только в направлении действия этих сил Рассмотрим равновесие некоторого тела под действием системы обобщенных сил Р 1, Р 2, …, Рn. Пусть необходимо определить обобщенное перемещение некоторой точки А тела в некотором направлении. Приложим в этой точке обобщенную силу F, соответствующую искомому перемещению, в заданном направлении. Составим выражение потенциальной энергии П тела, находящегося под действием системы Р 1, Р 2, …, Рn, F. Дифференцируя П по обобщенной силе F, получим обобщенное перемещение точки А в направлении действия силы F. Полагая в полученном выражении перемещения F = 0, получим искомое перемещение 2

Внутренние силовые факторы в стержневой системе в силу принципа суперпозиции можно записать в виде: Мz = Мz. P + Мz. F , Мx = Мx. P + Мx. F , Мy = Мy. P + Мy. F , Qy = Qy. P + Qy. F , … Так как в линейных системах внутренние силовые факторы пропорциональны действующим внешним усилиям, то: Мz. F = Мz 1 F , Мx. F = Мx 1 F, Мy. F = Мy 1 F , Qy. F = Qy 1 F, … Таким образом, окончательно получаем: Мz = Мz. P + Мz 1 F , Мx = Мx. P + Мx 1 F , Мy = Мy. P + Мy 1 F , Qy = Qy. P + Qy 1 F , … (11. 1) Как ранее получено, полная потенциальная энергия стержневой системы имеет вид: (11. 2) 3

Подставим выражения (11. 1) в (11. 2) : (11. 3) Дифференцируя (11. 3) по Ф и полагая после этого Ф = 0, находим перемещение точки А в заданном направлении : 4

(11. 4) Интеграл перемещений Мора 5

Способы вычисления интеграла Мора Интеграл Мора, в котором подынтегральное выражение есть произведение двух функций, может быть вычислен различными методами в зависимости от вида этих функций. Заметим, одна из них, связанная с эпюрой внутренних усилий от единичного сосредоточенного воздействия, всегда линейная. n n 1. Непосредственное интегрирование – практически не имеет ограничений по использованию. 2. Способ Верещагина – удобен на тех участках, на которых легко можно определить центр тяжести одной из эпюр (обычно это относится к эпюре от грузового воздействия). 3. Формула Симпсона – применима в случае квадратичного закона изменения эпюры от грузового воздействия. 4. Формула трапеций – применяется в случае линейности обоих эпюр. 6

Первый способ не требует никаких особых пояснений. Рассмотрим его на примере: y D q F 1=1 y. D D z A A D z B l M 2=1 A B a l z D a 7

Способ Верещагина D y q F 1=1 y. D D z A B D z A M 2=1 A B a l l B a l z D a Вычисление интеграла вида может быть представлено как “перемножение” эпюр, если одна из эпюр линейная, что мы и имеем для эпюр изгибающих моментов от Таким образом, интеграл Мора может быть вычислен, как произведение действия сосредоточенных усилий. эпюры на ординату линейной эпюры, взятой площади криволинейной под центром тяжести криволинейной эпюры (способ Верещагина). C y’ Mq dz a M 1 y. C - статический момент площади эпюры Mq относительно оси y’ z. C z l y. C 8

h l l Следует иметь в виду, что приведенные формулы для площади и координаты центра тяжести не справедливы для “не чистой” квадратной параболы, являющейся результатом сложения линейной эпюры (от действия сосредоточенных сил на границе участка) и параболической (от действия равномерно распределенной нагрузки на участке). Если это так, то следует разбить эту эпюру на две или три более простых эпюры: q l 9

Пример. Вычислим прогиб и угол поворота сечения на конце консоли для предыдущего примера способом Верещагина: 10

a e b l c f d Формула Симпсона: Можно доказать, что результат “перемножения” сложной параболической эпюры с линейной эпюрой выражается формулой: Воспользуемся формулой Симпсона для предыдущего примера: a b l c Формула трапеций: Формула Симпсона в частном случае при линейности обеих эпюр (перемножение трапеций) выражается формулой: d 11