Для самостоятельного решения 1 вариант____ 1 Вероятность рождения

Для самостоятельного решения 1 вариант____ 1. Вероятность рождения мальчика равна 0, 49. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 50 мальчиков. 2. В банке, осуществляющем кредитование населения, 1000 клиентов. Каждому из клиентов выдается кредит 500 тыс. р. при условии возврата 110% от этой суммы. Вероятность невозврата кредита каждым из клиентов в среднем составляет р = 0, 01. Какая прибыль гарантирована банку с вероятностью 0, 8? 2 вариант____1. Вероятность рождения девочки равна 0, 51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 50 девочек. 2. В банке, осуществляющем кредитование населения, 1000 клиентов. Каждому из клиентов выдается кредит 500 тыс. р. при условии возврата 110% от этой суммы. Вероятность невозврата кредита каждым из клиентов в среднем составляет р = 0, 01. Какая прибыль гарантирована банку с вероятностью 0, 995? 1

Формулы Байеса Пусть события Bi, В 2, . . . , Вn несовместны и образуют полную группу, событие А может наступить при условии появления одного из них. События Bi называют гипотезами, так как заранее неизвестно, какое из них наступит. 2

Формулы Байеса Пример. В среднем из каждых 100 клиентов отделения банка 60 обслуживаются первым операционистом и 40 — вторым операционистом. Вероятность того, что клиент будет обслужен без помощи заведующего отделением, только самим операционистом, составляет 0, 9 и 0, 75 соответственно для первого и второго служащих банка. Найти вероятность полного обслуживания клиента первым операционистом. Решение. Вероятность того, что клиент попадет к первому операционисту (событие В 1), составляет 0, 6, ко второму — 0, 4 (событие В 2). вероятность полного обслуживания клиента первым операционистом (событие А) Иными словами, 64% клиентов, попавших на обслуживание к первому операционисту, будут обслужены им полностью. 3

Формулы Байеса Большая популяция людей разбита на две группы одинаковой численности. Диета одной группы отличалась высоким содержанием ненасыщенных жиров, а диета контрольной группы была богата насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на этих диетах возникновение сердечно-сосудистых заболеваний составило в этих группах соответственно 31% и 48%. Случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот человек принадлежит к контрольной группе? А - случайно выбранный из популяции человек имеет заболевание; В 1 - человек придерживался специальной диеты; В 2 - человек принадлежал к контрольной группе. 4

А - случайно выбранный из популяции человек имеет заболевание; В 1 - человек придерживался специальной диеты; В 2 - человек принадлежал к контрольной группе. Согласно формуле полной вероятности 5

Схема независимых испытаний Если проведении нескольких испытаний вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других событий, то эти испытания называются независимыми относительно события А. Будем рассматривать только такие независимые испытания, в которых событие А имеет одинаковую вероятность. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р. Тогда вероятность противоположного события — ненаступления события А — также постоянна в каждом испытании и равна q = 1 —р. В теории вероятностей представляет особый интерес случай, когда в п испытаниях событие А осуществится к раз и не осуществится (п — к) раз. Вероятность этого сложного события, состоящего из n испытаний, определяется формулой Бернулли 6

n независимых испытаний, событие А может появиться с вероятностью р вероятность ненаступления события q = 1 —р. в п испытаниях событие А осуществится к раз не осуществится (п — к) раз формула Бернулли Пример 1. Монету бросают 6 раз. Найти вероятности того, что герб выпадет 2 раза. Решение. р = q = 0, 5. n= 6, к = 2. 7

Схема независимых испытаний n независимых испытаний, событие А может появиться с вероятностью р вероятность ненаступления события q = 1 —р. в п испытаниях событие А осуществится к раз не осуществится (п — к) раз формула Бернулли Пример 2. Монету бросают 6 раз. Найти вероятности того, что герб выпадет не менее двух раз. 8

Локальная теорема Лапласа ТЕОРЕМА 7. Пусть вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна, причем О < р < 1. Тогда вероятность Рn(к) того, что событие А появится в n испытаниях ровно к раз, приближенно равна значению функции 9

10

Интегральная теорема Лапласа n независимых испытаний, событие А может появиться с вероятностью р вероятность ненаступления события q = 1 —р. в n испытаниях событие А осуществится к раз, причем I < к <т. А не осуществится (п — к) раз Соответствующую вероятность обозначают Рn(l, т) ТЕОРЕМА 8. Пусть вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, причем О < р < 1. Тогда вероятность того, что событие А появится в n испытаниях от I до т раз, приближенно равна определенному интегралу: 11

Интегральная теорема Лапласа n независимых испытаний, событие А может появиться с вероятностью р вероятность ненаступления события q = 1 —р. в n испытаниях событие А осуществится к раз, причем I < к <т. не осуществится (п — к) раз в виде формулы Ньютона-Лейбница: функция нечетная, поэтому в таблицах приводят значения Ф(x) для положительных значений верхнего предела 12

13

Пример. В страховой компании 10 тыс. клиентов, застраховавших свою недвижимость. Страховой взнос составляет 2000 р. , вероятность несчастного случая р = 0, 005, страховая выплата клиенту при несчастном случае составляет 200 тыс. р. Определить размер прибыли страховой компании с вероятностью Р=0, 9. Решение. Тогда с вероятностью Р прибыль компании составит (20 -0, 2 N) млн р. Предварительные вычисления значений аргумента функции Ф(х) при n = 10 000, I = N, т = 10 000 дают a=(N-50)/ 7. 05 b=1411. 34 Из табл. находим, что Ф(х) = 0, 5 при |х| > 5 14

Пример. В страховой компании 10 тыс. клиентов, застраховавших свою недвижимость. Страховой взнос составляет 2000 р. , вероятность несчастного случая р = 0, 005, страховая выплата клиенту при несчастном случае составляет 200 тыс. р. Определить размер прибыли страховой компании с вероятностью Р= 0, 9 Решение. с вероятностью 0, 9 страховой компании гарантирована прибыль 15